幾何直觀，是方法更是一種素養(yǎng)

陳蒨

摘 ?要：幾何直觀，不僅是一種方法，更是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。幾何直觀，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的重要標(biāo)識。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深度表征、深層建構(gòu)和深化思考。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀操作，而且可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀變換，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合解決問題。作為教師，要充分發(fā)揮幾何直觀的教學(xué)功能，將幾何直觀貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;教學(xué)方法;核心素養(yǎng)

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出的一個(gè)核心概念。在當(dāng)下“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下，幾何直觀顯得尤為重要。所謂“幾何直觀”，就是指學(xué)生“借助自我的經(jīng)驗(yàn)、觀察、測試或類比聯(lián)想等手段，對事物對象、關(guān)系等的直接感知、洞察與認(rèn)知”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀，不僅是一種方法，更是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。幾何直觀，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的重要標(biāo)識。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分發(fā)揮幾何直觀的教學(xué)功能，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度表征、深度建構(gòu)和深度應(yīng)用。

一、借“幾何直觀”深度表征

數(shù)學(xué)是理性的、抽象的，而學(xué)生的思維卻是感性的、直觀的、具體的。如何引導(dǎo)學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識？筆者認(rèn)為，教師可以充分運(yùn)用幾何直觀，對相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度表征。借“幾何直觀”深度表征，能讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡約化，能讓陌生的數(shù)學(xué)問題變得熟悉化，能讓抽象的數(shù)學(xué)問題變得形象化。正如法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾所說的那樣，“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此，用這種方式來表達(dá)事物是非常有益的。”也正如德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在其名著《直觀幾何》中所認(rèn)為的那樣：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果?！?/p>

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生在數(shù)學(xué)審題時(shí)經(jīng)常容易發(fā)生偏差，常常不能抓住問題的要害，也就是不能抓住題目中的主要矛盾，或者說是矛盾的主要方。究其根本，是因?yàn)閷W(xué)生不理解題意。借助“幾何直觀”對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深度表征，能促進(jìn)學(xué)生對問題的本質(zhì)理解。正如波利亞所說，“圖形是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要幫手”。比如教學(xué)一年級的排隊(duì)問題：小朋友們排隊(duì)，小明的前面有5人，后面有4人，這一隊(duì)一共有多少人？小朋友們排隊(duì)，從前往后數(shù)，小明是第5人，從后往前數(shù)，小明是第4人，這一隊(duì)一共有多少人？對于這樣的問題，學(xué)生往往就是簡單地將兩個(gè)數(shù)相加。有教師簡單化地認(rèn)為，這是因?yàn)閷W(xué)生沒有考慮到小明本人。但問題在于，即使學(xué)生意識到“小明”的存在，也還是不能弄清楚應(yīng)當(dāng)加上“1”還是減去“1”。如果教師在教學(xué)中，能引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀（如畫示意圖、畫線段圖、畫符號圖等）對題意進(jìn)行形象化表征，就能幫助學(xué)生理解題意、描述問題。而當(dāng)學(xué)生通過幾何直觀理解了題意，也就自然能形成問題解決的思路。正是在這個(gè)意義上，著名數(shù)學(xué)教育家斯蒂恩說，“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就能整體把握問題。”

用幾何直觀描述、表征問題，有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，有助于學(xué)生形成問題解決的思路。克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀是對概念、證明的直接把握?！庇脦缀沃庇^表征，說到底就是借助見到或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接把握。這種把握是建立人對自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)之間的對應(yīng)關(guān)系。

二、借“幾何直觀”深層建構(gòu)

如果說，用“幾何直觀”表征數(shù)學(xué)問題是一種“圖導(dǎo)”，那么，借“幾何直觀”深層建構(gòu)則是一種“圖構(gòu)”。從“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”，彰顯的是學(xué)生的創(chuàng)造性精神。著名數(shù)學(xué)教育家華羅庚先生曾形象地說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”的確，“幾何直觀”不僅能表征題意，更能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識自主的、能動的、有意義的建構(gòu)。在建構(gòu)過程中，尤其要讓學(xué)生在思維障礙處明理、在知識混淆處辨析。

