承前啟后 深耕本原
——由“直線與圓的位置關(guān)系”引發(fā)的思考

□劉清清 衛(wèi)德彬

（肥西縣上派初級(jí)中學(xué)，安徽肥西 231200）

一、考試分析引發(fā)的調(diào)研

問(wèn)題 如圖1，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過(guò)A，D兩點(diǎn)作圓O（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1

圖2

以上問(wèn)題是2019年肥西縣教育局組織的九年級(jí)第一次質(zhì)量調(diào)研考試中的一道解答題，圖2 是該問(wèn)題的尺規(guī)作圖.第一問(wèn)，考查的知識(shí)是“直線與圓的位置關(guān)系”.為了了解筆者學(xué)校的1150名學(xué)生對(duì)“直線與圓的位置關(guān)系”知識(shí)的掌握情況，針對(duì)第一問(wèn)，對(duì)全校學(xué)生解答情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì).統(tǒng)計(jì)結(jié)果大致分為三種：①作圖正確，判斷正確，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推理證明說(shuō)明判斷正確；②作圖正確，判斷正確，通過(guò)觀察圖2的圖象（無(wú)證明過(guò)程）說(shuō)明判斷正確；③其他.具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1.

表1

由表1 可見(jiàn)，有23.1%的學(xué)生采用觀察圖象完成第一問(wèn)，而未選擇推理證明.為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？基于疑問(wèn)，筆者對(duì)結(jié)果②的266名學(xué)生隨機(jī)抽取11人進(jìn)行訪談.

教師：為什么會(huì)想到這樣去解答這道題？

學(xué)生a：判斷直線與圓的位置關(guān)系，有兩種方法，一種是利用d與r的關(guān)系，一種是利用直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù).（其他學(xué)生附和）

教師：為什么平時(shí)“證明直線與圓相切”時(shí)，不選擇判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法？

學(xué)生b、學(xué)生c、學(xué)生d：因?yàn)轭}目中明確要求“證明”，就必須證明.（其他學(xué)生附和）

教師：這一題為什么沒(méi)有選擇證明？

學(xué)生b：因?yàn)轭}目沒(méi)有明確要求我們證明，只是說(shuō)“說(shuō)明理由”，既然從圖中可以清晰地看出一個(gè)交點(diǎn)，就選擇數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù).并且用圖形解題更快，更節(jié)省時(shí)間.（其他學(xué)生附和）

教師：不怕觀察有誤嗎？或是作圖不準(zhǔn)，造成觀察錯(cuò)誤？！

學(xué)生b、學(xué)生e、學(xué)生f：不會(huì).因?yàn)橹本€與圓的位置關(guān)系中最有考試價(jià)值的只有“相切”?。ㄆ溆鄬W(xué)生附和）

由訪談結(jié)果可知，結(jié)果②的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)考試的“精準(zhǔn)”把握是通過(guò)對(duì)題目意思以及“數(shù)形結(jié)合”的理解來(lái)實(shí)現(xiàn)的.

那么，為什么會(huì)出現(xiàn)這種答題心理呢？

二、尋根究底找癥結(jié)

我國(guó)人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)教科書(shū)對(duì)切點(diǎn)的定義是：如果直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線與圓的位置關(guān)系叫作相切.在教師用書(shū)中，本節(jié)的教學(xué)建議如下：對(duì)于直線和圓相切，要向?qū)W生指出：這時(shí)的公共點(diǎn)是唯一的，有且僅有一個(gè).由直線和圓的三種位置關(guān)系，教科書(shū)通過(guò)一個(gè)“思考”欄目，直觀得到圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系.這三個(gè)結(jié)論，通過(guò)觀察和思考，學(xué)生容易得到.應(yīng)使學(xué)生明確，它們既可以作為各種位置關(guān)系的判定，也可以作為位置關(guān)系的性質(zhì).這里，還可以進(jìn)一步指出：直線和圓的位置關(guān)系既可以用它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離和半徑的數(shù)量關(guān)系區(qū)分，它們是一致的.接著教師用書(shū)給出表2輔以說(shuō)明.

