建構(gòu)邏輯連貫的學(xué)習(xí)拓展數(shù)學(xué)思維的深度

摘 要：受教學(xué)研討活動啟發(fā)，仔細(xì)解讀教材編寫意圖，建構(gòu)邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在探究勾股定理與圖形面積的關(guān)系中，學(xué)會有深度的數(shù)學(xué)思考。

關(guān)鍵詞：勾股定理;圖形面積關(guān)系;邏輯連貫;數(shù)學(xué)思維

勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，要把它作為一粒“知識種子”去種植，去啟迪學(xué)生的智慧，要發(fā)掘它的人文歷史，理順?biāo)c圖形面積的關(guān)系。筆者為學(xué)生搭建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握勾股定理與圖形面積關(guān)系的過程中學(xué)會思考，現(xiàn)整理成文與讀者分享。

一、 研究緣起

筆者有幸參與一次教學(xué)研討盛會，深受展示課的設(shè)計理念和課堂實(shí)踐的啟發(fā)，盛會之后從整體上對《勾股定理與圖形面積關(guān)系的拓展》進(jìn)行設(shè)計和實(shí)踐，以它為知識“源”進(jìn)行再生長。

（一） 亮點(diǎn)呈現(xiàn)

李老師所授的《勾股定理與圖形面積關(guān)系的拓展》，采用“自主探究、合作交流”的教學(xué)模式，從注水法實(shí)驗(yàn)展示，到以長三角南京、上海和杭州為頂點(diǎn)構(gòu)作三角形的形狀判斷，從借助教材內(nèi)容剪影回顧到張景中院士的無字證明，從神奇勾股樹欣賞到勾股定理與圖形面積關(guān)系的拓展，行云流水，一線展開。立足教材起點(diǎn)，從熟悉的基本圖形為切入點(diǎn)，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)里提供一個有探究價值的問題，在探究中點(diǎn)燃學(xué)生的思維火花，注重知識、思想的自然生長。

（二） 課堂評價

李老師不管從設(shè)計理念，課堂組織，調(diào)控駕馭，數(shù)學(xué)理解，可圈可點(diǎn)之處很多，但總體上學(xué)生是被老師牽著鼻子前行，沒有離開老師精心預(yù)設(shè)的軌道。對《原本》第六卷命題31進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，隨著時間的推移，學(xué)生對命題學(xué)習(xí)的內(nèi)容早晚會流失。而教學(xué)不僅僅要對事實(shí)和技能學(xué)習(xí)，還有必要使學(xué)生揭示隱藏在事實(shí)背后的發(fā)生發(fā)展的歷程，挖掘隱含其中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法等“緘默性知識”。

二、 從邏輯連貫的視角對教學(xué)進(jìn)行設(shè)計

《大學(xué)》有云：“物有本末，事有始終，知所先后，幾近道矣！”把握教學(xué)內(nèi)容的前后連貫性，幫助學(xué)生將零散知識網(wǎng)絡(luò)化，促進(jìn)數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解，生長出高階思維的“翅膀”。

（一） 勾股定理為何如此招人“青睞”？

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)勾股定理，明白它是直角三角形三邊之間的關(guān)系，是最著名的定理之一，為什么是最著名的？它在圖形研究、生產(chǎn)實(shí)際中有廣泛應(yīng)用，“廣泛”體現(xiàn)在那些地方？趙爽弦圖為什么能作為在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)？為什么有那么多名人去研究勾股定理，對它如此的癡迷？在教學(xué)中老師對它為什么如此重視？從課本中獲得一定的認(rèn)識，但并不是所有的學(xué)生會產(chǎn)生上面的質(zhì)疑和反省。

