平面向量概念教學(xué)的診斷與改進(jìn)

□白改平 徐元根 褚海峰

（1.浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江金華 321004；浙江師范大學(xué)行知學(xué)院，浙江金華 321004）

一、向量概念的教學(xué)地位和教學(xué)爭(zhēng)議

向量是高中數(shù)學(xué)的核心概念，不僅豐富了數(shù)學(xué)內(nèi)容，擴(kuò)充了運(yùn)算體系，而且作為一種工具，簡(jiǎn)化幾何證明，成為溝通代數(shù)、幾何和三角的橋梁.很多教師認(rèn)為后者是高中向量教學(xué)的重點(diǎn)，而向量概念的教學(xué)并不那么重要[1].為此，在實(shí)際教學(xué)中，一線教師基本按照教材的編排，通過(guò)向量的物理背景引入概念，然后以菜單的形式把概念一個(gè)個(gè)講清楚.那么，這種教學(xué)方式究竟合不合適？要回答這個(gè)問(wèn)題需要考慮以下三個(gè)問(wèn)題.

（1）數(shù)學(xué)中的向量和物理中的矢量是否完全一致？

向量包括固定向量和自由向量?jī)煞N.自由向量只考慮向量的大小和方向，而起點(diǎn)的位置是任意的；但固定向量除了向量的方向、大小確定外，起點(diǎn)的位置也是確定的.數(shù)學(xué)中所研究的向量是自由向量，正是由于向量的起點(diǎn)可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要自由移動(dòng)，才使得運(yùn)用向量解決問(wèn)題具有方便性、簡(jiǎn)潔性.而物理中的矢量（如作用力）許多情況下需要考慮作用點(diǎn)的位置.可見(jiàn)物理中的矢量和數(shù)學(xué)中的向量還是有差異的，所以如果按照教材的編排實(shí)施教學(xué)，從物理背景中抽象出向量概念的本質(zhì)特征，這并不利于學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)中的向量.

（2）學(xué)生是否對(duì)向量的本質(zhì)有較好的認(rèn)知？學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ)和障礙是什么？

向量的本質(zhì)是什么？為什么研究平行向量？向量平行和直線平行有什么差異？零向量的方向是任意的，那么零向量唯一嗎？如何理解零向量和任意向量平行？向量可以比較大小嗎？為什么？對(duì)于這些問(wèn)題，學(xué)生事實(shí)上是迷惑的.由此看來(lái)，向量概念的教學(xué)并不容易.

（3）向量概念的教學(xué)目標(biāo)是什么？如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？

本節(jié)課是一節(jié)概念課，從其地位和學(xué)生的認(rèn)知深度來(lái)看，顯然不是一節(jié)“似乎沒(méi)什么東西可講，也沒(méi)什么難點(diǎn)”[2]的課.目前，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，數(shù)學(xué)概念承載著培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的主要任務(wù)，而作為核心概念的向量對(duì)于實(shí)現(xiàn)上述任務(wù)義不容辭，所以向量概念的教學(xué)并不是簡(jiǎn)單地教授其形式化定義及幾個(gè)相關(guān)概念就可以了.

二、向量概念的教學(xué)診斷與分析

本節(jié)課的主要特征是概念繁多，但每個(gè)定義的字面意義淺顯易懂，沒(méi)有什么隱晦或難以理解的關(guān)鍵詞.事實(shí)上，越簡(jiǎn)單的課越難教.本節(jié)課的重心在于如何在繁多的概念中根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)設(shè)計(jì)一些具有矛盾沖突的問(wèn)題，由表及里，層層深入，突破障礙，幫助學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)向量的本質(zhì).

（一）運(yùn)用概念形成的模式，體驗(yàn)學(xué)習(xí)向量的必要性

概念形成和概念同化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的兩種方式，它們的學(xué)習(xí)過(guò)程有本質(zhì)差異.概念同化依靠的是新舊知識(shí)的聯(lián)系，而概念形成依靠的是對(duì)具體事物的抽象概括.兩種方式?jīng)]有優(yōu)劣之分，只是適用的對(duì)象和目的不同.概念同化適用于發(fā)展性概念，其作用在于以舊知識(shí)為生長(zhǎng)點(diǎn)，通過(guò)比較、分類幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)新概念，形成概念體系.而概念形成適用于起始概念和原始概念，其作用在于幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)，體會(huì)概念產(chǎn)生的背景和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).向量對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)全新的概念，需要學(xué)生對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組和改造，而且從培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，概念教學(xué)尤其是核心概念要盡可能體現(xiàn)概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)，所以本節(jié)課的學(xué)習(xí)適合概念形成.

