在“悟”中學策略

徐宏臻

【摘 要】在教學“解決問題的策略”時，教師要引導學生對策略進行具體的、充分的和不斷的感悟，從而“悟”出策略的名稱、內(nèi)涵、實質(zhì)、適用范圍以及使用注意點等。為此，教師在引入時要具體地“悟”，在回顧時要充分地“悟”，在運用時要深刻地“悟”，在拓展時要不斷地“悟”，直至學生對此形成較為準確的、清晰的、全面的和深刻的認識，并逐步養(yǎng)成“愛策略”“想策略”“用策略”的意識。

【關(guān)鍵詞】解決問題教學 悟 轉(zhuǎn)化策略

在教學“解決問題的策略”這一內(nèi)容時，筆者常想：如何讓這種策略被學生充分地感悟、深刻地內(nèi)化和主動地運用呢？實踐證明，“悟”是內(nèi)化策略的一大法寶，也是重要的實施路徑。教師要引導學生對策略進行具體的、充分的和不斷的感悟，從而“悟”出策略的名稱、內(nèi)涵、實質(zhì)、適用范圍以及使用注意點等，直至形成較為準確、清晰、全面和深刻的認識，這樣才有可能將其內(nèi)化為學生自覺的行動?，F(xiàn)以蘇教版五年級下冊的轉(zhuǎn)化策略為例，談談筆者是如何讓學生“悟”的。

一、在引入時具體地“悟”

感悟在過程中產(chǎn)生和形成。學生對某種策略的感悟需要有具體的、深刻的解題過程做支撐，需要有親身經(jīng)歷的“做數(shù)學”的體驗做基礎(chǔ)。過程豐盈，體驗自然豐富。筆者認為，這個探究過程不能太順暢，否則學生的體驗會不多、不強和不深，他們也不會主動地尋找和感悟策略。為此，教師要適當增加問題的挑戰(zhàn)性和復雜性，制造學習的“障礙”，讓學生的探究之路變得曲折一些；要善于把某種策略先“藏”起來，讓學生獨立思考，自主探究，合作交流，親歷一番較為坎坷的、充分的問題解決的過程，再把策略尋找并揭示出來，從而讓這種策略“凸”出來。這樣，學生才樂于“悟”策略的名稱、內(nèi)涵。

在教學蘇教版教材“解決問題的策略”時，一般安排兩道例題，其中例1主要是引入這種策略，例2主要是運用這種策略，都是通過解決某個具體的問題讓學生學習某種策略。為了凸顯這種策略的價值和意義，教材往往選擇較為典型的且有一定難度的實際問題作例題。在教學時，教師要讓學生具體感悟到的是運用了什么策略，是怎樣運用的，為什么要運用這種策略，運用這種策略有什么好處，在運用時要注意什么等。要設(shè)法讓學生強烈地感受到：這里的確是運用了一種好的策略幫助我們解決了難題，這種策略真有用，我們要把它找出來，為方便地解決問題服務，從而引導學生自覺地尋找并揭示策略，主動地“悟”策略。

例如，在教學轉(zhuǎn)化的策略時，例題是把兩圖畫在格紙上，讓學生觀察和比較哪個面積大一些。為了凸顯轉(zhuǎn)化策略的好處和內(nèi)涵，筆者有意對此進行了改進。先出示沒有畫方格的兩圖（如圖1），讓學生看圖比較面積的大小。學生或猜左圖面積大，或猜右圖面積大，或說難以比較。筆者問學生：你們難在何處？學生或說兩圖太復雜了，以前沒學過；或說沒標關(guān)鍵的數(shù)據(jù)；或說沒把圖放在格紙上。這時，筆者順勢把兩圖放在格紙上（如圖2），先讓學生仔細觀察這兩個圖形的特點，再比較大小。有學生說，可以通過數(shù)方格的方法比較。筆者讓其上臺一一數(shù)方格（即按照以前的數(shù)法，不滿一整格的都算半格）。許多學生說這種方法太麻煩，且不夠準確。于是，筆者問：有更好的方法嗎？順勢讓學生自主想妙法比較大小。學生興趣盎然地在作業(yè)紙上探索起來，他們或想或剪或拼等。