（二） 幾種版本教材編者都安排“閱讀材料”有何用意？

綜觀幾種不同版本的教材，1. 人教版從畢達(dá)哥拉斯對地板花紋的觀察、思考，在格點(diǎn)中計算等腰直角三角形三邊向外作正方形，計算正方形的面積，得到三邊關(guān)系，然后從特殊到一般三角形的思考，最后用趙爽弦圖證明。北師大版通過畫圖、測量、數(shù)格子、計算等方式得出勾股定理，再對大正方形割補(bǔ)來證明。浙教版從四個全等的直角三角形剪拼引出勾股定理，然后用面積進(jìn)行證明。編者的意圖大同小異，為什么？2. 人教版在閱讀材料中安排勾股定理多種證法，北師大版在課后的“數(shù)學(xué)思考”中編排直角三角形三邊上半圓面積之間的關(guān)系。浙教版在閱讀材料中介紹勾股定理與面積拓展，以及月牙定理。教材受篇幅限制，不能面面俱到，安排這些閱讀材料有什么用意？想讓學(xué)生認(rèn)識勾股定理從人類生活實(shí)際測量面積中來，再回到“形態(tài)各異”的圖形面積應(yīng)用中去，不僅要從思想、方法角度，還要從文化的角度欣賞勾股定理的全貌和魅力，向他們昭示數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。

《易經(jīng)》云：“取法乎上，僅得其中;取法乎中，僅得其下?！币詫W(xué)生已有的勾股定理知識為出發(fā)點(diǎn)，挖掘知識發(fā)展的起源，使知識、思想和文化互相貫通。

1. 確定預(yù)期的教學(xué)結(jié)果

（1）了解勾股定理歷史文化，認(rèn)識勾股定理來源和流向。

（2）探究《原本》第六卷命題31對勾股定理進(jìn)行面積拓展。

（3）繪制勾股定理的思維導(dǎo)圖，揭示勾股定理與圖形面積之間的關(guān)系。

2. 確定合適的評估證據(jù)

（1）以任務(wù)驅(qū)動形式，利用網(wǎng)絡(luò)或書籍課前查閱、收集勾股定理的歷史文化知識，并在課堂上請學(xué)生對材料進(jìn)行解釋、闡明、應(yīng)用、洞察等，體會勾股文化的博大精深。

（2）用動手操作、獨(dú)立思考、合作交流和邏輯推理等學(xué)習(xí)方式，探究《原本》第六卷命題31。

（3）師生一起對所收集的材料進(jìn)行探討，并繪制思維導(dǎo)圖，理順勾股定理的源與流。

三、 基于邏輯連貫的教學(xué)實(shí)踐

查閱環(huán)節(jié)：課前請學(xué)生用網(wǎng)絡(luò)和書籍，查閱、收集勾股定理有關(guān)歷史文獻(xiàn)，備注文獻(xiàn)的來源，遇到疑惑查資料解惑，也可以和身邊的人交流釋疑，并整理成文。（提示：可以從勾股定理來源、命名、證法、推廣和應(yīng)用等方面收集。）

展示環(huán)節(jié)：課上請學(xué)生先在本小組內(nèi)交流自己收集的文獻(xiàn)，然后推薦代表展示自己小組內(nèi)的研究成果，組員協(xié)同完成。最后師生對展示成果進(jìn)行分析、歸納、綜合和概括，對學(xué)生存在疑問的地方集體探討。

師：我們已經(jīng)知道“勾股定理”是世界上最偉大的發(fā)現(xiàn)之一，國內(nèi)外很多人對勾股定理一直保持著極高的熱情。請你們把課前收集的成果按來源、命名、證法、推廣和應(yīng)用五方面在小組內(nèi)交流展示，并說明來源。

生1：我們是從命名上收集的，來源于網(wǎng)絡(luò)。勾股定理是中文名，在中國古代人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，并有“勾三股四玄五”的簡單說法，據(jù)說在《周脾算經(jīng)》最早由商朝時期的商高提出，又名為“商高定理”。在西方最早提出并證明此定理為公元前6世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”。為慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，這個定理又叫做“百牛定理”。

生2：我們從勾股定理的證法上去收集的，來源于書本和網(wǎng)絡(luò)。三國時期趙爽為證明勾股定理作“勾股圓方圖”，即“弦圖”，如圖1，前面我們新課中探究過，就不再啰唆。2002年第24屆國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開，中國郵政發(fā)行一枚郵資明信片，郵資圖，如圖2就是這次大會的會標(biāo)中國古代證明勾股定理的趙爽弦圖。

