研經(jīng)典圖形 載數(shù)學(xué)文化
——2019年杭州中考數(shù)學(xué)第21題賞析及教學(xué)啟示

□姜佶楠

（杭州市采荷實(shí)驗(yàn)學(xué)校，浙江杭州 310020）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要以數(shù)學(xué)問題為載體，而幾何問題離不開圖形.杭州中考數(shù)學(xué)試卷中的幾何問題，圖形簡約優(yōu)美，表述簡潔明晰，學(xué)生每道題都能上手，但如果想要得高分甚至滿分，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的解題能力.現(xiàn)以2019 年杭州中考數(shù)學(xué)第21 題為例，作粗淺評析，供批評指正.

圖1

試題如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，正方形CEFG的面積為S1，點(diǎn)E在DC邊上，點(diǎn)G在BC的延長線上，設(shè)以線段AD和DE為鄰邊的矩形面積為S2，且S1=S2.

（1）求線段CE的長；

（2）若點(diǎn)H為BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)HD，求證：HD=HG.

命題者秉承“回歸課本，研究常見圖形”的思路，選取了一個數(shù)學(xué)味十足的經(jīng)典圖形.問題設(shè)計(jì)指向明確，考查學(xué)生求線段長度的基本功，難度適中，能較好地檢驗(yàn)學(xué)生對于通性通法的掌握情況.

圖2

一、優(yōu)解題方法 現(xiàn)文化之源

關(guān)于第（1）問：

由面積相等建立方程，不妨設(shè)CE=x，則DE=1-x.

解 法1：如 圖2，由S1=S2，即S矩形AHED=S正方形ECGF，

可得方程1（1-x）=x2，得

解法2：如圖2，由S1=S2，可得S正方形ABCD=S矩形HBGF，

可得方程1=x（x+1），得

將面積相等轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，還可以巧用黃金分割.

解法3：由S1=S2，即S矩形AHED=S正方形ECGF，

可得AD·DE=EC·EF，即

由正方形性質(zhì)可得AD=DC，EF=EC，

且CD=1，因此

關(guān)于第（2）問：

∴HG=CH+CG=

∴HG=HD.

二、追圖形之本 啟文化之思

幾何問題中，圖形是“本”，是問題的“源”.試題本身并不復(fù)雜，對于大部分學(xué)生來說，也都能順利解決，但對于教師來說，深入的后續(xù)思考，無疑是必要的.

本題的圖形源自于《幾何原本》第二卷的命題11，原命題是“可以切分已知線段，使它與一條小線段構(gòu)成的矩形面積等于余下線段為邊的正方形面積”.

歐幾里得給出的方法如下：

以AB為邊作正方形ABCD，取AD中點(diǎn)E，連結(jié)BE，延長EA至F，使EF=BE，以AF為邊作正方形AFGH，延長GH交DC于點(diǎn)K.

則AB被H點(diǎn)所分，AB，BH構(gòu)成的矩形面積等于以AH為邊的正方形面積[1].

對于初中學(xué)生來說，這一結(jié)論通過計(jì)算，即可證明（如圖3）.

設(shè)AE=a，可得圖中各條線段長度，因此

圖3

可得S正方形AFGH=S矩形BHKC.

歐幾里得在《原本》中給出的幾何證法較為復(fù)雜，對于初中生來說，研究起來難度較大，此處不再贅述.近年的杭州中考幾何問題，不止一次出現(xiàn)富有數(shù)學(xué)味的經(jīng)典圖形，如2018年的第21題，試題如下.

圖4

如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，以點(diǎn)B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD.

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度數(shù)；

（2）設(shè)BC=a,AC=b.

①線段AD的長度是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎？說明理由；

②若線段AD=EC，求的值.

此題源于浙教版八下第二章《一元二次方程》章末的閱讀材料，是圍繞《原本》中歐幾里得給出的形如x2+ax=b2的方程的幾何解法的經(jīng)典圖形，設(shè)計(jì)了求角度、線段，研究線段比例關(guān)系問題.

這兩年杭州中考的第21題圖形、知識點(diǎn)、方法不同，但共同特征是源于課本，取材于數(shù)學(xué)經(jīng)典.簡潔的圖形和精練的題干可以讓學(xué)生迅速抓住圖形的特征，結(jié)合問題縮短思維鏈，找到解題方法，使每一名學(xué)生都能動手操作，嘗試解題，充分體現(xiàn)了命題者對數(shù)學(xué)韻味和育人情懷的兼顧.

