掌握要點(diǎn)　易解二次函數(shù)問(wèn)題

馬旭

在初中，二次函數(shù)是中考的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，走到高中，二次函數(shù)問(wèn)題同樣是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)它還是高考的一個(gè)熱點(diǎn).二次函數(shù)貫穿著整個(gè)高中教學(xué)，它不僅與其他函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，還在數(shù)列、解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是數(shù)學(xué)應(yīng)用題中考查的一個(gè)重點(diǎn).那么怎樣才能更好地掌握二次函數(shù)呢？下面我們就從以下幾個(gè)要點(diǎn)研究二次函數(shù)：

設(shè)二次函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），其圖像為開(kāi)口向上或者向下的拋物線.

（1）看開(kāi)口：當(dāng)a>0時(shí)，該函數(shù)圖像為開(kāi)口向上;當(dāng)a<0時(shí)，該函數(shù)圖像為開(kāi)口向下.

（2）找對(duì)稱軸：該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-b2a.

（3）找頂點(diǎn)坐標(biāo)：該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-b2a，4ac-b24a，所以該函數(shù)的第二種解析式為頂點(diǎn)式：f（x）=ax+b2a2+4ac-b24a.

（4）與y軸的交點(diǎn)：令x=0，得y=c，即該函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)為（0，c）.

（5）與x軸的交點(diǎn)：令y=0，解方程ax2+bx+c=0，令Δ=b2-4ac，

若Δ<0，則該方程無(wú)解，即該函數(shù)圖像與x軸無(wú)交點(diǎn);

若Δ=0，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=-b2a，即該函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)為-b2a，0.

若Δ>0，則該方程有兩個(gè)不等的實(shí)根x1=-b-Δ2a，x2=-b+Δ2a，即該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)為-b-Δ2a，0和-b+Δ2a，0，且有x1+x2=-ba，x1·x2=ca.此時(shí)x1、x2還稱為函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，所以該函數(shù)的第三個(gè)解析式為零點(diǎn)式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

（6）單調(diào)區(qū)間：當(dāng)a>0時(shí)，該函數(shù)圖像為開(kāi)口向上，函數(shù)在區(qū)間-∞，-b2a上單調(diào)遞減，在區(qū)間-b2a，+∞上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí)，該函數(shù)圖像為開(kāi)口向下，函數(shù)在區(qū)間-∞，-b2a單調(diào)遞增，在區(qū)間-b2a，+∞上單調(diào)遞減.

例題分析

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有f（2+t）=f（2-t），試比較f（4），f（-1），f（2）的大小.

分析 本題的關(guān)鍵是理解f（2+t）=f（2-t）所表示的含義，它表示2加上t與2減去t對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，即x=2是函數(shù)f（x）=x2+bx+c的對(duì)稱軸.

解 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+bx+c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有f（2+t）=f（2-t），

所以函數(shù)f（x）=x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，即-b2=2，所以b=-4;

所以f（-1）=f（5），又因?yàn)閒（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，

所以f（2）

總結(jié) （1）若函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則有f（a+t）=f（a-t），反之亦成立.

（2）注意利用對(duì)稱性，將所比較的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，才能用單調(diào)性進(jìn)行比較.

例2 求函數(shù)f（x）=x2-2ax-1在區(qū)間[0，2]上的最小值和最大值.

解 函數(shù)f（x）=x2-2ax-1的對(duì)稱軸為x=a，且圖像開(kāi)口向上，

① 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]為增函數(shù)，

所以f（x）min=f（0）=-1，f（x）max=f（2）=3-4a.

② 當(dāng)0≤a<1時(shí)，對(duì)稱軸x=a在區(qū)間[0，2]內(nèi)，且x=2距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，

所以f（x）min=f（a）=-1-a2，f（x）max=f（2）=3-4a.

③ 當(dāng)1≤a≤2時(shí)，對(duì)稱軸x=a在區(qū)間[0，2]內(nèi)，且x=0距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，

所以f（x）min=f（a）=-1-a2，f（x）max=f（0）=-1.

④ 當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]為減函數(shù)，

f（x）min=f（2）=3-4a，f（x）max=f（0）=-1.

總結(jié) （1）該題對(duì)稱軸變動(dòng)而區(qū)間不變.

（2）考查了分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程的思想，該題比較典型.

解決二次函數(shù)問(wèn)題數(shù)形結(jié)合思想非常重要，研究二次函數(shù)，必須抓住二次函數(shù)的圖像和三點(diǎn)一線（頂點(diǎn)，與x軸交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)以及對(duì)稱軸）.同時(shí)還要從以上六個(gè)方面深入地研究二次函數(shù)的各個(gè)方面的特點(diǎn)，才能把二次函數(shù)理解好、掌握好.