讓算法在理解算理中凸顯出來

陳娟梅

【摘 要】計算教學(xué)的教學(xué)目標是理解算理，掌握算法，教學(xué)難點往往是理解算理。但教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法從掌握到應(yīng)用有一定困難。這與教材編排、教師的教學(xué)追求和教學(xué)設(shè)計都有密切關(guān)系。可以通過合理的教學(xué)設(shè)計，“先讓學(xué)生理解算理，掌握算法；再對口述過程簡化要求，接納算法；最后巧妙練習(xí)，凸顯算法”，使口算方法真正為口算而服務(wù)。

【關(guān)鍵詞】理解算理 掌握算法 簡化

筆者曾寫過題目為《讓算理在算法中清晰起來》的文章在《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2016年1～2合刊上發(fā)表，總以為算理是教學(xué)的難點，算法是教學(xué)的重點?？傄詾閷W(xué)生哪怕不理解算理，算法通過練習(xí)總是能掌握的。其實有些計算并不是這樣的，兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，如15×3=45，在新課學(xué)習(xí)的時候，學(xué)生能明白教師的意圖，用口算方法給你回答，10×3=30，5×3=15，30+15=45。一旦離開教師的追問“你是怎么算的”，學(xué)生提筆就用筆算的方法進行口算練習(xí)，不習(xí)慣用口算的方法完成口算習(xí)題。這種現(xiàn)象一直存在，教師也只是為教口算而口算，學(xué)生為完成練習(xí)而練習(xí)，教師關(guān)注更多的是口算的速度和準確度。

一、口算方法在教學(xué)中的相關(guān)問題

問題一：學(xué)生為什么不喜歡用口算方法

1.教材編排

[年 級 課 題 內(nèi) 容 二年級上冊 表內(nèi)乘法 1×1～9×9 三年級上冊 口算乘法 例1：20×3 例2：12×3 筆算乘法 例1：12×3 例2：16×3

例3：24×9 0和任何數(shù)相乘都得0 例1：0×7 7×0 筆算乘法 例2：604×8 例3：280×3 三年級下冊 口算乘法 例1：15×3 150×3

例2：6×10 12×20 筆算乘法 例1：14×12 例2：48×37 四年級上冊 筆算乘法 例1：145×12

例2：160×30 106×30 ]

從上表可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段“整數(shù)乘法計算”筆算乘法的內(nèi)容要比口算乘法多得多?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》評價建議中對第一學(xué)段技能評價作出明確要求，一位數(shù)乘兩三位數(shù)筆算1～2題/分。三年級上冊練習(xí)了一個學(xué)期的筆算，學(xué)生的筆算已形成技能，相當(dāng)一部分的學(xué)生對筆算的熟練程度已超出課標要求，甚至在腦海里已形成清晰的筆算乘法表象。

2.學(xué)生訪談

首先我們要知道，一個人看起來在進行邏輯思考，但其實大多數(shù)時間只是在進行記憶檢索。遇到問題時，你會首先在記憶中搜索解決方法，如果找到一種，你往往就會立刻使用它，這樣做很省事，而且大部分情況下很有效。在學(xué)生獨立練習(xí)口算時，觀察學(xué)生整個計算書寫過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的記錄順序是這樣的。如23×4 ，23×4 = 2→23×4 = 92，問： 23×4 你是怎么口算的？生答：20×4=80，3×4=12，80+12=92。再問：你在做這道題時，腦子里是怎么想的？生：列豎式，三四十二，寫2進1，二四得八進1是9，等于92。問：你剛才不是說口算是先算……再算……最后算……這道題就要你口算沒要求你筆算，為什么你腦子里還是筆算？生：因為口算太麻煩，筆算方便點。此時，我在琢磨學(xué)生認為的麻煩是什么， 可否克服。在討論交流中，學(xué)生認為口算要在腦海里記憶的太多，只有算到最后的加法才得出結(jié)果，而筆算的方法是邊算邊記憶，沒有記憶負擔(dān)。其實，學(xué)生是依賴長期記憶，遵循曾做過的步驟完成計算。