生3：我們組推薦的是古代數(shù)學(xué)家劉徽用拼出的青朱出入圖，如圖3來證明勾股定理，其大意為：一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再割補(bǔ)——以盈補(bǔ)虛，分割線內(nèi)不動，線外則“各從其類”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。親愛的同學(xué)們，你會證明嗎？鉆研它我沒有少花時間！

生4：在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出歐幾里得的證法，設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角，從A點(diǎn)劃一直線至對邊，使其垂直于對邊，延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等，如圖4。為了弄明白此證明過程，我在家琢磨好久，很有意思的，其中要用到全等三角形的SAS判定，還要使用面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有興趣的伙伴們可以嘗試。

生5：我們還有美國總統(tǒng)證法，張景中院士的無字證明法，還有看不懂的平面向量法……

師：同學(xué)們是否發(fā)現(xiàn)，上面的證明方法都是從計算圖形的哪個角度來證明的？

眾生異口同聲：面積。

師：到目前為止，勾股定理的證明方法已有400多種。由于時間關(guān)系，在這里就不請同學(xué)們一一來展示，有興趣的同學(xué)可在你的認(rèn)知范圍進(jìn)行思考，整理。除了證明方法外，還有其他嗎？

生6：我們從網(wǎng)絡(luò)上收集到畢達(dá)哥拉斯樹，又叫“勾股樹”，如圖5，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復(fù)的樹形圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達(dá)哥拉斯樹。通過觀察和思考，發(fā)現(xiàn)一個很有趣的性質(zhì)，同一次衍生出所有小正方形面積之和等于最大正方形的面積，你能說出圖6，圖7中，這些圖形面積之間存在的等量關(guān)系嗎？

生7：我們在課本的閱讀材料里還發(fā)現(xiàn)一個有趣性質(zhì)：在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和。有點(diǎn)似懂非懂……

點(diǎn)評：利用信息化的便利，學(xué)生親身經(jīng)歷勾股定理相關(guān)知識的收集、整理，學(xué)會對信息進(jìn)行過濾，吸收，學(xué)會在閱讀中思考，在思考中閱讀，在課堂上進(jìn)行交流、溝通、合作和解決問題，學(xué)會共處，促進(jìn)多元化發(fā)展。其實(shí)，人的大腦是個四通八達(dá)的交通網(wǎng)絡(luò)，每兩個點(diǎn)都被若干條道路連接，有足夠多的道路聯(lián)結(jié)的地點(diǎn)是核心知識，要以這些知識為“內(nèi)核”，與其他知識彼此貫通，構(gòu)成一張知識網(wǎng)絡(luò)，勾股定理就是這種核心知識，學(xué)生理解它需要經(jīng)歷知識還原于下層，體驗(yàn)與探究，反思與上浮的“U型”學(xué)習(xí)過程，才能獲得知識的意義增值，而不是性質(zhì)的簡單占有。

探究環(huán)節(jié)：學(xué)生動手操作、獨(dú)立思考、合作交流和邏輯推理等方式，探究《原本》第六卷命題31。

師：那我們就一起研究學(xué)生7提出的問題。在前面已經(jīng)知道，分別向直角三角形三邊向外作正方形，圖8中得到結(jié)論S1+S2=S3。

師：既然外作正方形有這樣規(guī)律，分別以直角三角形的三邊向外任意畫三角形，行嗎？請同學(xué)們試試看。（學(xué)生畫圖出進(jìn)行觀察、思考。）

生8：這一結(jié)論不一定成立。

師：為什么？談?wù)勀愕睦碛伞?/p>

生8：這三個三角形只是固定了AB，AC，BC的長，而對應(yīng)邊上的高沒確定，根本沒法計算它們的面積，所以沒法確定S1+S2=S3是否成立。（在黑板上畫出一個圖形9解釋。）