（二）遵循數(shù)學(xué)概念形成模式，創(chuàng)設(shè)合適情境，抽象向量概念

概念形成是從大量的具體實(shí)例中抽象出一類事物的本質(zhì)屬性，并用符號(hào)加以表示.其一般過(guò)程是“觀察分析具體例子—?dú)w納概括共同特征—抽象出本質(zhì)屬性并給出定義—用符號(hào)表示”，這就是學(xué)生認(rèn)識(shí)一個(gè)新概念的基本思路，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)的主要策略.

本節(jié)課的教學(xué)理應(yīng)遵循概念形成的步驟，通過(guò)具體實(shí)例的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生從這些模型中歸納概括出向量概念的本質(zhì)屬性.力、位移、速度、加速度等原型確實(shí)為向量概念提供了直觀的、具體的、現(xiàn)實(shí)的背景，但是由于數(shù)學(xué)中的向量是自由向量，為了突出這一特征，教師需要對(duì)物理背景進(jìn)行加工和改造，或者另起爐灶創(chuàng)設(shè)合適的向量模型.

（三）運(yùn)用學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，為學(xué)生概括和領(lǐng)會(huì)向量概念搭建合理有效的腳手架

向量的本質(zhì)特征是大小和方向，這兩個(gè)要素對(duì)高中生而言并不陌生.在學(xué)生已有的認(rèn)知中，方向是刻畫(huà)位置及其關(guān)系的量，如直線的平行或共線等；而長(zhǎng)度是刻畫(huà)形如數(shù)量、數(shù)量間的大小關(guān)系、長(zhǎng)度、面積、體積的量，這為學(xué)生自覺(jué)、有序、有效地認(rèn)識(shí)本節(jié)課的相關(guān)概念提供了“生長(zhǎng)點(diǎn)”.基于以上事實(shí)，教學(xué)時(shí)可以類比數(shù)的概念的抽象過(guò)程揭示向量概念的本質(zhì)屬性，類比直線的位置關(guān)系認(rèn)識(shí)向量的基本關(guān)系.

三、幾個(gè)有爭(zhēng)議的教學(xué)環(huán)節(jié)及改進(jìn)策略

根據(jù)以上分析，數(shù)學(xué)教師不僅在認(rèn)知上需要重新認(rèn)識(shí)向量概念的教學(xué)地位，更需要在教學(xué)行為上努力創(chuàng)新，突破教材的編排，設(shè)計(jì)高效的教學(xué).

（一）導(dǎo)入環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)合適的情境，抽象概念

導(dǎo)入語(yǔ)：生活中，數(shù)學(xué)無(wú)處不在.黃河，波瀾壯闊，底蘊(yùn)深厚.李白曾贊嘆道：“君不見(jiàn)，黃河之水天上來(lái)，奔流到海不復(fù)回.”

情境：假設(shè)水流速度是勻速的，在不考慮風(fēng)速等的理想狀態(tài)下，5片落葉同時(shí)掉入河流中.經(jīng)過(guò)一分鐘后，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示.

圖1

問(wèn)題1：如何表示這5 片樹(shù)葉的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試用自己的方式表示這5 片樹(shù)葉的運(yùn)動(dòng)軌跡.通過(guò)比較分析，引導(dǎo)學(xué)生用有向線段表示（如圖2）.

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】概念抽象需要典型豐富的具體事例.創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題情境，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)世界，而且讓學(xué)生感受到向量概念不是憑空產(chǎn)生的.

問(wèn)題2：對(duì)圖中的5條有向線段如何分類？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)更好層次的抽象概括，是數(shù)學(xué)的精髓，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要手段.分類的過(guò)程不僅有助于提升學(xué)生的思維能力，而且確立分類標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程就是對(duì)向量本質(zhì)屬性大小和方向抽象的過(guò)程.

問(wèn)題3：仔細(xì)觀察這兩組有向線段，除了具有大小和方向之外還有什么特征？

師生活動(dòng)：教師通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有向線段BB'，EE'通過(guò)平移和AA'重合，有向線段CC'通過(guò)平移和DD'重合.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)學(xué)生而言，向量起點(diǎn)的任意性是認(rèn)識(shí)的障礙或者是認(rèn)識(shí)的盲區(qū)，為此設(shè)計(jì)5個(gè)起點(diǎn)不同的向量模型，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示幫助學(xué)生建立向量可以自由移動(dòng)的事實(shí)，從而有效地揭示了自由向量的本質(zhì)，并為相等向量奠定基礎(chǔ).

（二）發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)環(huán)節(jié)：類比自然數(shù)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的真諦

問(wèn)題1：既有大小又有方向的量叫向量.這樣的例子有很多，同學(xué)們還能夠舉出生活和學(xué)習(xí)中關(guān)于向量的一些例子嗎？并思考數(shù)學(xué)中的向量和物理中的矢量有什么異同.

