明“理”解困 以“理”入法

吳央軍 呂春女

摘 ?要：在一次縣小學(xué)數(shù)學(xué)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，有兩道考查“小數(shù)除法計(jì)算”的試題出現(xiàn)了“反?！钡牡偷梅致?。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)小數(shù)除法的難點(diǎn)主要集中在轉(zhuǎn)化難度較大、對(duì)算式中各部分意義理解困難、整數(shù)除法遺留問(wèn)題較多等方面。破解此類難點(diǎn)需要厘清小數(shù)除法中各類轉(zhuǎn)化類型，抓住本質(zhì)要素，課堂中基于情境，結(jié)合意義、探究獲得算法，同時(shí)精心設(shè)計(jì)練習(xí)跟進(jìn)“算理”“算法”，夯實(shí)除法基礎(chǔ)，逐漸螺旋上升，提升計(jì)算素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：計(jì)算素養(yǎng);小數(shù)除法;難點(diǎn)破解

一、緣起：事物反常必有因

在一次縣小學(xué)數(shù)學(xué)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，有兩道考查“小數(shù)除法計(jì)算”的試題出現(xiàn)了“反?！钡牡偷梅致?。所謂反常：一是該題預(yù)計(jì)難度系數(shù)與實(shí)測(cè)難度系數(shù)相差甚遠(yuǎn);二是該題與其他計(jì)算題的得分率相差甚遠(yuǎn)。我們來(lái)看：

題一：列豎式計(jì)算（除不盡得數(shù)保留兩位小數(shù)）：1.55÷3.9。

題二：一根4.88米的木料，每0.12米鋸一段，可以鋸（ ▲ ）段，還余（ ▲ ）米。

題一是一道小數(shù)除法的計(jì)算題，考查的知識(shí)有兩點(diǎn)：一是小數(shù)除法的計(jì)算;二是求商的近似值。全縣參考人數(shù)為6407人，預(yù)計(jì)得分率為75%，實(shí)際得分率只有56%。題二雖然是以填空題形式出現(xiàn)，考查的卻是學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中對(duì)小數(shù)除法豎式中各部分意義的理解。因此從廣義上講，這也是一個(gè)小數(shù)除法的計(jì)算題。本題預(yù)計(jì)得分率70%，實(shí)際學(xué)生的得分率是50.1%。除此二題外，其余計(jì)算題的得分率均超過(guò)80%。

為了進(jìn)一步分析，筆者隨機(jī)抽取了221個(gè)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行研究。該數(shù)據(jù)樣本顯示，題一實(shí)測(cè)難度系數(shù)0.54，滿分人數(shù)118人，占53.39%，零分人數(shù)101人，占45.7%，部分得分2人，占0.9%。題二第一小問(wèn)實(shí)測(cè)難度系數(shù)0.53，正確118人，占53.39%，錯(cuò)誤103人，占46.61%;第二小問(wèn)實(shí)測(cè)難度系數(shù)0.38，正確84人，占38.01%，錯(cuò)誤137人，占61.99%。這引起了筆者的思考：對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)“小數(shù)除法計(jì)算”為什么會(huì)比其他計(jì)算要難？難在什么地方？

二、由現(xiàn)象觀本質(zhì)：小數(shù)除法計(jì)算難點(diǎn)分析

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析，主要有以下幾個(gè)方面。

1. 小數(shù)除法轉(zhuǎn)化難度較大

計(jì)算一個(gè)數(shù)除以小數(shù)，要將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，為了保持商不變，被除數(shù)也應(yīng)該擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)。列豎式計(jì)算時(shí)，要通過(guò)小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，外顯特征為小數(shù)點(diǎn)位置的變化。這一變化實(shí)際包含兩個(gè)步驟（以1.55÷3.9為例）：①移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，即3.9轉(zhuǎn)化成39，相當(dāng)于將除數(shù)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍;②移動(dòng)被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，將被除數(shù)也擴(kuò)大到原來(lái)的10倍。

顯然，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不是一件容易的事（如圖1）。

由上可見(jiàn)，該題的轉(zhuǎn)化過(guò)程出現(xiàn)了錯(cuò)誤，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了一位，而被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)卻向右移動(dòng)了兩位。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？這是因?yàn)椤?.55÷3.9”中，被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)多，這種類型的例題并沒(méi)有單獨(dú)安排，只是在做一做中以練習(xí)的形式出現(xiàn)過(guò)。