師：反例構(gòu)造得非常好！這些三角形滿足什么條件結(jié)論才能成立呢？請大家試試。（小組進(jìn)行交流、討論，老師巡視參與小組討論。）

生9：設(shè)BC，AC，AB邊上的高為h1，h2，h3，令BC=a，AC=b，AB=c，要使S1+S2=S3成立，只需ah12+bh22=ch32，即有ah1+bh2=ch3，而根據(jù)勾股定理有a2+b2=c2，對比這兩個式子，要求h1a=h2b=h3c就可以。

師：對這位同學(xué)見解是否有異議？大家試試看。（學(xué)生認(rèn)真地思考，驗(yàn)證想法，很多同學(xué)同意他的想法。）我們想請教剛才提供這么好的想法的同學(xué)說說，你是如何發(fā)現(xiàn)的？

生9：我主要是對比ah1+bh2=ch3，a2+b2=c2這兩個式子，剛開始只要讓h1=a，h2=b，h3=c這兩個式子一樣，這時大膽的猜想，能否讓h1，h2，h3在a，b，c的基礎(chǔ)上縮?。ɑ蛘邤U(kuò)大）相同的倍數(shù)，即h1a=h2b=h3c=k（k>0），然后代入到a2+b2=c2演算一下，發(fā)現(xiàn)是正確的。（該生一邊抓著自己的腦袋，一邊回答說。）

師：這種對比方法太厲害！希望同學(xué)們以后多學(xué)習(xí)他這種大膽猜想的思考方法！上面問題中，我們要求四邊形是正方形，若這三個三角形為……

學(xué)生異口同聲說：正三角形。

師：請同學(xué)們對這個結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證試試看。如圖10，分別以Rt△ABC三邊a，b，c為邊向外作正三角形，則S1+S2=S3成立嗎？請說明理由。

生10：老師，正三角形的高線怎么求？

師（面帶狡黠的笑容）：獨(dú)立思考后發(fā)現(xiàn)不會，來尋找?guī)椭芎?！由于二次根式的知識還沒學(xué)到，推理比較困難，我們可借用幾何畫板進(jìn)行度量驗(yàn)證，如圖11，請同學(xué)們仔細(xì)觀察。（打開幾何畫板，拖動C點(diǎn)觀察三角形面積之間的等量關(guān)系。）

圖11

△CAD的面積=10.42厘米2

△CBE的面積=3.45厘米2

△AFB的面積=13.86厘米2

眾生異口同聲：真的相等！

師：上述結(jié)論是否適合其他圖形？比方說，向外畫正六邊形是否成立？畫半圓呢？大家試一試?。ㄗ寣W(xué)生進(jìn)行練習(xí)，老師巡視，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行指導(dǎo)。）

師：我們知道正三角形與正三角形、正方形與正方形、正六邊形與正六邊形以及半圓與半圓都是形狀相同的圖形，在九年級學(xué)習(xí)相似三角形時把它們都稱為相似圖形，通過以上的研究，歸納出性質(zhì)：在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和。

點(diǎn)評：把課堂真正還給學(xué)生，給足學(xué)生交流的時空，在交流、對比和思考中體驗(yàn)勾股定理與圖形面積關(guān)系的自然生成。巧妙地將學(xué)生置于研究者的狀態(tài)，自主地參與到學(xué)習(xí)活動中來，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流，這與弗賴登塔爾“再創(chuàng)造原理”有異曲同工之妙，不把數(shù)學(xué)知識作為預(yù)先確定的、正確的東西直接塞給學(xué)生，這些東西主要還是靠學(xué)生自己的探究和創(chuàng)造來完成，以學(xué)生積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)思考方式來發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題。

梳理環(huán)節(jié)：請學(xué)生繪制勾股定理與圖形面積關(guān)系的思維導(dǎo)圖。

師：前面同學(xué)們對展示成果進(jìn)行交流，收集整理的資料非常詳細(xì)，閱讀理解文本非常認(rèn)真，很會動腦思考！特別是，探究《原本》第六卷命題31對勾股定理進(jìn)行面積拓展時，思考得十分深入，非常好！其實(shí)“勾股文化”豐富多彩，值得我們好好去學(xué)習(xí)，多多去研究。查閱的資料可歸結(jié)為：定理的命名和證明，發(fā)展歷程，從形狀和表達(dá)式的兩個方面進(jìn)行推廣，還有應(yīng)用等。