三、窮經(jīng)典之用 重文化之基

（一）發(fā)展學(xué)生思維，滿足不同需求

教學(xué)中可以將此圖做進(jìn)一步挖掘，發(fā)展學(xué)生的思維，通過多種方法的比較，滿足不同思維水平學(xué)生的需要.如將原圖下方的正方形截一半（如圖5），設(shè)置以下三個問題.

已知：在矩形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑畫弧，交射線AD于點(diǎn)E，以DE為邊長作正方形DEFG，設(shè)AD=a，AB=b.

（1）線段DG的長度是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎？說明理由；

圖5

（2）若點(diǎn)G是線段DC的黃金分割點(diǎn)（DG＞GC），求的值；

（3）在（2）的條件下，延長FG交AB于點(diǎn)H，探究S正方形EDGF與S矩形GHBC的數(shù)量關(guān)系.

考查的知識點(diǎn)依然是初中研究線段關(guān)系的常用方法，第（1）問直接應(yīng)用勾股定理，設(shè)DG=x，在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，

由題意：AC=AE，DE=DG，DC=AB，可得a2+b2=（x+a）2整理即得結(jié)論.

圖6

第（2）（3）問 可 以 設(shè)DC=1，則DG=進(jìn)而求得圖中各線段長度（如圖6），可得

繼續(xù)計(jì)算S正方形EDGF

可得S正方形EDGF=2S矩形GHBC.

亦可利用黃金分割概念優(yōu)化解法，由題意得DG2=DC·CG.

對于第（2）問，可設(shè)DG=x，則x2=b（b-x），整理得x2+bx-b2=0，結(jié)合（1）的結(jié)論x2+2ax-b2=0，可得

對于第（3）問，抓住黃金分割概念，S正方形EDGF=DG2=DC·CG，

又S矩形GHBC=CG·CB，由上題結(jié)論可知2BC=CD，可得S正方形EDGF=2S矩形GHBC.

通過五星酒店風(fēng)機(jī)盤管控制方式及溫控面板位置選擇技術(shù)的探討，全面羅列了目前主要的風(fēng)機(jī)盤管控制方式，同時結(jié)合以往項(xiàng)目酒店案例設(shè)計(jì)情況進(jìn)行綜合分析，較為全面地總結(jié)了酒店各區(qū)域的風(fēng)機(jī)盤管控制方式選擇、溫控面板的位置設(shè)置、數(shù)量以及外置溫度傳感器的設(shè)置，對于部分區(qū)域如公共衛(wèi)生間及后場區(qū)域提出幾種解決方案。

在解決第（1）問的過程中學(xué)生可能會將方程的根解出來，再代入圖形中去驗(yàn)證，計(jì)算量較大.這一問的設(shè)計(jì)，主要是為了讓學(xué)生通過解題，體會到雖然表面上涉及方程、代數(shù)式運(yùn)算，但究其本質(zhì)，還是研究圖形中的線段關(guān)系.僅僅是運(yùn)算的對象從具體的數(shù)變成了字母，運(yùn)算的結(jié)果一般化、符號化，體會從特殊到一般，從具體到抽象的過程.

第（2）（3）兩問，大部分學(xué)生采用了計(jì)算的方法，體現(xiàn)了大部分學(xué)生對于通性通法的掌握.第（2）問中，利用黃金分割的概念解決問題的學(xué)生較少，第（3）問由DG2聯(lián)想到正方形面積的更是寥寥無幾. 這啟示我們，在新授課中，對于基本概念的教學(xué)，還有提升空間.對于思維水平較高的學(xué)生，這樣的方法比較，有助于對概念的深入理解，助推高階思維的發(fā)展.

（二）科學(xué)使用教材，強(qiáng)化知識聯(lián)系

課本，是教學(xué)之本，我們要從“教教材”走向“用教材”，認(rèn)真琢磨教材的設(shè)計(jì)意圖.教什么？怎么教？教到什么程度？目標(biāo)導(dǎo)向，充分挖掘教材資源的育人價值；分析學(xué)情，做好教材資源的校本化使用；深入研究，慎重而有依據(jù)地創(chuàng)新設(shè)計(jì).在理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理、充分地使用教材.例如，2018 年與2019 年的第21 題，都源于利用幾何方法解決代數(shù)問題這一源頭，對于這類問題，浙教版教材提供了許多有價值的資源.