待學生自主地、充分地探索后，筆者借助教具讓其把具體的轉(zhuǎn)化過程和結(jié)果一一板貼在黑板上（如圖3）。對于圖1，有人把其上部半圓剪開，平移到下部，正好拼成一個長8、寬6的長方形；有人把其下部的“拱橋”剪開，平移到上部，也正好拼成一個長8、寬6的長方形。對于圖2，有人把其下部兩個半圓形都剪開，分別向上旋轉(zhuǎn)180°，正好拼成一個長8、寬6的長方形；有人把其上部均分后剪開，旋轉(zhuǎn)到下部，正好拼成一個長12、寬4的長方形；還有人沿著對稱軸剪開，翻轉(zhuǎn)其中一部分，從而把原圖拼成一個長8、寬6的長方形。這時，學生強烈地感受到轉(zhuǎn)化的神奇和價值，直觀地看到兩圖形狀雖變，但面積不變，由衷地夸贊轉(zhuǎn)化。這時，筆者再引導學生比較轉(zhuǎn)化后兩圖面積的大小，學生說太簡單了！兩個原圖都被轉(zhuǎn)化為含有48個格子的長方形，所以面積相等。

在此基礎(chǔ)上，筆者引導學生及時反思：剛才我們是用什么策略解決了這個問題的？你能給這種策略起個名字嗎？學生紛紛舉手，或說變形，或說轉(zhuǎn)變，或說變換，或說轉(zhuǎn)化……這時，筆者趁勢揭示課題“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”也就水到渠成了，學生似乎對“轉(zhuǎn)化”二字有點意會。筆者繼續(xù)引導學生深思：在轉(zhuǎn)化的過程中，什么變了，什么沒變？你認為轉(zhuǎn)化有什么好處？我們是運用哪些方法進行轉(zhuǎn)化的？你還有哪些體會要說？由于親身經(jīng)歷了較為曲折的探究過程，學生自然有話要說，而且有許多話要說。他們說：兩圖的形狀變了，周長變了，但面積沒變；轉(zhuǎn)化能把復雜的、繁難的問題變?yōu)楹唵蔚?、容易的問題，把未知的圖形變?yōu)橐阎膱D形。這時，筆者順勢在上圖相應位置板書（復雜→簡單；未知→已知），圖文對照，便于理解，學生對轉(zhuǎn)化策略似乎加深了體會，很容易說出是用平移、割補和旋轉(zhuǎn)等方法進行轉(zhuǎn)化的，在轉(zhuǎn)化的過程中要注意前后圖形中是什么變了、什么沒變等。

筆者有意“逼”學生自主想策略。面對沒有格紙的裸圖，學生先感到無措；加上格紙后，學生有了思考的依據(jù)，自然而然地想到了數(shù)方格；然而由于數(shù)方格有缺陷，他們又不甘心一一去數(shù)，這種矛盾心理“逼”著學生去探尋更好的解決問題的方法。他們主動地去思索，去操作，去變形，去驗證，從而尋找到解決問題的好方法。在此基礎(chǔ)上，引導學生把方法上升到策略，為其起名，感悟其好處和意義，以及使用中的注意點等，從而逐步“凸”出此策略，并讓學生對這種策略有具體的、直觀的感悟。這樣，學生對這種策略的體驗就會強烈和深刻，就會有較深的印象，策略也會逐步“烙”在學生心上。

二、在回顧時充分地“悟”

一種策略要想逐步走進學生心里，僅靠對一道例題的具體感悟是不夠的，學生需要有充分的感性積累和大量的實踐體驗。只有對較多的實例有充分的感悟，學生才會對某種策略有所感知和體驗，才會有運用的意識。為此，蘇教版教材在編排“解決問題的策略”時，采用了“前有孕伏，中有突破，后有運用”的編排體系，并在具體教學某一策略時，特意安排了回顧和反思環(huán)節(jié)，引導學生回想一下，以前曾經(jīng)運用這種策略解決過哪些問題。這樣編排的目的就是為了讓學生充分地感悟策略，多方面地體悟策略，從而豐富對策略的體驗，深化對策略的認識，內(nèi)化策略的實質(zhì)，增強運用意識。為此，教師要充分利用學生已有的知識和經(jīng)驗，發(fā)揮其對感悟策略的獨特價值，引導學生從策略的角度進行回顧和再認，溝通其內(nèi)在聯(lián)系，并將其提升到數(shù)學思想的高度來認識。有人認為，這一環(huán)節(jié)應快速通過，省下時間讓學生趕快做題。筆者認為，這一環(huán)節(jié)的教學雖不應像例題那樣濃墨重彩，但也不應浮光掠影，應擇其要點和關(guān)鍵，適當引導學生進行具體的回顧和反思，讓其切實體會到：在學習某個知識時，的確是運用了這種策略，并且能說出如何運用的，從而增強策略體驗，積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，感悟策略本質(zhì)。endprint