問題二：教材編排要求掌握什么口算方法？

教材呈現(xiàn)的例題：每筐有15盒草莓，買3筐草莓有多少盒？求3筐有多少盒也就是求3個15是多少，用乘法計算，15×3=45，像這樣能列式而且明白為什么這么列式計算，能計算出準確的結(jié)果及明確怎么算的方法，學(xué)生是沒有問題的。而教材的要求不只這些，呈現(xiàn)兩種不同的算法 ，體現(xiàn)算法多樣化。

教材編寫課題命名也是“口算乘法”，筆算是三年級上冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，很顯然，重點是讓學(xué)生掌握口算方法，即將兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)分別乘另一個乘數(shù)的積，再把兩個積相加。教學(xué)參考用書上的教學(xué)目標第一條也明確指出：要掌握兩位數(shù)、幾百幾十?dāng)?shù)乘一位數(shù)（進位），兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、整百數(shù)（不進位），整十?dāng)?shù)乘幾百幾十?dāng)?shù)（不進位）的口算方法，體會算法多樣化。編者意圖比較明確，口算方法是需要掌握的，用筆算法來進行口算只是體驗一下多樣化而已，自然，口算方法是教學(xué)的重點。

問題三：為什么非要用這種口算方法？

公開課、常態(tài)課，教師口算都是這樣教學(xué)的，學(xué)生也都是這樣很認真地口述口算過程，但同時也都是“愛你沒商量”地用筆算方法做習(xí)題的。但沒發(fā)現(xiàn)學(xué)生的計算有問題，也沒發(fā)現(xiàn)口算速度與準確度有問題。當(dāng)然，如果考試，口算題填空形式復(fù)習(xí)一下也不成問題，那么這樣的口算方法有何價值。

以上是兩種計算方法，第一種是新授的口算方法，第二種是已掌握的筆算方法。第一種方法是在學(xué)生理解各部分乘積表示什么意思的基礎(chǔ)上進行口算的，第二種方法是學(xué)生哪怕不理解算理，憑記憶也能完成的程序性知識。對于三年級孩子來講，在腦海里形成的豎式表象比口算方法來得方便，不需要思考，不需要記憶，口述起來比較簡單，而且口述與寫得數(shù)可以同步進行。而第一種三個算式都先要儲存于大腦，直到最后得出結(jié)果，才在算式后面寫上得數(shù)，整個過程既要思考又要記憶，學(xué)生顯然不喜歡。那么口算方法，僅從得出結(jié)果來講，并沒有多大的應(yīng)用價值，不管是速度還是準確度，那為什么還要學(xué)習(xí)？我們不妨看看學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)，乘法分配律a×（b+c）=a×b+a×c、初中里的多項式相乘（a+b）×（c+d）=ac+ad+bc+bd等，都蘊含著分與合的過程，還有兩位數(shù)×兩位數(shù)，如15×13需要口算時，口算方法15×10=150，5×13=65，150+65=215一定比豎式要方便。那么看似無用的口算方法對于后繼學(xué)習(xí)具有重要意義，面對學(xué)生的現(xiàn)狀該如何凸顯口算算法，真正落實口算方法，值得思考并要尋找相應(yīng)的教學(xué)策略。以下談?wù)剛€人粗淺的想法。

二、落實口算方法的教學(xué)策略

（一）理解算理，掌握算法

計算教學(xué)要讓學(xué)生理解算理，掌握算法。教材編排呈螺旋式上升，三年級上冊學(xué)生已經(jīng)學(xué)了類似于12×3不進位口算乘法，并掌握了10×3=30，2×3=6，30+6=36的口算方法，同時也掌握了12×3與16×3的筆算乘法。