點(diǎn)評：人的智能核心成分是思維，而概括既是思維的第一特征，也是智能的首要特點(diǎn)。繪制勾股定理思維導(dǎo)圖，使得學(xué)生站在系統(tǒng)的高度對信息進(jìn)行概括、壓縮和整合，把握數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)思想方法，擴(kuò)大“元”知識和“元”方法，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、 基于邏輯連貫的教學(xué)反思

雖然數(shù)學(xué)的發(fā)展極其不合邏輯的，但是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程具有“同構(gòu)性”，建構(gòu)邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，目的是使學(xué)生縮短多元聯(lián)結(jié)知識的時間，拓展有深度的思維空間，為學(xué)生的生長謀求長遠(yuǎn)利益的發(fā)展。

（一） 回歸本源性知識的教學(xué)

要教給學(xué)生什么層面的知識，是知識層面，是思維層面，還是文化層面？思考此問題是教學(xué)設(shè)計的起點(diǎn)，也是課堂教學(xué)實(shí)踐的著力點(diǎn)。備課時老師要回歸學(xué)生思維的起點(diǎn)，前后貫通地挖掘教材中一節(jié)課的價值。此節(jié)課中，深入解讀編者意圖，拓寬學(xué)生閱讀的視角，讓學(xué)生在收集、查閱文獻(xiàn)中領(lǐng)悟勾股文化的燦爛，在交流過程中將顯性的勾股定理知識與緘默的思維、方法、文化有機(jī)聯(lián)合，在交流互動中達(dá)到師生思維場的同頻共振。

（二） 讓學(xué)體驗(yàn)知識的生成

哲學(xué)家海德格爾說過：教難于學(xué)，乃因教所要求的是讓學(xué)。讓學(xué)要老師理解何為讓學(xué)？什么地方讓？怎么讓？把知識的發(fā)現(xiàn)權(quán)，知情權(quán)讓給學(xué)生，讓學(xué)生去收集資料，讓學(xué)生去查閱勾股歷史文化，讓學(xué)生自己去理解，讓學(xué)生去展示交流，讓學(xué)生大膽地講述自己的奇思妙想，讓學(xué)生去整理知識，體會知識的形成和深化，老師學(xué)會傾聽，追問，留白，忘記預(yù)設(shè)，順應(yīng)學(xué)情。

（三） 探究關(guān)注知識的生長點(diǎn)

1. 先行組織查閱，激活知識“固著點(diǎn)”

以任務(wù)驅(qū)動形式，利用網(wǎng)絡(luò)或書籍課前查閱，整理成非連續(xù)的引導(dǎo)性材料，了解勾股定理的歷史文化，架設(shè)新舊知識間的“認(rèn)知橋梁”，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供理想的“固著點(diǎn)”，激發(fā)有意義學(xué)習(xí)的心向。

2. 探究數(shù)學(xué)問題，建構(gòu)合適“潛在距離”

利用先行組織者植入或激活的基礎(chǔ)上，對勾股定理與圖形面積關(guān)系的探究進(jìn)行自然而然的生長，建構(gòu)合適的新舊知識聯(lián)結(jié)的“潛在距離”，對知識進(jìn)行同化，使得新知識獲得意義，舊知識得到鞏固、修正而獲得新的意義。生9解決的問題，知識固著點(diǎn)與新問題的潛在距離比較遠(yuǎn)，探究的難度比較大，很多學(xué)生只能滿足驗(yàn)證結(jié)論的狀態(tài)。生10不能解決的問題，也屬于潛在距離比較遠(yuǎn)。短距聯(lián)接能漸進(jìn)分化完成，長距聯(lián)接更多靠學(xué)生的創(chuàng)造智慧。

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作者簡介：

王黎明，浙江省杭州市，浙江省杭州濱和中學(xué)。