反觀“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”的例題（如圖2）：

7.65÷0.85的豎式中，被除數(shù)與除數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同，這是最簡(jiǎn)單的情況，只要同時(shí)撇去被除數(shù)與除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，就實(shí)現(xiàn)了全部的轉(zhuǎn)化過(guò)程。該生可能受此外顯操作的遷移，認(rèn)為所有的小數(shù)除法都是把被除數(shù)與除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)同時(shí)撇去就行了，于是得出“商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的末位后面對(duì)齊”這樣一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。

2. 對(duì)算式中各部分意義理解困難

小數(shù)除法的計(jì)算中將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來(lái)計(jì)算后，學(xué)生對(duì)除法豎式中每一步所表示的意義理解起來(lái)非常困難。以“一根4.88米的木料，每0.12米鋸一段，可以鋸（ ▲ ）段，還余（ ▲ ）米”為例，豎式如圖3所示：

豎式中，被除數(shù)“4.88”表示這根木料全長(zhǎng)4.88米，除數(shù)“0.12”表示每0.12米鋸一段，商“40”表示可以鋸成這樣的40段，余數(shù)“8”實(shí)際上是“8個(gè)0.01”，表示還余下0.08米。學(xué)生對(duì)此卻沒(méi)有清晰的理解。據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析，學(xué)生錯(cuò)誤情況主要集中為以下幾種（如圖4、圖5、圖6）：

由此可以看出，學(xué)生對(duì)算式各部分意義的理解存在困難，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）商中每個(gè)數(shù)位上的數(shù)表示的意義理解困難。筆者認(rèn)為，圖4答案的整數(shù)部分出現(xiàn)錯(cuò)誤，并非小數(shù)點(diǎn)位置的錯(cuò)誤，是另有原因的。我們來(lái)還原計(jì)算過(guò)程（如圖7）：

我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生計(jì)算4.88除以0.12時(shí)，將原式轉(zhuǎn)化成488除以12進(jìn)行計(jì)算，在十位上商8，個(gè)位移下來(lái)，不夠商1，計(jì)算就此結(jié)束，從而得出商4余數(shù)0.08的錯(cuò)誤結(jié)論。轉(zhuǎn)化后，學(xué)生理解困難，對(duì)每個(gè)數(shù)位上商所表示的意義不是很清楚，錯(cuò)將4個(gè)十當(dāng)成了4個(gè)一，從而造成商末尾的0漏掉了。不僅如此，我們還發(fā)現(xiàn)該生對(duì)“余下幾米”這個(gè)問(wèn)題也曾糾結(jié)過(guò)，可見(jiàn)其對(duì)除數(shù)和余數(shù)的區(qū)分也不是很清晰。

（2）將商的小數(shù)部分錯(cuò)當(dāng)成余數(shù)，即圖5的答案。那么這種情況是怎么來(lái)的呢？我們來(lái)看豎式（如圖8）：

學(xué)生對(duì)商的小數(shù)部分理解錯(cuò)誤，錯(cuò)將商的小數(shù)部分當(dāng)作余下的米數(shù)。從學(xué)生的修改痕跡來(lái)看，學(xué)生僅在糾結(jié)用循環(huán)小數(shù)還是用近似值來(lái)描述，殊不知“0.7”表示的只是剩下的米數(shù)約能鋸0.7段，而不是還余0.7米。

（3）余數(shù)的意義理解困難，即圖6的答案。根據(jù)商不變性質(zhì)，將“4.88÷ 0.12”轉(zhuǎn)化成“488÷12”后，商不變，余數(shù)卻隨著被除數(shù)與除數(shù)的變化，擴(kuò)大到原來(lái)的100倍，因而求原來(lái)的余數(shù)，應(yīng)將8縮小100倍，即0.08。學(xué)生因?qū)ι滩蛔冃再|(zhì)理解不到位，將兩者完全等同起來(lái)，所以錯(cuò)將轉(zhuǎn)化后的余數(shù)“8”理解為“8個(gè)1”，從而得出還余8米的結(jié)論。

3. 整數(shù)除法遺留問(wèn)題較多

除了轉(zhuǎn)化有難度外，我們發(fā)現(xiàn)除法計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的情況也較為復(fù)雜，其中很大一部分為整數(shù)除法難點(diǎn)的遺留問(wèn)題。仍以“1.55÷3.9”為例，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）同一數(shù)位多次求商（如圖9）：

上述錯(cuò)題中，學(xué)生將1.55÷3.9轉(zhuǎn)化成15.5÷39后，十分位上商3余38，又用“38”除以除數(shù)，在百分位上商“0”。在這里，“38”表示十分位除后還余38個(gè)十分之一，要先添“0”，變成380個(gè)百分之一，再除以39。要避免這種錯(cuò)誤，學(xué)生就必須明白每一步表示什么意義，正確掌握“除到哪一位，商就寫在那一位的上面”。這樣才不會(huì)出現(xiàn)同一數(shù)位多次求商的現(xiàn)象。