例如，在上述教學后，首先筆者引導學生回顧以前曾運用這種策略解決過哪些問題，先回憶在圖形方面的運用。學生說在求平行四邊形的面積時，曾把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為長方形的面積。筆者相機出示圖形，讓學生具體說說當時是如何轉(zhuǎn)化的（過程和圖略）。學生又說在求三角形（或梯形）的面積時，曾用兩個完全一樣的三角形（或梯形）拼成一個平行四邊形，從而把三角形（或梯形）的面積轉(zhuǎn)化為相應平行四邊面積的一半。同樣，在求圓的面積時，也進行了多種轉(zhuǎn)化（過程和圖略）。在此基礎(chǔ)上，讓學生回想一下學習這些圖形面積的順序，再看看轉(zhuǎn)化的順序，并進行比較（見圖4）。學生通過觀察、比較，體悟到：學習是從簡單到復雜，從易到難，而轉(zhuǎn)化的順序把復雜的轉(zhuǎn)化為簡單的，把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，從而進一步理解轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵和實質(zhì)。

其次，舉例說明轉(zhuǎn)化在數(shù)的運算中的運用，并讓學生自己舉例，讓學生切實感悟到其中的轉(zhuǎn)化思想，感悟到轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學上的運用比比皆是。最后，把形與數(shù)方面的典型實例進行匯總，讓學生集中觀察和感悟，體會什么叫轉(zhuǎn)化，為何要轉(zhuǎn)化，如何轉(zhuǎn)化，這樣轉(zhuǎn)化有什么好處，在轉(zhuǎn)化時要注意什么，你有什么體會要說等，從而豐富對策略的體驗，深化對策略的認識，增強策略意識。

通過教學，學生深切地感悟到：轉(zhuǎn)化其實就是換一種角度思考問題，變一種思路解決問題；就是把未知轉(zhuǎn)化為已知，借助已知解決未知；就是把難解的問題變?yōu)橐捉獾膯栴}，把復雜的問題變?yōu)楹唵蔚膯栴}等。

三、在運用時全面地“悟”

“用”非常有利于“悟”。教材既想讓學生通過策略解決問題，又想通過解決問題使其進一步領(lǐng)悟策略，它最關(guān)注的是“策略”。為此，專門安排了相關(guān)的運用練習，讓學生在用中進一步地“悟”。為了促使學生對某一策略有豐富的、深刻的感悟，教師不應止步于一節(jié)課學生做多少習題，而應以學生對策略感悟的多少和深淺為要旨，引導學生結(jié)合解決問題全面地“悟”，具體“悟”到：為什么要轉(zhuǎn)化，究竟是把什么轉(zhuǎn)化成了什么，是如何轉(zhuǎn)化的，有哪些新體會等。這樣才便于學生對策略有更具體和更全面的體悟，才便于其掌握轉(zhuǎn)化方法，形成策略意識，產(chǎn)生轉(zhuǎn)化行為。

例如，在上述回顧和反思后，筆者讓學生解答練習十六第1題（等長變形），在其解答后，引導學生及時反思：這里運用了什么策略？（轉(zhuǎn)化，即把原來不規(guī)則圖形的周長轉(zhuǎn)化為規(guī)則的長方形的周長，把未知圖形的周長轉(zhuǎn)化為已知圖形的周長）是如何運用的？（用平移的方法）轉(zhuǎn)化前后，什么變了，什么沒變？（形狀和面積變了，但周長沒變）。這樣轉(zhuǎn)化后有什么好處？（簡便）這樣就讓學生具體感悟到轉(zhuǎn)化的前提是前后相等，轉(zhuǎn)化的方向是化繁為簡。當然，這些要點在后續(xù)的練習中還要讓學生多次體悟到，并照此進行轉(zhuǎn)化。

有些習題轉(zhuǎn)化的方法不止一種，這更要讓學生借此進行多方面的感悟，以便其對某種策略有更全面的認識，從而學會優(yōu)選轉(zhuǎn)化方法。如在解答用分數(shù)表示圖5中的涂色部分時，學生出現(xiàn)了三種不同的轉(zhuǎn)化方法：一是改“斜”歸正，即把圖中“斜”放的正方形撥“正”（如圖6）。許多學生誤以為涂色正方形的邊長就是3，從而得出涂色的面積占大正方形的[916]。二是直接劃分，即把圖中陰影部分劃分為四個同樣的小直角三角形和一個邊長為2的正方形（如圖7）。

每兩個小直角三角形拼成一個長方形，這個長方形的面積占3格，這樣陰影部分共有6+4=10格，從而算出陰影部分占整個圖形的[1016]=[58]。三是側(cè)面進攻，先把4個空白部分拼成兩個長方形，從中明顯看出空白部分共有6格，再用16-6=10格，因此很容易求得陰影部分占整個圖形的[1016]=[58]（如圖7）。筆者讓學生比較這三種方法：你更喜歡哪種方法？學生普遍認為第三種方法簡便、巧妙。

