數(shù)學(xué)思考：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表征

陳冬亮

摘 ?要：數(shù)學(xué)是一門(mén)理性學(xué)科，數(shù)學(xué)思考是一種深層次、全面的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要催生學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，催動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究，催發(fā)學(xué)生感悟思想，催促學(xué)生積極實(shí)踐，從而盤(pán)活學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力。只有當(dāng)學(xué)生有了數(shù)學(xué)思考能力，才能真正對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究，才能感悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì)、價(jià)值。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思考;核心素養(yǎng)

培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，既是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，也是教師的教學(xué)追求。學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)元素很多，數(shù)學(xué)思考應(yīng)當(dāng)居于核心位置，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門(mén)理性學(xué)科，而數(shù)學(xué)思考是一種深層次、全面的思維活動(dòng)。通過(guò)數(shù)學(xué)思考，學(xué)生不僅可以感悟數(shù)學(xué)知識(shí)，更能感悟數(shù)學(xué)思想方法，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂。通過(guò)數(shù)學(xué)思考，學(xué)生還能形成數(shù)學(xué)的思維方式、認(rèn)知方式等。因此，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考、引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考就應(yīng)當(dāng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心追求。

一、催生學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，激活思考起點(diǎn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)思考建立在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，是學(xué)生主動(dòng)聯(lián)結(jié)已有認(rèn)知與數(shù)學(xué)新知之間的一種思維脈動(dòng)。經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的原點(diǎn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的生長(zhǎng)點(diǎn)。作為教師，要通過(guò)相應(yīng)的刺激，催生學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，喚醒、激活學(xué)生的思維起點(diǎn)。只有在經(jīng)驗(yàn)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考才能有效地“生根”。

蘇教版六年級(jí)下《正反比例》單元后的“動(dòng)手做”，是要讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，思考、感悟科學(xué)上的力臂與力的反比例關(guān)系，即讓學(xué)生感悟到“動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”。為激活學(xué)生數(shù)學(xué)思考，筆者從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)入手，在學(xué)生正式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之前設(shè)計(jì)了這樣兩個(gè)“對(duì)比試驗(yàn)”，即讓學(xué)生將質(zhì)量比較均勻的直尺放置在手指的中心，將質(zhì)量不均勻的鋼筆也放置在手指的中心。蘊(yùn)含學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的生活化實(shí)驗(yàn)激活了學(xué)生的火熱思考：為什么直尺能保持平衡而鋼筆卻不能保持平衡呢？平衡與什么因素有關(guān)呢？這種好奇心、求知欲，讓學(xué)生在接下來(lái)的平衡桿實(shí)驗(yàn)中主動(dòng)觀察、操作、比較、思考。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生主動(dòng)地控制平衡桿右邊的變量，不斷改變右側(cè)所掛珠子的個(gè)數(shù)、距離等，從而發(fā)現(xiàn)了左右兩側(cè)珠子的個(gè)數(shù)與距離（圓孔的個(gè)數(shù)）的乘積必須相等。學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，平衡不僅與所掛物體的質(zhì)量有關(guān)，而且與所掛物體的位置到中心點(diǎn)的位置的距離有關(guān)。

催生學(xué)生的已有生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，不僅激活了學(xué)生數(shù)學(xué)思考的起點(diǎn)，而且讓學(xué)生明確了數(shù)學(xué)思考的方向。當(dāng)學(xué)生擁有了數(shù)學(xué)思考的興趣、數(shù)學(xué)思考的積極性后，學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中就能涌現(xiàn)出創(chuàng)造性思維。當(dāng)然，在這個(gè)過(guò)程中，教師也要防止學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的片面，防止學(xué)生的迷思概念、相異構(gòu)想對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的干擾。