（2）初商過(guò)小不會(huì)調(diào)（如圖10）：

除法中，遇到某次余數(shù)沒(méi)有比除數(shù)小，說(shuō)明初商過(guò)小，只需要把商調(diào)大。上述學(xué)生在百分位上商7后，余數(shù)是“107”大于“39”，卻沒(méi)有將百分位上的商調(diào)大，而是又用39去除了一次。究其原因，也是對(duì)算理的理解不夠透徹，他不明白第二次用39去除107得到的商2還表示2個(gè)百分之一，和原來(lái)的7個(gè)百分之一合起來(lái)是9個(gè)百分之一，只需要在百分位上寫9，而不是把2寫在千分位上。

（3）進(jìn)位退位容易錯(cuò)（如圖11、圖12）：

一個(gè)除法豎式，簡(jiǎn)直是加、減、乘、除的大集合，若遇除數(shù)數(shù)值偏大，計(jì)算難度就會(huì)增加。上述兩種錯(cuò)誤并非個(gè)別現(xiàn)象，據(jù)抽樣分析，出錯(cuò)的學(xué)生中約有30%是因?yàn)檫M(jìn)位退位不熟練而造成的。

三、據(jù)成因找對(duì)策：小數(shù)除法難點(diǎn)破解

1. 厘清轉(zhuǎn)化類型，抓住本質(zhì)要素

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的過(guò)程較為復(fù)雜，具體可細(xì)化為幾種情況。

（1）除數(shù)是一個(gè)整數(shù)。如22.4÷4，可以直接除，需要注意商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

（2）被除數(shù)是一個(gè)整數(shù)。如23÷1.5，列豎式時(shí)需要把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，即小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位。外顯操作為：在撇去除數(shù)小數(shù)點(diǎn)的同時(shí)需要在被除數(shù)末尾添0。

（3）除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比被除數(shù)少。如1.55÷3.9，列豎式時(shí)需要把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，即小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位。外顯操作為：在撇去除數(shù)小數(shù)點(diǎn)，撇去被除數(shù)中“1”后面小數(shù)點(diǎn)的同時(shí)再往右數(shù)一位數(shù)“5”的后面點(diǎn)上新的小數(shù)點(diǎn)。

（4）除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比被除數(shù)多。如12.6÷0.28，列豎式時(shí)需要將小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)不夠時(shí)需要用“0”補(bǔ)足。外顯操作為：撇去除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)和“0”，在撇去被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)的同時(shí)添上一個(gè)“0”。

（5）除數(shù)的小數(shù)位數(shù)與被除數(shù)相同。如11.7÷2.6，豎式計(jì)算時(shí)只需將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍。外顯操作為：同時(shí)撇去除數(shù)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)。

當(dāng)情況變得復(fù)雜的時(shí)候，學(xué)生就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。糾正這樣的錯(cuò)誤，就要幫助學(xué)生抓住本質(zhì)要素。所有的轉(zhuǎn)化類型，其依據(jù)都是“商不變性質(zhì)”。夯實(shí)“商不變性質(zhì)”，可幫助學(xué)生清晰掌握算理——將被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)同時(shí)向右移動(dòng)相同的位數(shù)，商保持不變;同時(shí)清晰掌握算法——把被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)同時(shí)向右移動(dòng)相同的位數(shù)，將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)計(jì)算。只有這樣，學(xué)生面對(duì)具體情況時(shí)才能思路清晰，轉(zhuǎn)化正確。

2. 借助“故事”背景，落實(shí)“循理入法”

教材在編排小數(shù)除法的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，并不單以算式的形式出現(xiàn)，而是結(jié)合具體的情境出現(xiàn)。因此，教學(xué)中我們要充分利用問(wèn)題的“故事”情境，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索小數(shù)除法的計(jì)算方法，理解小數(shù)除法的算理。

（1）借“故事”明算理。以上題為例，“一根4.88米的木料，每0.12米鋸一段，可以鋸（ ? ）段，還余（ ? ）米”，可以借助米與厘米之間的關(guān)系來(lái)溝通“商不變性質(zhì)”，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求“488cm里有幾個(gè)12cm”，這就相當(dāng)于“將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大100倍，商不變”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其共同點(diǎn)都是將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，從而進(jìn)一步理解小數(shù)除法的算理。同時(shí)結(jié)合具體情境，理解除法豎式中每一步所表示的實(shí)際意義，這樣余數(shù)“8”就表示還剩8厘米，即0.08米。

