順應(yīng)學(xué)生思維特征的學(xué)習(xí)方式選擇

王宏偉

【摘 要】解決“雞兔同籠”問題，教材中主要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜測與嘗試，利用列舉、假設(shè)的方法來解決問題。教師多站在學(xué)生的角度考慮問題，順應(yīng)學(xué)生思維特征來選擇學(xué)習(xí)方式與路徑，引導(dǎo)學(xué)生通過猜測嘗試、比較分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握方法，鍛煉有序思考能力，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】思維特征 學(xué)習(xí)方式 深度學(xué)習(xí)

一、問題提出

“雞兔同籠”問題出自《孫子算經(jīng)》，是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，在人教版教材四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”和北師大版教材五年級上冊“數(shù)學(xué)好玩”中都有這樣的教學(xué)內(nèi)容。教材安排這樣的教學(xué)內(nèi)容，一方面通過生動有趣的古代數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生感受我國古代數(shù)學(xué)文化，另一方面在解決問題過程中使學(xué)生掌握問題解決的不同方法和策略。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，教材主要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜測與嘗試，利用列舉、假設(shè)的方法來解決問題。

學(xué)為中心，深度學(xué)習(xí)的課堂，需要教師多站在學(xué)生的角度考慮問題，順應(yīng)學(xué)生思維特征選擇學(xué)習(xí)方式與路徑。通過課堂實(shí)踐，筆者認(rèn)為，本課教學(xué)教師應(yīng)基于學(xué)生的真實(shí)思維，讓學(xué)生通過猜測嘗試、比較分析，發(fā)現(xiàn)雞兔只數(shù)調(diào)整中腳數(shù)的變化規(guī)律，真正掌握列舉與假設(shè)的方法，在獨(dú)立思考與合作交流的學(xué)習(xí)過程中真正鍛煉學(xué)生有序思考及邏輯推理能力，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

二、學(xué)情調(diào)查——了解學(xué)生怎么想問題

為了了解學(xué)生的真實(shí)思維，把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，順應(yīng)學(xué)生思維特征，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，筆者圍繞“對于雞兔同籠這樣的問題學(xué)生已經(jīng)會了什么”“本課學(xué)習(xí)學(xué)生真正的思維困難在哪里”“通過課本學(xué)習(xí)學(xué)生能有怎樣的提升發(fā)展”三個問題對學(xué)生進(jìn)行了課前調(diào)查。

（一）調(diào)查內(nèi)容

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 12個頭，從下面數(shù)，有 40 只腳。雞和兔各有幾只？（你能用幾種方法解答，請寫一寫、算一算或者畫一畫）

（二）調(diào)查結(jié)果

1.主要方法

（三）調(diào)查分析

“雞兔同籠”問題對于四年級學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性（正確率為35.7%），正確解決問題的學(xué)生主要采用猜測法，其次是列表列舉法。假設(shè)全是雞或兔的方法，如果學(xué)生沒有經(jīng)過課外輔導(dǎo)都還不會正確運(yùn)用。因此列舉法是適合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的有價值的方法，需要學(xué)生重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握。

在學(xué)生的作品中可以看到，腳數(shù)與頭數(shù)的內(nèi)在變化關(guān)聯(lián)是學(xué)生解決問題的思維障礙所在，其中顧“腳”不顧“頭”的錯誤近20%。若將題目中 “從下面數(shù)，有 40 只腳”這一條件前置則發(fā)生這一錯誤的可能性更大?？梢姸鄶?shù)學(xué)生解題時只盲目計(jì)算，缺乏假設(shè)推演，已有的單一線性的解題經(jīng)驗(yàn)固化了思維，解題的策略性思考能力比較弱。