師生活動(dòng)：按照學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)舉出形如力、速度、位移、加速度等矢量，師生共同逐一分析它們之間的聯(lián)系和差別.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)比較物理中的矢量和數(shù)學(xué)中的向量的異同，打破學(xué)生已有的認(rèn)知，明確數(shù)學(xué)中向量起點(diǎn)是任意的，只要方向和大小確定，向量就唯一確定，從而真正領(lǐng)會(huì)向量的本質(zhì)特征.

問(wèn)題2：誰(shuí)能描述一下向量概念的抽象過(guò)程？

教師引導(dǎo)：剛才從落葉的移動(dòng)這一現(xiàn)實(shí)背景中抽象出了向量的概念.抽象是數(shù)學(xué)的一種基本思想，也是用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的體現(xiàn).比如：數(shù)字3 的認(rèn)識(shí)，最初是從3 根手指，3 個(gè)蘋(píng)果，3 把椅子等開(kāi)始，然后從這些具體事例中抽象出它們的共同屬性——這些集合的元素個(gè)數(shù)相等，用數(shù)字3表示，這里的3既不是3根手指，也不是3個(gè)蘋(píng)果.再來(lái)看向量的概念，有向線段雖然起點(diǎn)不同，但是具有相同的大小和方向，我們將這兩個(gè)共同屬性抽象出來(lái)，就形成了向量的概念.同樣，這里的向量既不是有向線段也不是有向線段

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)的抽象性要求概念教學(xué)的最終目標(biāo)是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà)和研究現(xiàn)實(shí)生活的方法和途徑.通過(guò)回憶向量的抽象過(guò)程，讓學(xué)生明白認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的基本方法和思路，同時(shí)幫助學(xué)生建立類和集合的數(shù)學(xué)思想方法.

問(wèn)題3：在數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)了概念的定義之后，就要思考如何表示？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)向量的表示，揭示向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，讓學(xué)生明確只用代數(shù)或幾何形式表示向量是不夠的，必須兩者結(jié)合.

（三）合理分類，明確向量間的關(guān)系

問(wèn)題1：向量滿足兩個(gè)要素：大小和方向，那么兩個(gè)向量有什么關(guān)系？有幾種情況？請(qǐng)完成表1.

表1

【設(shè)計(jì)意圖】這節(jié)課概念繁多，如果一個(gè)概念接一個(gè)概念地講，很容易引起學(xué)生思維的懈怠，也會(huì)造成知識(shí)之間支離破碎.而通過(guò)分類，學(xué)生必須經(jīng)過(guò)火熱的思考，思維得以發(fā)展，概念間的體系也順利建立.

問(wèn)題2：向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么聯(lián)系與區(qū)別？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生把向量概念和幾何知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，在比較中認(rèn)識(shí)共性，明確差異，最終構(gòu)建良好的知識(shí)體系.

問(wèn)題3：把一組大小相同、方向不同的向量平移到同一起點(diǎn)，它們的終點(diǎn)形成了什么圖形？

師生活動(dòng)：師生共同發(fā)現(xiàn)大小相同、方向不同的向量構(gòu)成一個(gè)非常美的圖形——圓，從而引出模的概念，記作|AB|.

【設(shè)計(jì)意圖】人教版教材首先介紹的是向量的模和向量的表示，然后再介紹相等向量、相反向量、平行（共線）向量，在這里卻是通過(guò)對(duì)向量的分類先認(rèn)識(shí)了向量間的關(guān)系，再引出向量的模.這樣改編的好處是緊緊圍繞向量的兩個(gè)要素，在分類的過(guò)程中認(rèn)識(shí)相關(guān)概念，使得概念的引出水到渠成.

問(wèn)題4：模是數(shù)量還是向量？在自然數(shù)中有兩個(gè)特殊的量是0 和1，數(shù)學(xué)中把模等于1的向量叫單位向量，把模等于0 的向量叫零向量.

問(wèn)題5：類比自然數(shù)0 和1，思考為什么把單位向量和零向量稱為特殊向量.

【設(shè)計(jì)意圖】自然數(shù)0有三大功能：是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；有了0 就可以定義相反數(shù)；加強(qiáng)了自然數(shù)的運(yùn)算功能.自然數(shù)1的主要功能是計(jì)數(shù)單位.通過(guò)回憶自然數(shù)0和1的作用，能自然而然類比出單位向量和零向量的作用，這為后續(xù)學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算和向量的坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)內(nèi)容的最小單位，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，是思維的細(xì)胞，是判斷、推理的起點(diǎn)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的前提.所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心不僅在于使學(xué)生掌握書(shū)本知識(shí)，更重要的是讓他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成歷程和概括過(guò)程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦，進(jìn)而提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.