八年級數(shù)學(xué)函數(shù)交點(diǎn)問題求解思路

萬群

摘要：在八年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，函數(shù)學(xué)習(xí)是學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要部分。但是在學(xué)習(xí)過程中，可能由于學(xué)生學(xué)習(xí)理解的差異性，造成對函數(shù)學(xué)習(xí)存在一系列的困難。本文以浙教版數(shù)學(xué)教材為主要的探究原型，探究函數(shù)交點(diǎn)問題求解的主要思路，通過具體的教學(xué)方法來促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)能力的提升。

關(guān)鍵詞：八年級;函數(shù)教學(xué);交點(diǎn)求解;學(xué)習(xí)方法

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2019）20-030-1

一、分析題意，正確解讀題目

一次函數(shù)應(yīng)用題，因其綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內(nèi)容，能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合，能體現(xiàn)分類討論、對應(yīng)、極端值等數(shù)學(xué)思想與方法，并且容易與現(xiàn)實(shí)生活中的重大事件聯(lián)系起來以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，近年來一直是中考命題的熱點(diǎn)。此外，由于中考考查二次函數(shù)內(nèi)容時(shí)，大多是以二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的壓軸題形式出現(xiàn)，而反比例函數(shù)應(yīng)用題命題的范圍又相對狹窄，因此一次函數(shù)應(yīng)用題就一直是中考試題中最頻繁出現(xiàn)的考點(diǎn)。在學(xué)生解答相關(guān)的題目時(shí)，首先需要對題目進(jìn)行分析，通過具體的分析，了解基本的變量和變量之間存在的關(guān)系，在梳理題目后再進(jìn)行相關(guān)的解答。學(xué)生在分析清楚題目的情況下，再根據(jù)具體的好函數(shù)形式進(jìn)行解答，能夠加強(qiáng)學(xué)生的解答速度和學(xué)習(xí)效果。

二、掌握正確的解答方法

1.利用解方程求交點(diǎn)

在對函數(shù)方程的交點(diǎn)求角問題上，最常用到的就是聯(lián)立函數(shù)解析式來進(jìn)行求解。因?yàn)榻稽c(diǎn)就是兩個(gè)函數(shù)的公共解，通過解方程來求出交點(diǎn)坐標(biāo)。注意使用方程聯(lián)立解答時(shí)，直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)也有三種情況，把方程組用代入消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程后，根據(jù)一元二次方程根的判別式△的值的情況可判定交點(diǎn)個(gè)數(shù)狀況。

比如說函數(shù)y=kx+b，y=ax+c圖有一個(gè)交點(diǎn)，說明這兩個(gè)函數(shù)存在相同的x，y的值則這個(gè)相同的x，y的值即為函數(shù)y=kx+b，y=ax+c的交點(diǎn)坐標(biāo)。因?yàn)檫@個(gè)相同的x，y的值即為函數(shù)y=kx+b，y=ax+c圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)所以可通過解方程來解決。

即：kx+b=ax+c

解得x的值，再代入可求得y的值

即為交點(diǎn)坐標(biāo)

在例如直線y=-2x+m與直線y=2x-1的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍的求解。在關(guān)于這個(gè)交點(diǎn)問題中，就可以通過聯(lián)立兩直線解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)在第四象限列出不等式組求解即可。通過聯(lián)立方程組的方式進(jìn)行解答，促進(jìn)時(shí)題目簡單明了，而且從學(xué)生的角度出發(fā)，更加能夠讓學(xué)生掌握解題步驟和方法。

2.利用圖像法求交點(diǎn)

利用圖像來進(jìn)行函數(shù)交點(diǎn)問題的解答，首先要了解的是圖像在交點(diǎn)處的幾何意義：直角坐標(biāo)系中表示兩個(gè)一次函數(shù)的兩條直線的交點(diǎn)。在實(shí)際解答問題中就可以通過圖像來進(jìn)行具體問題的具體分析，能夠讓學(xué)生簡單直觀的將問題轉(zhuǎn)化為便于理解的方式。在針對圖像的分析時(shí)，分別作出函數(shù)的圖象，就可以通過圖像找出交點(diǎn)坐標(biāo).但是在實(shí)際中要注意這種方法僅適用于特殊的交點(diǎn).