表2

這段話和表2強(qiáng)調(diào)，在分析直線與圓的位置關(guān)系時(shí)一定要注意數(shù)形結(jié)合，通過(guò)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)也可以判斷直線與圓的位置關(guān)系.于是，學(xué)生“犯錯(cuò)”的原因就浮出水面：①把“判斷”當(dāng)成“說(shuō)理”.②把“直接觀察”的結(jié)果當(dāng)作嚴(yán)格的說(shuō)理證明.③不理解直線與圓位置關(guān)系的本質(zhì).那么，直線與圓位置關(guān)系的本質(zhì)是什么呢？教師又該怎樣去進(jìn)行正確的引導(dǎo)呢？

三、追本溯源定教法

判斷直線與圓位置關(guān)系的代數(shù)方法是利用“圓心到直線的距離”與“半徑的大小”作比較，即轉(zhuǎn)化為垂線段與半徑的大小關(guān)系，而垂線段就是圓心與垂足的距離.垂足與圓的位置關(guān)系決定著直線與圓的位置關(guān)系.綜上，判斷垂足與圓的位置關(guān)系，本質(zhì)上還是判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.隨著學(xué)生知識(shí)的豐富，在未來(lái)的高中教育中，學(xué)生就會(huì)深曉：相切是極限的一個(gè)應(yīng)用，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)“決定”是否相切實(shí)際上是完全錯(cuò)誤的.教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)乩谩俺啊钡乃枷耄O限思想）來(lái)引導(dǎo)學(xué)生正確理解相切，而不是從交點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度.否則，就會(huì)給學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)帶來(lái)影響.

那么，如何讓學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)不與后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生認(rèn)知沖突呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)上做到既要“承前”，又要“啟后”，要抓住核心，深耕知識(shí)的本原.教學(xué)目標(biāo)應(yīng)與學(xué)生今后的發(fā)展相結(jié)合，既要讓學(xué)生獲得知識(shí)，又要考慮到學(xué)生今后的發(fā)展和學(xué)習(xí).鑒于此，直線與圓的位置關(guān)系這一課題還需要重新架構(gòu)教學(xué)過(guò)程.

四、承前啟后重架構(gòu)

基于以上考慮，筆者提倡一種承前啟后、深耕本原的教學(xué)思路，具體闡釋如下.

（一）溫故知新巧導(dǎo)入

首先，以承前式的提問(wèn)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題，從新的角度認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)系.

教師：我們剛剛學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種，又是如何判斷的.

學(xué)生回答完畢后，教師展示點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的要點(diǎn).

教師：若是把點(diǎn)換成直線，直線上的任意一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如何呢？（多媒體展示點(diǎn)換成直線，并呈現(xiàn)圓與直線相離的情況）

學(xué)生1：都在圓外.

教師：具體說(shuō)一說(shuō).

學(xué)生2：直接觀察得到.

學(xué)生3：在直線上任意找一點(diǎn)記為A，連接AO，因?yàn)锳O>r，所以直線上的點(diǎn)在圓外.

教師：像這種直線與圓的位置關(guān)系我們叫作“直線與圓相離”.同學(xué)們，今后判斷直線與圓是否相離，有沒(méi)有更簡(jiǎn)捷的方法呢？

學(xué)生代表：找到離圓心最近的點(diǎn)，判斷該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可.過(guò)圓心作直線的垂線，因?yàn)榇咕€段最短，所以垂足就是離圓心最近的點(diǎn).因?yàn)榇咕€段大于半徑，則垂足在圓外，所以直線與圓相離.

教師繼續(xù)拉動(dòng)直線，直至直線與圓相交.

教師：這時(shí)，直線上的任意一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系又如何？

學(xué)生4：有些點(diǎn)在圓外，有兩個(gè)點(diǎn)在圓上，還有一些點(diǎn)在圓內(nèi).

教師：像這種位置關(guān)系我們稱之為相交.請(qǐng)同學(xué)們思考，有沒(méi)有類(lèi)似于判斷直線與圓相離的方法，簡(jiǎn)捷地判斷相交呢？

學(xué)生5：還是找離圓心最近的點(diǎn)，也就是找垂足.垂線段小于半徑，垂足在圓內(nèi)，則直線與圓相交.