二、催動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究，引領(lǐng)思考過(guò)程

學(xué)生的數(shù)學(xué)思考過(guò)程是與探究相伴相生的?？梢赃@樣說(shuō)，有怎樣的數(shù)學(xué)思考，就會(huì)有怎樣的數(shù)學(xué)探究。同樣，有怎樣的數(shù)學(xué)探究也就會(huì)形成怎樣的數(shù)學(xué)思考。作為教師，要催動(dòng)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探究，從而引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)思考。瑞士心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程就是學(xué)生在認(rèn)知“平衡”與“不平衡”間不斷往返的過(guò)程。要讓學(xué)生始終保持積極思考的狀態(tài)，就必須引導(dǎo)學(xué)生全身心卷入探究之中，因?yàn)閷W(xué)生內(nèi)在的思考是借助外在探究而完成建構(gòu)的。

比如教學(xué)蘇教版五年級(jí)上冊(cè)《解決問(wèn)題的策略—— 一一列舉》，為了激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，喚起學(xué)生的探究激情，形成學(xué)生的火熱思考，筆者用兩根長(zhǎng)短分別為30厘米和26厘米的橡皮筋在釘子板上圍長(zhǎng)方形，要求學(xué)生猜測(cè)哪一根橡皮筋圍成的長(zhǎng)方形的面積大。學(xué)生紛紛猜測(cè)長(zhǎng)度為30厘米的橡皮筋圍成的長(zhǎng)方形面積大。當(dāng)筆者將圍成的兩個(gè)長(zhǎng)方形呈現(xiàn)給學(xué)生時(shí)，學(xué)生恍然大悟，原來(lái)橡皮筋越長(zhǎng)，只能保證圍成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)越長(zhǎng)，而不能保證圍成的長(zhǎng)方形面積越大。那么，長(zhǎng)方形的面積與周長(zhǎng)有關(guān)系嗎？這時(shí)，筆者將橡皮筋換成繩子，然后讓學(xué)生圍長(zhǎng)方形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然周長(zhǎng)不變，但圍成的長(zhǎng)方形有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的面積各不相同。此時(shí)，筆者出示例題：王叔叔用22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍面積最大？學(xué)生由此展開(kāi)深度思考：王叔叔圍花圃與我們剛才圍成長(zhǎng)方形有著怎樣的不同？怎樣圍面積最大呢？由于將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬范圍縮小到整數(shù)，因而催生出學(xué)生的“一一列舉法”。在列舉的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了從“無(wú)序”到“有序”的逐步優(yōu)化過(guò)程。在這個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)是講證據(jù)的，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等的情況下，長(zhǎng)和寬越接近，面積越大，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相等時(shí)，面積最大。

學(xué)生的數(shù)學(xué)思考是一個(gè)縱深發(fā)展的過(guò)程。在學(xué)生數(shù)學(xué)探究過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由淺入深、由此及彼、由粗及精的數(shù)學(xué)知識(shí)理解的逐步深化過(guò)程。學(xué)生在探究中解惑釋疑，從而不斷完善認(rèn)知。只有引導(dǎo)學(xué)生不斷地探究，才能打開(kāi)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的自主建構(gòu)，完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解。

三、催發(fā)學(xué)生感悟思想，優(yōu)化思考品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于讓學(xué)生獲得結(jié)論性知識(shí)，更不能將數(shù)學(xué)結(jié)論作為一種規(guī)定，強(qiáng)塞、填鴨給學(xué)生，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在探究過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想方法。催生學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，能優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考品質(zhì)。作為教師，不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么”，更要引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)數(shù)學(xué)知識(shí)“為什么”“怎么樣”以及“還可能會(huì)怎樣”等。只有從數(shù)學(xué)思想方法上觀照數(shù)學(xué)知識(shí)，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考從模糊走向清晰。