例如兩函數(shù)圖象相交的交點(diǎn)求法：兩個(gè)一次函數(shù) y1=k1x+b1（k1≠0）;y2=k2x+b2（k2≠0），聯(lián)立成方程組，求得x、y值，就是兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)。如圖，已知函數(shù)y1=3x+1和y2=x-3的圖象交于點(diǎn)P，求P坐標(biāo)。

再比如函數(shù)y=kx+b圖象與函數(shù)y=6/x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)（2，3），求一次函數(shù)解析式。在解決這個(gè)問題中，既然一次函數(shù)y=kx+b圖象與函數(shù)y=6/x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)（2，3），那么，這個(gè)交點(diǎn)（2，3）就在這條直線上，帶入，得到：3=2k+b這就得到了第一個(gè)方程。接下來要根據(jù)交點(diǎn)的唯一性，聯(lián)立2者的函數(shù)方程y=kx+b，y=6/x

消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程算出Δ=0這就是第二個(gè)方程。這個(gè)時(shí)候，由兩個(gè)方程就可以得到k和b的值?？梢赃M(jìn)一步得出相應(yīng)的解析式。

還可以通過兩函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積進(jìn)行交點(diǎn)的求解。比如所求圖形有一邊與坐標(biāo)軸重合，可直接用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)作為底和高求得，如果圖形為不規(guī)則圖形，則可以使用面積的和或差進(jìn)行求解，解決問題的關(guān)鍵是找到圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，圖象相交時(shí)交點(diǎn)的坐標(biāo)。

3.利用全等三角形和解方程的方法求坐標(biāo)

利用全等三角形求得坐標(biāo)系內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)也是函數(shù)交點(diǎn)問題求解的重要方式。通過求解交點(diǎn)后，可以進(jìn)行相關(guān)點(diǎn)的函數(shù)解析式的求解，能夠加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)應(yīng)用能力。通過解方程的思想解決計(jì)算類問題，求方程組的解是解交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵。

三，進(jìn)行特殊類型的總結(jié)

1.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的求解

所謂兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)就是兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)，這點(diǎn)的坐標(biāo)適合兩個(gè)函數(shù)的解析式，所以在解決實(shí)際問題中常用交點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)的解析式組成聯(lián)立方程組來解決.

2.求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，其意義在于所求的點(diǎn)即在函數(shù)圖象上，又在坐標(biāo)軸上。函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)對應(yīng)函數(shù)中的兩個(gè)變量x、y，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)值為0（橫軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，縱軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0）。因此，若求圖象與橫軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，就確定縱坐標(biāo)為0，并用0代替函數(shù)中的變量y，求得對應(yīng)x的值即是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，兩個(gè)坐標(biāo)值組成交點(diǎn)坐標(biāo)。同理就可求得函數(shù)圖象與縱軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。比如說習(xí)題直線y=-2x+5與x軸交點(diǎn)交點(diǎn)坐標(biāo)和與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的解答。

四、結(jié)語

在學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，通過掌握具體的求解思路和求解方法，并且在學(xué)習(xí)的過程中，通過不斷的練習(xí)與促進(jìn)初中學(xué)生教學(xué)實(shí)施過程中的學(xué)習(xí)能力與學(xué)習(xí)方法的提升，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，促進(jìn)長期的學(xué)習(xí)有著重要的意義。相信通過不斷的練習(xí)和積極的與他人進(jìn)行交流溝通，學(xué)生對于函數(shù)交點(diǎn)求解問題的掌握會(huì)有一個(gè)質(zhì)的飛躍。

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[3]蒙國峰.關(guān)于曲線y=a2與y=logax交點(diǎn)問題的探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006.

（作者單位：浙江省余姚市三七市鎮(zhèn)初級中學(xué)，浙江 余姚315412）