三、教學(xué)思路——設(shè)計(jì)順應(yīng)學(xué)生思維特征的學(xué)習(xí)路徑

基于課前學(xué)生調(diào)查，筆者認(rèn)為，如何讓學(xué)生從不會列舉或錯誤列舉到真正學(xué)會列舉方法，會用列舉法解決問題是本課學(xué)生學(xué)習(xí)提升的重點(diǎn)所在。先顧“頭”再顧“腳”和先顧“腳”再顧“頭”只是方法上的不同，如何正確列舉、有序思考，探索變化規(guī)律，才是學(xué)生用列舉方法解決問題的價值所在。教師要利用好學(xué)生“只顧腳，不顧頭”的錯誤資源，跳出單一從頭這一維度進(jìn)行列舉的思維局限，用更開放的姿態(tài)，站在更高的角度來理解列舉方法，讓學(xué)生充分經(jīng)歷嘗試、驗(yàn)證、調(diào)整、總結(jié)這一解決問題的過程，積累解決問題的策略性經(jīng)驗(yàn)。

四、學(xué)習(xí)過程——促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)

（一）揭題引入，明確基本關(guān)系

1.呈現(xiàn)問題

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 10個頭，從下面數(shù)，有 26 只腳。雞和兔各有幾只？

2.梳理信息

你讀懂了哪些信息？

板書：雞頭+兔頭=10 雞腳+兔腳=26

（教學(xué)意圖：明晰已知條件是解決問題的首要環(huán)節(jié)，問題中“雞頭+兔頭=10；雞腳+兔腳=26”是學(xué)生用列舉法解決問題的兩個重要數(shù)量關(guān)系，教師有意強(qiáng)化“數(shù)量關(guān)系”解讀，為學(xué)生“嘗試解決”做必要的準(zhǔn)備。）

（二）嘗試交流，掌握列舉方法

1.呈現(xiàn)錯誤——顧“腳”不顧“頭”

師：老師這里有一位同學(xué)嘗試解決這個問題的方法，大家看看這位同學(xué)怎么想的？這樣想對嗎？（引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)頭數(shù)和腳數(shù)）

方法：5×4=20（只） 3×2=6（只） 20+6=26（只）

答：兔5只，雞3只。

小結(jié)：這位同學(xué)先根據(jù)“雞腳+兔腳=26”這個數(shù)量關(guān)系來思考的，可是忘記了“雞頭+兔頭=10”這一條件。我們怎樣才能找到正確答案呢？

2.猜測嘗試——顧“腳”再顧“頭”

師：滿足腳數(shù)26只，雞和兔的只數(shù)還可能是多少呢？（學(xué)生利用練習(xí)紙獨(dú)立嘗試列舉）

（1）學(xué)生猜測嘗試，然后交流匯總各種方法。

[兔腳/只 雞腳/只 總頭數(shù) 6×4=24 1×2=2 6+1=7 5×4=20 3×2=6 5+3=8 4×4=16 5×2=10 4+5=9 3×4=12 7×2=14 3+7=10 2×4=8 9×2=18 2+9=11 1×4=4 11×2=22 1+11=12 0×4=0 13×2=26 0+13=13 ]

師：通過剛才的嘗試，你有什么發(fā)現(xiàn)。

（2）交流小結(jié)：如果腳的數(shù)量不變，每減少1只兔，就增加2只雞，頭數(shù)就增加1個。

（教學(xué)意圖：著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括是“錯誤”。筆者認(rèn)為，學(xué)生的認(rèn)知錯誤是最寶貴的教學(xué)資源，學(xué)生思維由“迷”到“悟”是深度學(xué)習(xí)發(fā)生的必經(jīng)之路。知“迷”所在，是“悟”之始。教師順應(yīng)學(xué)生的思維，大膽呈現(xiàn)錯誤方法，引導(dǎo)學(xué)生明白錯誤之所在——顧腳不顧頭，進(jìn)而學(xué)生自然地理解列舉時同時滿足“雞頭+兔頭=10，雞腳+兔腳=26”兩個條件。這為學(xué)生掌握列舉方法跨出重要一步。）endprint

3.學(xué)會列舉——顧“頭”再顧“腳”