【設(shè)計(jì)意圖】教學(xué)無(wú)論是何種形式，教學(xué)的初心是為了讓學(xué)生更好地理解與認(rèn)識(shí)新知，并為繼續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.承前啟后的教學(xué)方式正是體現(xiàn)了這一宗旨.以前一節(jié)知識(shí)作為引入，通過(guò)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系過(guò)渡到認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)系，這樣的引入更為順其自然，知識(shí)的邏輯關(guān)系更為流暢.

（二）極限思想來(lái)相助

在基礎(chǔ)性知識(shí)學(xué)習(xí)的前提下，教師通過(guò)講解、闡述、提問(wèn)，帶領(lǐng)學(xué)生更深入地進(jìn)入問(wèn)題的本質(zhì).

教師：這兩個(gè)交點(diǎn)我們記為點(diǎn)A，B，現(xiàn)在點(diǎn)A固定不動(dòng)，讓直線繞著A點(diǎn)逆時(shí)針（或順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀看，說(shuō)說(shuō)你看到了什么.（見(jiàn)圖3）

圖3

學(xué)生6：點(diǎn)B沿著圓周慢慢地向點(diǎn)A滑動(dòng)，并與點(diǎn)A重合，垂足H也與點(diǎn)A重合.

學(xué)生7：當(dāng)點(diǎn)B越來(lái)越靠近A時(shí)，無(wú)論是逆時(shí)針還是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線的位置是確定的.

教師：像這樣，直線與圓的位置關(guān)系稱之為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)，這條直線叫作切線.從上面的操作可以看到，切點(diǎn)是直線與圓相交步步夾逼出現(xiàn)的極限情形，我們將在高中學(xué)習(xí)極限.那么，我們還可以用類(lèi)似于前面的辦法判斷直線與圓是相切的嗎？

學(xué)生8：可以.當(dāng)垂足在圓上時(shí)，直線與圓就是相切的.

【設(shè)計(jì)意圖】直線與圓相切是初中生初嘗極限思想的案例之一，幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)地演示極限的思想，交點(diǎn)、切點(diǎn)、垂足的“三點(diǎn)合為點(diǎn)A”，于是引出相切.利用極限思想讓學(xué)生體會(huì)直線與圓相切時(shí)垂足就是切點(diǎn)，而垂足只有一個(gè)，所以直線與圓相切時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn).這才是直線與圓相切的本質(zhì)所在.如此就避免了學(xué)生對(duì)相切理解的偏差，或是只局限于公共點(diǎn)個(gè)數(shù)上.

教師：由此我們可以看到，判斷直線與圓的三種位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為判斷什么？

學(xué)生9：判斷垂足與圓的位置關(guān)系.若垂足在圓外，則直線與圓相離；若垂足在圓上，直線與圓相切；若垂足在圓內(nèi)，則直線與圓相交.

學(xué)生10：判斷垂線段與半徑的關(guān)系.

學(xué)生11：判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系.

教師：直線與圓位置關(guān)系的判定也可以轉(zhuǎn)化為判斷垂足在何處！與我們上一節(jié)學(xué)習(xí)的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一脈相承.從“數(shù)”的角度來(lái)看，即是判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】深耕知識(shí)的本質(zhì)，需要我們統(tǒng)觀數(shù)學(xué)，思考知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，關(guān)注舊知、新知、未學(xué)知識(shí)三者的相互銜接.回到本節(jié)課，判斷直線與圓的位置關(guān)系（新知）就是判斷垂足（點(diǎn)）與圓的位置關(guān)系（舊知），而相切就是極限情形（未學(xué)知識(shí)）.這樣才關(guān)注了直線與圓的位置關(guān)系的本質(zhì)，關(guān)注了新知與舊知的密切聯(lián)系，關(guān)注了前面知識(shí)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的橫向遷移作用.此時(shí)，學(xué)生對(duì)表2的理解是質(zhì)的飛躍，而非停留在表面.

2013 年，章建躍在《構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考》[1]中提到學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是“前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程”.此文警示我們教學(xué)時(shí)不能只顧著“一畝三分地”，要思考知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)，更好地讓學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系.教師如果在備課中做到“前后一致、邏輯連貫”，體現(xiàn)知識(shí)的承前啟后，于生于師都是大有裨益的.如此雙贏，我們?yōu)槭裁床蝗L試呢？