對于第一種方法，許多教師或借助直觀演示，或借助“在點到直線的所有線段中，垂直線段最短”，或借助“斜邊大于直角邊”，說明涂色部分不是邊長為3的正方形，從而既否定了學生的得數(shù)，又否定了學生的方法。其實，學生把原圖撥正是正確的，只不過涂色正方形的面積，學生暫時還不能求出，待到中學就能根據(jù)勾股定理知道是32+ 12 =10，從而求得涂色部分的面積占整個圖形的[1016]=[58]。所以教師不應完全否定這種轉(zhuǎn)化方法，而應告訴學生：這樣轉(zhuǎn)化便于觀察，但我們暫時還不能求出涂色正方形的面積，到了中學就會很方便地求出，請換一種轉(zhuǎn)化方法。通過這一題的解答，讓學生充分感悟到：有時從正面進攻比較困難，不如換一個角度，從側(cè)面或反面進攻。筆者順勢出示匈牙利數(shù)學家路莎·彼得的名言：“數(shù)學家們往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題?！边@樣，學生對轉(zhuǎn)化策略就會有新的、更多的認識，就會積累更多的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗。

當然，在教學中，我們也要防止只用一種策略“狂轟濫炸”，使學生產(chǎn)生思維定勢和審美疲勞。我們要通過適當?shù)淖兪剑寣W生感悟到：解決問題要根據(jù)實際情況，靈活選擇策略，有時需要運用多種策略（具體教學過程略）。

四、在拓展時深入地“悟”

在教學轉(zhuǎn)化的策略時，許多教師在課尾都要進行適當?shù)耐卣购脱由?，介紹轉(zhuǎn)化在生活中的廣泛應用，如“司馬光砸缸”“ 圍魏救趙”等，介紹古今中外的名人運用轉(zhuǎn)化策略巧妙地解決數(shù)學問題的故事，如“曹沖稱象”“于振善稱面積”等，從而拓寬學生的視野，增強學生的轉(zhuǎn)化意識。筆者認為，在介紹這些故事時，教師不要只讓學生聽聽而已，而要讓學生邊聽故事，邊與主人公一起想辦法解決問題，仿佛置身其中，一同經(jīng)歷解決問題的全過程。這樣才能讓學生“悟”到“策略味”，“悟”到其中的數(shù)學思想，“悟”出新意，“悟”出智慧，從而提升策略，運用策略。

如在講述“于振善稱面積”的故事時，在介紹了相關(guān)背景后，可啟發(fā)學生思考：你知道，木匠出生的于振善在面對如何較為準確地求出各國不規(guī)則的地圖面積時，想到了什么巧妙的方法嗎？讓學生先獨立思考，自主探索。在學生一籌莫展或各抒己見后，才出示圖8，引導學生思考：你知道他是怎么“稱”的嗎？引導其再思考，再探索，并交流。在此基礎(chǔ)上，再逐步介紹于振善的方法：他找來一塊質(zhì)地均勻的木板，把各國不規(guī)則的地圖描在紙上，貼在這塊木板上。這時，筆者繼續(xù)引而不發(fā)：猜猜看，接著他會怎么做？在學生充分思考和交流的基礎(chǔ)上，再逐步揭示于振善的妙法：于振善從這塊貼有地圖的木板上鋸下一塊1平方分米的木板，稱出它的質(zhì)量。你知道下一步，于振善會怎么做？有的學生靈機一動，想到于振善會把所求面積的地圖從木板上鋸下，再稱出其質(zhì)量，最后把兩塊木板在質(zhì)量上的倍比關(guān)系轉(zhuǎn)化為它們面積之間的倍比關(guān)系，從而推算出地圖的面積。這時，學生情不自禁地感慨道：轉(zhuǎn)化真神奇！于振善真有智慧！這時，筆者引導學生反思：于振善究竟是用什么策略解決這一難題的？怎樣運用的？學生大多能領(lǐng)悟到：于振善是把不規(guī)則地圖的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的1平方分米的面積，通過兩塊木板在質(zhì)量上的關(guān)系，推算出未知的地圖的面積。

這樣，學生邊聽故事邊思考，一起經(jīng)歷解決問題的過程，遠勝直接介紹。學生不但印象深刻，而且從中能進一步強烈和深刻地體悟到轉(zhuǎn)化策略的神奇和價值，感悟到智慧的力量，從而增強運用策略解決問題的意識，使策略意識和數(shù)學思想逐步根植于心。

由此想到，策略教學必須切實重視學生的“悟”，要通過不斷地“悟”，引導學生“悟”出該策略的內(nèi)涵和本質(zhì)，“悟”出該策略的特點和使用方法等，并使學生養(yǎng)成“愛策略”“想策略”“用策略”的意識，增強其策略地、創(chuàng)造性地解決問題的意識，從而讓策略意識逐步走進學生心里，并內(nèi)化為自覺的行動。

（江蘇省高郵實驗小學 225600）endprint