師：除了先考慮滿足腿數(shù)26條，進(jìn)行猜測嘗試外。還可以怎樣思考呢？

（1）呈現(xiàn)方法1（如下圖）。

（2）組織討論：這位同學(xué)是怎么思考的？

生：先考慮頭數(shù)10只，雞如果有1只，那兔就有9只，這樣腳有38只了，如果雞有2只，那兔就有8只，這樣腳有36只，這樣一只一只試下去。

生：這位同學(xué)試了很多次才找到正確答案，我嘗試的次數(shù)比他少（呈現(xiàn)方法2）。

師：這位同學(xué)怎么想的？

生：他是從中間開始列舉的。

師：5只雞、5只兔試完后，為什么嘗試6只雞、4只兔呢？

生4：因?yàn)?只雞、5只兔共30條腿，比26條腿多，所以要減少兔子的只數(shù)，增加雞的只數(shù)。

師：同學(xué)們仔細(xì)觀察這兩位同學(xué)的方法，你發(fā)現(xiàn)雞和兔的只數(shù)變化，與腳數(shù)變化有什么規(guī)律呢？

生：如果總頭數(shù)不變，每增加1只雞，減少1只兔，腳就減少2條。（教師用示意圖演示方法2的變化過程）

（ 教學(xué)意圖：從先顧腳再顧頭，到先顧頭再顧腳，從不同角度讓學(xué)生進(jìn)行列舉，打開了學(xué)生的思維空間，充分感受列舉方法的關(guān)鍵。同時，通過豐富的材料讓學(xué)生體會、理解雞兔頭數(shù)變化與腳數(shù)變化的規(guī)律，為突破難點(diǎn)做了扎實(shí)的鋪墊。）

（三）拓展提升：理解“假設(shè)法”

師：誰能調(diào)整得更快更準(zhǔn)呢？[呈現(xiàn)方法：10×4-26=14（條），14÷2=7（只）]

師：這位同學(xué)是怎么思考的？

生：如果10只都是兔子，那么多了14條腿。

師：我們怎么調(diào)整呢？

生：每減少1只兔，增加1只雞，就會減少2條腿，那么減少7只兔，增加7只雞，就會少14條腿。（課件呈現(xiàn)假設(shè)調(diào)整的過程）

師：14÷（4-2）=7（只），這個算式你明白是怎樣調(diào)整雞和兔的只數(shù)嗎？（同桌相互交流）

師：我們能不能假設(shè)都是雞再進(jìn)行調(diào)整呢？你能嘗試算一算嗎？（略）

（教學(xué)意圖：整節(jié)課學(xué)生始終圍繞“雞兔頭數(shù)變化與腳數(shù)變化的聯(lián)系”進(jìn)行思考與交流。因此，基于列舉方法，假設(shè)法是學(xué)生跳一跳能摘到的“桃子”，也是學(xué)生思維不斷清晰的自然結(jié)果。）

關(guān)注學(xué)情，是“學(xué)為中心”的教學(xué)核心。課前教師可通過問卷調(diào)查等手段了解學(xué)生的思維特征，尊重并用好學(xué)生的認(rèn)知錯誤。在教學(xué)設(shè)計(jì)時教師多站在學(xué)生的角度來思考問題，了解學(xué)生的真實(shí)困惑在哪兒。在組織學(xué)習(xí)時多基于學(xué)生的認(rèn)知困惑、思維發(fā)展需求，從學(xué)生的已有知識能力出發(fā)，依托數(shù)學(xué)任務(wù)驅(qū)動，借助學(xué)生豐富的認(rèn)知成果展開交流。在學(xué)習(xí)重難點(diǎn)處以核心問題為引領(lǐng)，通過分析比較、歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的過程，教師只有充分關(guān)注學(xué)生思維特征，選擇適合的學(xué)習(xí)方式，才能在課堂上給學(xué)生提供更大的思維發(fā)展空間。

（浙江省嘉興市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314000）endprint