（2）為算理找“故事”。例如計(jì)算“1.55÷3.9”，引導(dǎo)學(xué)生思考：可以借助什么“故事”來(lái)溝通算理，除了利用長(zhǎng)度單位還其他辦法嗎？讓學(xué)生自主編出合理的“故事”以解釋算理。學(xué)生通過(guò)思考、討論，明白要將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來(lái)計(jì)算，就需要把除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，進(jìn)率為十的量都可以溝通。為算理找“故事”讓商不變性質(zhì)不再抽象，讓小數(shù)除法的算理找到落腳點(diǎn)。

3. 精心設(shè)計(jì)練習(xí)，跟進(jìn)“以理馭法”

針對(duì)“算理”理解的練習(xí)，一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的缺失部分。很多教師在新授課中都比較重視在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，學(xué)習(xí)計(jì)算后我們通常設(shè)計(jì)“計(jì)算”與“解決問(wèn)題”來(lái)跟進(jìn)算法的鞏固，而忽視算理的練習(xí)。事實(shí)上，除了鞏固算法，我們還需要在練習(xí)中鞏固對(duì)算理的理解，讓學(xué)生不只是盲目地記住怎樣操作，而是充分理解算理之后的算法概括，從而真正提升計(jì)算素養(yǎng)。

（1）“有理說(shuō)得清”——讓“說(shuō)理”成為常規(guī)性作業(yè)。利用好教材的例題及練習(xí)題，在小數(shù)除法新課學(xué)習(xí)后可以要求學(xué)生自由選擇某一豎式在同桌間互說(shuō)算理、算法，說(shuō)清楚如何轉(zhuǎn)化，依據(jù)什么性質(zhì)。如下題（圖13）：

可以在計(jì)算之前說(shuō)說(shuō)怎樣移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，為什么這樣移動(dòng);也可以計(jì)算之后說(shuō)說(shuō)怎么算的，每一步表示什么;或者可以結(jié)合具體情境，用情境解釋算理。小數(shù)除法的計(jì)算練習(xí)不再是枯燥的機(jī)械訓(xùn)練，而是讓學(xué)生能“知其然”，更“知其所以然”。

（2）“有理寫得明”——讓“明理”成為可外顯練習(xí)。與說(shuō)相比，用文字把思考過(guò)程寫出來(lái)，能經(jīng)過(guò)更多的整理外化。寫的過(guò)程增加了調(diào)整的機(jī)會(huì)，讓計(jì)算思維變得外顯且可操作（如圖14）。

事實(shí)上，教材中的例題給我們提供了很好的典范，只要稍加利用，進(jìn)行追問(wèn)或改編，就可以成為有針對(duì)性的算理練習(xí)，從而使學(xué)生在練習(xí)中強(qiáng)化算理與算法的結(jié)合。

（3）“有理評(píng)得出”——讓“算理”成為可測(cè)試問(wèn)題。不管是“國(guó)測(cè)”還是“省測(cè)”，關(guān)注過(guò)程性考核的問(wèn)題都越來(lái)越受到重視。我們應(yīng)該在平時(shí)的評(píng)價(jià)中自主設(shè)計(jì)需要利用算理進(jìn)行解釋的問(wèn)題，并在階段性測(cè)試中增加此類要求，以提高學(xué)生的重視程度，檢測(cè)學(xué)生的理解程度。

4. 夯實(shí)除法基礎(chǔ)，逐漸螺旋上升

筆算除法的得分率比其他運(yùn)算要低，這是由除法豎式本身的特點(diǎn)所決定的。整數(shù)除法中常見(jiàn)的錯(cuò)誤在小數(shù)除法中也會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)。要避免這些錯(cuò)誤，就要夯實(shí)筆算除法的基礎(chǔ)。二年級(jí)第一次接觸筆算除法時(shí)，教師可以結(jié)合實(shí)物、圖像，幫助學(xué)生理解除法豎式的意義、寫法。三年級(jí)學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的除法時(shí)，鞏固二年級(jí)豎式的寫法，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合算理，讓學(xué)生明確算法，掌握“除到哪一位，商就寫在哪一位上面”，明白同一數(shù)位不可以多次求商。四年級(jí)學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法時(shí)，鞏固二、三年級(jí)的知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法試商、調(diào)商、求商。五年級(jí)學(xué)習(xí)的小數(shù)除法，是在二、三、四年級(jí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算。在螺旋上升的過(guò)程中，每一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)將反復(fù)出現(xiàn)，所以必須加強(qiáng)鋪墊與練習(xí)，以彌補(bǔ)薄弱，突破難點(diǎn)，讓學(xué)生在反復(fù)更正中不斷進(jìn)步。