淺議空間四邊形在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：空間四邊形是立體幾何教學(xué)中的一個重要概念，它作為各知識點之間的“共同因素”，是對長方形和正方形這兩個特殊基礎(chǔ)因素的升華和提高。循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生掌握空間四邊形的知識，并發(fā)揮其重要作用，對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：空間四邊形;立體幾何;應(yīng)用

中圖分類號：G633.6

文章編號：2095-624X（2019）24-0080-02

一、空間四邊形的概念

在高教版的中職數(shù)學(xué)教材（以下簡稱教材）中對空間四邊形的定義如下：將平面內(nèi)的四邊形ABCD的兩條邊AD與DC，沿著對角線AC向上折起，將點D折疊到D1的位置（如圖1所示），此時A、B、C、D1四個點不在同一個平面內(nèi)。這時的四邊形ABCD1叫作空間四邊形。

教材中相應(yīng)給出了一個有關(guān)空間四邊形的典型例題：

例 已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點（如圖2），判斷四邊形EFGH是否為平行四邊形？

這道題目不難，用三角形中位線的性質(zhì)就可以證明。但學(xué)生初學(xué)立體幾何，不易將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。通過這個例題可以引導(dǎo)學(xué)生用平面圖形的性質(zhì)分析解決空間圖形的問題。教師在教學(xué)中需要重點講解，為后續(xù)學(xué)習(xí)作充分準(zhǔn)備。

二、空間四邊形在立體幾何教學(xué)中的典型應(yīng)用

練習(xí)1 如圖3所示，在空間四邊形ABCD中哪些直線是異面直線？

異面直線是空間中兩條直線特有的位置關(guān)系，在平面中并不存在。它反映了二維空間與三維空間的區(qū)別，是樹立空間觀念的一個重要標(biāo)志，在立體幾何教學(xué)中有著重要意義。

練習(xí)2 圖4中，E、F、G、H分別是AB、AD、CD、BC的中點，判斷AC和BD是否與平面EFGH平行？

練習(xí)3 圖5中，空間四邊形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，求證：AB+CD>2MN

這兩道練習(xí)題的解題思路與例題1一樣，都是利用三角形中位線的性質(zhì)，將空間圖形問題轉(zhuǎn)換成平面圖形的問題。通過這些練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生理解新的知識點，也可以幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握解決空間問題的思維方法。

練習(xí)4 圖6中，已知在空間四邊形ABCD中，AB=AC，BD=CD，E是BC的中點。求證：1）AD⊥BC;2）平面ADE⊥平面ABC;

判斷空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何教學(xué)中的難點，學(xué)生如果缺乏空間想象能力，就難以正確分解空間圖形。本題需要將空間四邊形ABCD分解為兩個等腰三角形△ABC和△BDC，再根據(jù)線線垂直和面面垂直的判定方法，得到結(jié)論。通過這道題，可以讓學(xué)生借助空間四邊形進(jìn)一步熟悉空間圖形的位置關(guān)系，掌握其判斷方法。

練習(xí)5 圖7中，空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于2，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：

（1）EG的長;

（2）異面直線EG與AC所成角的大小;

由于空間中圖形位置的關(guān)系不易想象，很多學(xué)生對這類題目無從下手。當(dāng)空間四邊形的各邊長相等時，各邊中點的連線組成的四邊形便是一個正方形，而正方形的一半即三角形EFG則是一個直角等腰三角形。利用熟悉的空間四邊形的知識，這道空間圖形的計算問題便轉(zhuǎn)換成了一個直角三角形的計算問題了。

練習(xí)6 圖8中，空間四邊形ABCD中，AD、BD、CD兩兩垂直，且AD=BD=CD=2，求二面角A-BC-D的余弦值。

二面角的概念不太好懂，主要是平面角不好確定，本題的關(guān)鍵是要找出BC邊的中點E，通過BD=CD，得出DE⊥BC，再由三垂線定理知AE⊥BC，即∠AED是二面角A-BC-D的平面角，剩下的問題就是直角三角函數(shù)的問題了。

三、空間四邊形在教學(xué)中的應(yīng)用說明

通過上述討論，可以看出空間四邊形在立體幾何教學(xué)中的作用，它是立體幾何學(xué)習(xí)上的正向遷移。眾所周知，學(xué)習(xí)遷移的效果在一定程度上取決于學(xué)習(xí)材料之間的共同因素。教學(xué)中用空間四邊形作為基本圖形，就是用空間四邊形作為各知識點之間“共同的因素”，起到知識貫通的作用。通過教師的正確引導(dǎo)，可以改進(jìn)學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而形成學(xué)習(xí)上的正向遷移。

在以往教學(xué)中，我們主要是在立方體和長方體這兩種圖形中來討論點、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，因為立方體和長方體的空間形態(tài)特殊，點、線、面之間的關(guān)系也比較容易觀察和想象。對一般的職高學(xué)生而言，以立方體和長方體作為基本圖形講解立體幾何的各知識點是恰當(dāng)且必需的。

在此基礎(chǔ)上，增加空間四邊形的內(nèi)容，在空間四邊形中討論點、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，可以進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，這對部分有深造需求的學(xué)生來說是必不可少的練習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李廣全，李尚志.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]何丙燕.空間四邊形在立體幾何教學(xué)中的妙用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2001（3）：22-23.

作者簡介：欒曉林（1960—），男，中學(xué)高級教師，本科，就職于長沙財經(jīng)學(xué)校，研究方向：中職教育。