比如教學(xué)《乘法分配律》（蘇教版四年級下），教材是呈現(xiàn)了學(xué)生學(xué)校生活中的一個(gè)場景：四年級有6個(gè)班，五年級有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩，四五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？通常教法就是通過不同思路，列出不同的算式，從而形成關(guān)于“乘法分配律”的猜想。當(dāng)學(xué)生質(zhì)疑時(shí)，教師總是讓學(xué)生多舉出幾個(gè)例子，從而對猜想進(jìn)行驗(yàn)證。通過不完全歸納法建構(gòu)“乘法分配律”的符號模型。這樣的教學(xué)，總讓學(xué)生產(chǎn)生一種“意猶未盡”的外在的感覺，總讓學(xué)生感覺到教師教學(xué)有一種“拉郎配”的主觀愿望。筆者在教學(xué)中，借“幾何直觀”引導(dǎo)學(xué)生深層建構(gòu)。即引導(dǎo)學(xué)生先畫出一個(gè)長方形，再畫出一個(gè)等寬的長方形，從而形成一個(gè)更大的長方形。這個(gè)更大的長方形的面積既是兩個(gè)長方形面積的和，也可以用兩個(gè)長方形合并后的長乘寬，即大長方形的長乘寬。借助幾何直觀，學(xué)生深刻理解了乘法分配律，從而建構(gòu)出乘法分配律的符號模型。這種借助長方形模型建構(gòu)乘法分配律的符號模型的過程，具有一種內(nèi)在的、演繹的性質(zhì)，讓學(xué)生心服、信服。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅可以通過圖形操作、圖形變換助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，更可以將數(shù)與形結(jié)合起來?！皵?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀?！保ㄈA羅庚語）數(shù)形結(jié)合，將抽象與形象有機(jī)結(jié)合，充分運(yùn)用圖形的直覺功能，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。在“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”的路途中，教師可以適當(dāng)?shù)匕l(fā)揮圖形的引思功能，指導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、解圖、創(chuàng)圖、構(gòu)圖。通過圖形直觀，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維動態(tài)展現(xiàn)，從而發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引向深入，不斷發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新潛質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，生成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、借“幾何直觀”深化思考

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾說過：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！睅缀沃庇^不僅能引導(dǎo)學(xué)生深度表征、深層建構(gòu)，而且能深化學(xué)生數(shù)學(xué)思考。學(xué)生的幾何直觀能力不是一蹴而就形成的，而是需要一個(gè)逐步的、緩慢的、漸進(jìn)的過程。正是在不斷借助幾何直觀解決問題的過程中，學(xué)生積累了幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟到幾何直觀解決問題的方法、思想，形成了運(yùn)用幾何直觀解決問題的意識。

教學(xué)蘇教版四下《解決問題的策略——“畫圖”》一課，學(xué)生遇到這樣一個(gè)問題：一個(gè)長方形花圃，如果長增加了3米，面積就增加了18平方米;如果寬增加4米，面積就增加24平方米，原來長方形花圃的面積是多少平方米？對于這樣的問題，僅僅讓學(xué)生在頭腦中進(jìn)行思考，是難以解決問題的。為此，教師要指導(dǎo)學(xué)生畫圖，通過長方形圖進(jìn)行思考。如“花圃的長增加3米是什么意思？”“怎樣求出花圃的寬？”在教學(xué)中，教師還可以出示一些變式性的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，從而增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力。比如，“一個(gè)長方形的花圃長增加3米、寬增加4米”與“一個(gè)長方形的花圃長增加3米，或者寬增加4米”，比如“一個(gè)長方形花圃長、寬分別增加4米”“一個(gè)長方形花圃長、寬都增加4米”“一個(gè)長方形花圃長、寬同時(shí)增加4米”，等等。通過對問題表述形式的改變，引導(dǎo)學(xué)生畫圖，從而助推學(xué)生深刻理解題意，深化學(xué)生運(yùn)用幾何直觀圖形進(jìn)行表征、建構(gòu)與思考。借助圖形，學(xué)生能展開層層分析、推理，能感受、體驗(yàn)到直觀示意圖的意義和價(jià)值。

用“幾何直觀”助推學(xué)生的問題解決，會讓學(xué)生產(chǎn)生一種“醍醐灌頂”的感覺，他們茅塞頓開、豁然開朗、恍然大悟。幾何直觀，讓抽象的數(shù)學(xué)問題獲得了直觀化、形象化的詮釋、理解。在運(yùn)用幾何直觀深化學(xué)生思考的過程中，教師要激發(fā)學(xué)生直觀推想力，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、比較、聯(lián)想，從而自主地探究，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

幾何直觀是一種方法，也是一種思想，更是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。幾何直觀是學(xué)生的一種意識、能力，更是學(xué)生的一種思維方式。運(yùn)用“幾何直觀”進(jìn)行數(shù)學(xué)表征、建構(gòu)和思考，充分發(fā)揮幾何直觀的教學(xué)功能，是教師教學(xué)的應(yīng)然選擇。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，圍繞幾何直觀的操作、功能、應(yīng)用等展開深度研討，有助于增強(qiáng)教師運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)的自覺性。幾何直觀作為一種思想方法、作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。