比如一位教師教學(xué)《三角形的穩(wěn)定性》（蘇教版四下），出示了一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形的木條框架，學(xué)生去拉三角形和四邊形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)三角形無(wú)法拉動(dòng)，而四邊形卻可以拉動(dòng)。由此，學(xué)生認(rèn)為三角形的穩(wěn)定性就是三角形不容易拉動(dòng)。為此，教師用鉛絲將三角形和四邊形的頂點(diǎn)處扎緊，由此激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突：三角形的穩(wěn)定性不僅僅指三角形“拉不動(dòng)”。在此基礎(chǔ)上，教師給學(xué)生分發(fā)了拼搭三角形和四邊形的小棒，要求同小組的每個(gè)學(xué)生都拼接一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，然后進(jìn)行小組交流。在交流過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)小組成員拼接的三角形的形狀、大小都是確定的，而小組成員拼接的四邊形的形狀、大小不是確定的。通過(guò)這樣的教學(xué)，催發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想感悟，深化了學(xué)生對(duì)三角形穩(wěn)定性的認(rèn)知，即三角形穩(wěn)定性是指圍成三角形的三條邊的長(zhǎng)度確定了，這個(gè)三角形的形狀和大小也就確定了。操作中的矛盾沖突、經(jīng)歷中的深刻體驗(yàn)與交流后的理解提升，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考進(jìn)入了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)層面，原來(lái)三角形的穩(wěn)定性與日常生活中穩(wěn)定性的含義不一樣。

概念、公式、性質(zhì)等知識(shí)是“有形”的數(shù)學(xué)知識(shí)，而思想方法卻是“無(wú)形”的數(shù)學(xué)知識(shí)。“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”的教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，離不開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性開(kāi)掘。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的思想方法實(shí)質(zhì)上就是前人的數(shù)學(xué)思考的智慧結(jié)晶。因此，催發(fā)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，能優(yōu)化學(xué)生的思考品質(zhì)。

四、催促學(xué)生積極實(shí)踐，拓展思考空間

為了拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的深度和廣度，教師要催促學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積極實(shí)踐，從而拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考空間。數(shù)學(xué)實(shí)踐，不僅能解放學(xué)生的雙手，而且能解放學(xué)生的頭腦。因此，在數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多種感官協(xié)同活動(dòng)，形成一種具身性的認(rèn)知。學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐是否全面、完整，直接影響著學(xué)生數(shù)學(xué)思考空間的寬度和廣度。

比如教學(xué)《長(zhǎng)方體和正方體的表面積》（蘇教版六上）之后，筆者組織學(xué)生開(kāi)展了一次綜合實(shí)踐活動(dòng)——《長(zhǎng)方體的捆扎》。筆者將學(xué)生分成若干組，每組準(zhǔn)備了若干根細(xì)線以及包裝紙一張?；顒?dòng)分三個(gè)層次展開(kāi)：第一層次，讓學(xué)生用兩個(gè)長(zhǎng)方體學(xué)習(xí)包裝，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有三種不同的拼搭方法，在實(shí)踐中初步感受到不同的擺放，其捆扎所用的細(xì)線長(zhǎng)度是不同的，所用的包裝紙也是不同的;第二層次，讓學(xué)生用四個(gè)長(zhǎng)方體學(xué)習(xí)包裝，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一共有六種不同的拼搭方法，其中要讓重合的面盡量多、盡量大，是減少包裝紙面積的重要方法;第三層次，讓學(xué)生用六個(gè)長(zhǎng)方體學(xué)習(xí)包裝，這一次學(xué)生沒(méi)有探究一共有多少種包裝方法，而是直接思考：怎樣讓包裝紙的面積最??？學(xué)生的思考有了針對(duì)性、方向性，就能在幾種包裝方式之間進(jìn)行比較、權(quán)衡，從而形成最佳的包裝方案。

通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，我們可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更靈活、更深刻、更具有批判性。通過(guò)實(shí)踐，學(xué)生獲得的不僅是學(xué)業(yè)知識(shí)，更是實(shí)踐智能。數(shù)學(xué)實(shí)踐需要學(xué)生彼此之間的交流、合作，通過(guò)合作、交流，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考相互敞亮。從這個(gè)意義上說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐也拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考空間。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征是“數(shù)學(xué)思考”。數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力是數(shù)學(xué)教學(xué)最有價(jià)值的行為。數(shù)學(xué)教學(xué)，從根本上說(shuō)就是要致力于培育學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。只有當(dāng)學(xué)生有了數(shù)學(xué)思考能力，才能真正對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究，才能感悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì)、價(jià)值。當(dāng)我們貼著學(xué)生的思維，按規(guī)律進(jìn)行教學(xué)時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考必然會(huì)走向深刻。