教材創(chuàng)設(shè)生活中的水果超市情境，提出要解決的問題：每筐裝15盒草莓，買3筐，3筐草莓有多少盒？在熟悉的情境里學(xué)生更容易理解，同時也感受到，數(shù)學(xué)源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能解決生活中的一些實際問題。列出算式后，教材編排了方塊圖（見右圖），方塊圖同小棒圖一樣具有普適性，具有統(tǒng)一性、整齊性，學(xué)生比較熟悉，便于運用，能很好地起到幫助理解的作用。擺出第一個因數(shù)15，連續(xù)擺三次，可以思考，為什么15擺成1個+加5個一的樣子？體現(xiàn)數(shù)位、體現(xiàn)位值、體現(xiàn)分類，怎么算？用筆算方法，先算3乘5是15，寫5進1，再算1乘3得3，3加進上來的1是4，得45。筆算是口訣結(jié)合數(shù)位及位值原則求得積，整個過程對位值的理解至關(guān)重要，至于計算的要求是比較低的，針對這個題目，只是涉及表內(nèi)乘法及20以內(nèi)加法。口算是要求先合并3個10是30，再合并3個5是15，最后算30+15=45，每一步算式與圖的結(jié)合是比較簡單、具體、直觀的，是一一對應(yīng)的，學(xué)生的理解是不成問題的。在例題下面緊接著安排想一想：150×3= 。教材編排希望通過想一想，讓學(xué)生利用已掌握的兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法進行遷移，自主探索幾百幾十乘一位數(shù)的口算方法。其實學(xué)生遷移不了什么，也談不上自主探究，學(xué)生在做150×3時，會直接寫450，沒有思考過程，直覺告訴他，在45的末尾添上0得450。這樣的結(jié)果沒有錯，但理解還是有必要的，我們應(yīng)該通過自己的教學(xué)去幫助學(xué)生逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。根據(jù)前面15×3的圖示表示經(jīng)驗，給學(xué)生一個思考創(chuàng)造的空間，算算150×3為什么會是450。

用圖示表示150×3，再通過操作理解先算100×3=300，再算50×3=150，最后算300+150=450。讓學(xué)生思考為什么個位上會是0。因為圖里面只有幾個百和幾個十，壓根就沒有幾個一，所以個位必然是0。不要過早地上成簡單的尋找規(guī)律，一個因數(shù)末尾多了一個0，另一個因數(shù)不變，積的末尾也多一個0，這樣的教學(xué)要不得。不要因為計算速度及所謂的課堂教學(xué)效率而壓縮了學(xué)生自主探究的空間，從而使學(xué)生產(chǎn)生消極心理。理解算理不僅僅是例題教學(xué)的任務(wù)，讓算理之路走得更長一點，學(xué)生的思維發(fā)展也會多一點。算理理解了，算法也就是水到渠成的事了。

（二）簡化要求，接納算法

以求得一個算式的得數(shù)，算法往往不是唯一的，它是多樣的。有些方法是難理解的，但基本規(guī)則已銘記在心，比如，小學(xué)里經(jīng)常會出現(xiàn)簡便計算的題目，比如乘法分配律，理解很難，如果題目沒要求能簡便的要簡便計算，學(xué)生更愿意用已掌握的先乘除后加減的計算法則逐步求得結(jié)果。因為他們已熟悉了這條經(jīng)歷多次的老路，計算起來大腦會比較省力，失敗風(fēng)險較小。寧可選擇機械的、記憶的、熟悉的方法，哪怕煩瑣也無所謂。又如，本文講的15×3的口算乘法，在新課學(xué)習(xí)時，教師要求學(xué)生說出是怎么想的時候，學(xué)生會用10×3=30，5×3=15，30+15=45來講算理，以滿足教師的要求。一旦離開教師的口述要求，做練習(xí)仍然用筆算方法。那么，作為教師要思考一個問題：這節(jié)課也只是為了新課教學(xué)而見識一下口算方法嗎？肯定不是的。我們要思考，如何讓學(xué)生真正愛上口算方法，優(yōu)先考慮口算方法。首先要簡化，口述要簡單，計算要不難，便于孩子應(yīng)用。當(dāng)學(xué)生明白用三道算式計算的道理后，這時可以引導(dǎo)學(xué)生：其實你可以只算一道。學(xué)生：怎么可能？師：我算給你看看，15×3，只用算30+15=45，你知道30和15這兩個數(shù)怎么來嗎？學(xué)生異口同聲回答得很輕松。師：如果可以這樣你覺得如何？學(xué)生：好，那我喜歡。為什么可以省略呢？這取決于在什么環(huán)境下說給誰聽，大家在一起經(jīng)歷了整個計算過程，省略的只是大家熟悉的明白的兩步口算算式，那么簡化說的過程，不會影響孩子的思維，而且鍛煉了學(xué)生的心算，又鞏固了口算方法。