浙教版八年級下冊教師用書第50頁，《第2章一元二次方程》章末小結(jié)“相關(guān)資源”：

如圖7，在矩形ABCD中，AB=6，BC=11，P是邊AD上一動點(diǎn)，（不含A，D），連結(jié)PC，E是AB上一點(diǎn).

圖7

（1）已知BE=2，是否存在點(diǎn)P，使∠EPC＝90°，若存在，求AP的長；若不存在，請說明理由；

（2）設(shè)BE=a，若存在點(diǎn)P使得∠EPC＝90°，求a的取值范圍.

圖8

教材提供這一資源的意圖是強(qiáng)化學(xué)生利用二次方程解決實(shí)際問題時，需注意情境的存在性判定.但對于九年級學(xué)生來說，此題在中考復(fù)習(xí)中有著更大的價值，改編如下：

如圖8，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E在邊AB上，BE=a，

P是邊AD上一動點(diǎn)，連結(jié)PC，PE，若存在唯一的點(diǎn)P，使∠EPC＝90°，則a=___.

改變BC的長度是為了方便計(jì)算.

①從代數(shù)角度思考：不妨設(shè)AP=x，易由

△APE∽△PDC得即

整理得x2-10x+36-6a=0，

從方程角度理解，可利用Δ=0 求出a的值；

從函數(shù)的角度，可變形為a關(guān)于x的二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最值并檢驗(yàn)是否可行.

②從幾何角度看，可知P點(diǎn)軌跡為以CE中點(diǎn)O為圓心，OE長度為半徑的半圓上，由題意得，要使得P點(diǎn)唯一存在，則圓與邊AD相切（如圖9），連結(jié)OP并反向延長，交BC邊于點(diǎn)Q.

圖9

教材和學(xué)生，是我們教學(xué)最重要的資源，如果能與學(xué)生一起，挖深、講透這樣的例題，對于學(xué)生形成知識之間的橫向聯(lián)系，發(fā)展以數(shù)釋形、以形助數(shù)的邏輯閉環(huán)，是有所裨益的.

由此可見，只有深入理解數(shù)學(xué)，理解課標(biāo)，才能充分挖掘教材資源，謹(jǐn)慎而有創(chuàng)造性地使用教材資源，讓學(xué)生通過解題，經(jīng)歷過程，積累經(jīng)驗(yàn)，感悟方法.

（三）融入數(shù)學(xué)歷史，重視學(xué)習(xí)體驗(yàn)

近年來，包括杭州在內(nèi)的許多省市的中考卷中，出現(xiàn)了源于或者改編自數(shù)學(xué)歷史的經(jīng)典問題的考題.因此，開發(fā)數(shù)學(xué)史，助力日常教學(xué)，是素養(yǎng)立意的教育改革的大勢所趨，也是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)育人價值的必然要求.

1.體現(xiàn)人文價值，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

例如，在給出無理數(shù)的定義之前，可以嘗試在課堂上探討根號的由來，將無理數(shù)歷史加以介紹，讓學(xué)生了解這一數(shù)學(xué)符號及數(shù)學(xué)歷史的發(fā)生、發(fā)展過程，是數(shù)學(xué)人文價值的體現(xiàn)；的幾何意義，更體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)文化”的核心，它不僅充分展示了數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用的過程，更包含“數(shù)形結(jié)合”等思想方法，也實(shí)現(xiàn)了從“一維”到“二維”的思維方式的跨越.

2.重構(gòu)發(fā)生過程，加深概念理解

在給出無理數(shù)定義時，也可以結(jié)合“有理數(shù)可以用兩個整數(shù)之比來表示”這一特征，凸顯無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別及無理數(shù)存在的必要性，在此基礎(chǔ)上給出定義——不能用兩個整數(shù)之比表示，再根據(jù)有理數(shù)的小數(shù)表征、無理數(shù)的小數(shù)表征，加深學(xué)生對無理數(shù)的概念和表征的理解，也體現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程.

美國數(shù)學(xué)史家卡約黎的研究表明，學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索和探討后所克服的實(shí)際困難，為了讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念，教師有必要從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的角度進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙.

3.豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)魅力

回溯無理數(shù)的發(fā)展歷史，學(xué)生會意識到，數(shù)學(xué)知識也是隨著時間不斷發(fā)展變化的，這一過程也并非一帆風(fēng)順.在2000 多年漫長的歷史中，數(shù)學(xué)家們對于無理數(shù)這一概念的不斷探索和研究，也培養(yǎng)著學(xué)生的理性精神和批判思維，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的魅力[2].