（三）巧妙練習(xí)，凸顯算法

任何一種算法，都要通過訓(xùn)練形成技能。一旦形成技能，學(xué)生就會得心應(yīng)手，自然應(yīng)用。由于口算過程煩瑣、枯燥乏味，盡量使練習(xí)設(shè)計得富有層次感、趣味性，使學(xué)生樂意參與。

教學(xué)15×3=45，教材利用方塊圖理解每一步算理，展示分與合的過程。同步出現(xiàn)口算方法的每一步算式，10×3=30，5×3=15，30+15=45。當(dāng)然出現(xiàn)豎式計算的方法同樣給予肯定，但不能毫無商量地要求學(xué)生口算時要說10×3=30，5×3=15，30+15=45三步算式，筆算時用豎式。讓學(xué)生暢所欲言兩種方法各自的特點，然后跟學(xué)生一起商討，既然口算自有自己的方法，我們想辦法學(xué)會它，并愛上它。先簡單記錄口算方法 ，這樣的過程記錄可以減輕學(xué)生的記憶負擔(dān)，通過練習(xí)，使學(xué)生熟悉了過程記錄，逐步建立表象，最終可以省略記錄。如教材安排做一做 ：

11×5 14×4 15×6 23×4

110×5 140×4 150×6 230×4

可以先完成第一行習(xí)題：

11×5 14×4 15×6 23×4

要求1：想象方塊圖或小棒圖，記錄口算過程（至少三步）。要求記錄三步的意圖是為了鞏固口算方法，建立口算模型。

要求2：說說口算過程?？粗?算式說口算過程，10×4=40，4×4=16，40+16=56，說得數(shù)。

要求3： 看著算式 直接說40+16=56，有意識簡化口述過程。

要求4：看著算式14×4直接說加法40+16=56。

此時發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生還是挺樂意這樣做的。對于中下水平的學(xué)生可以先記錄過程再寫得數(shù)，允許慢慢說，延長簡化的過程，給予熟悉、接納的等待過程。

要求5：添上0想象圖式（可以是方塊、小棒、人民幣等），想象合并過程，記錄簡單過程。如：

要求6：說說合并過程，用一步加法算式說得數(shù)。

要求7：你還想說些什么？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一組的第二個算式比第一個算式的得數(shù)都多了一個0。

要求8：這是為什么？

一個因數(shù)不變，一個因數(shù)多了一個0，積也多了一個0。

不同時出現(xiàn)兩行口算題的目的是為了避免不經(jīng)歷思考憑直覺而得出150×3=450，我們不以結(jié)果為目的，不以速度為目的……為學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展而教。當(dāng)學(xué)習(xí)完整個單元內(nèi)容時，試著讓孩子口算類似15×12的兩位數(shù)×兩位數(shù)算式，此時學(xué)生能輕松口算150+30=180，再讓他們用筆算的方法來口算時，學(xué)生無法清晰筆算過程，無法建立筆算表象?？傊?，作為老師在算理和算法上有個正確的認識，在全面分析學(xué)情的基礎(chǔ)上使口算方法真正為學(xué)生的口算而服務(wù)。

參考文獻：

[1]斯苗兒，俞正強.“浙江省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)建議”案例解讀——小學(xué)數(shù)學(xué)[M].杭州：浙江教育出版社，2014.

[2]劉加霞，劉琳娜.小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)模式[M].北京：北京師范大學(xué)，2014.

（浙江省永嘉縣教師發(fā)展中心 325100）