保持算子?-乘積冪等性的映射

董改芳

朔州師范高等?？茖W(xué)校， 山西 朔州 036002

關(guān)于算子代數(shù)上保持問題的研究已經(jīng)得到了許多有意義的成果[1～7].設(shè)H是復(fù)的無限維的完備的不定內(nèi)積空間，B(H)是由H上所有有界線性算子構(gòu)成的代數(shù),Ω?B(H),I∈Ω,C*I1(H)?Ω，且?A∈Ω,Gcv{A,I}?Ω,Φ是Ω上保持算子?-乘積冪等性的映射，Φ(I)=I.文獻(xiàn)[6]給出了Φ的具體形式.本文證明了此結(jié)論對于dimH≥3也成立，并給出Mn(C)上Φ的具體形式.

1 符號及概念

I是單位元,C*,R*是非零復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集，I*(H),I1(H)是B(H)的非零冪等元和一秩冪等元集合.dimH表示H的維數(shù).rank(P),rng(P),ker(P)是P的秩、值域和零空間.B(H)同構(gòu)于n級矩陣代數(shù)Mn(C).I*(H),I1(H)分別記I*(n),I1(n).稱Φ為Ω上保持算子?-乘積冪等性的映射，若?A,B∈Ω,AB+∈I*(H)?Φ(A)Φ(B)+∈I*(H).Gcv{A,I}={λA+(1-λ)I,λ∈C}為A，I的廣義凸組合.

2 主要結(jié)果

AB+∈I*(H)?Φ(A)Φ(B)+∈I*(H)

??c∈R*,?有界可逆線性或共軛線性算子U∈B(H),U+U=c-1I使得Φ(A)=cUAU+對所有的A∈Ω成立.

3 證明

引理1[8]Φ(0)=0,Φ為單射,且Φ雙邊保冪等元.

引理2[8]Φ雙邊保一秩冪等元.

引理3[8]設(shè)P,Q∈I1(H),則P⊥Q?Φ(p)⊥Φ(Q).

證明 文獻(xiàn)[8]已證明結(jié)論對于dimH≥4成立,下面證明結(jié)論對于dimH=3也成立.我們先證明一個斷言:

斷言1設(shè)dimH=3,P1,P3,P3∈I1(H),則下列條件等價:

(i)P1Pj=0,i≠j,i,j=1,2,3.

(ii)對?R∈I(H)，PiR∈I*(H),i=1,2,3,蘊(yùn)涵R=I.

證明 設(shè)(ii)成立.我們斷言:如果i≠j,則rng(Pi)∩rng(Pj)={0}.用反證法,假設(shè)H0=rng(P1)∩rng(P2)≠{0},由于P1,P2,P3∈I1(H),故必有rng(P1)=rng(P2)=H0.于是存在H的一組基(不必正交)使得

則顯然PiR∈I*(H),i=1,2,3,但R≠I,矛盾.

記Pi=ei?fi,i=1,2,3,我們斷言:{e1,e2,e3}是線性無關(guān)的.否則,由前一斷言知,H1=span{e1,e2,e3},dim(H1)=2.令R∈I(H),rng(R)=H1,則PiR∈I*(H)但R≠I.

現(xiàn)在驗(yàn)證P1,P2,P3是相互正交的.仍用反證法,假設(shè)P1P2≠0,則有〈e2,Jf1〉=α≠0.因?yàn)镠=span{e1-α-1e2}⊕span{e2-e3},?R∈I(H)使得rng(R)=span{e2,e3},ker(R)=span{e1-α-1e2},顯然Re1=α-1e2,故〈Rei,Jfi〉=1對每個i=1,2,3都成立，此蘊(yùn)涵PiR∈I*(H)對每個i=1,2,3都成立,但R≠I,又得矛盾.到此,斷言1得證.

下面我們給出定理1的證明

定理1的證明充分性顯然,下面來證必要性.

情形(1).當(dāng)H為無限維時,定理1成立.文獻(xiàn)[8]中已證明.

如果Φ(P)=UPτU-1對所有的P∈I1(n)成立，那么

Φ(e1?e1)Φ(e1?e1)+=U(e1?e1)τU-1(U(e1?e1)τU-1)+=Ue1?(U-1)+e1(Ue1?(U-1)+e1)+

=Ue1?(U-1)+e1J-1(U-1)+e1?JUe1=〈J-1(U-1)+e1，(U-1)+e1〉Ue1?JUe1∈I*(n)

所以〈J-1(U-1)+e1，(U-1)+e1〉〈Ue1，JUe1〉=1.

作為現(xiàn)實(shí)社會的延伸，網(wǎng)絡(luò)空間也同樣充滿了各國之間的分歧和沖突。個別西方國家依靠自己的網(wǎng)絡(luò)技術(shù)優(yōu)勢，壟斷網(wǎng)絡(luò)資源和網(wǎng)絡(luò)話語權(quán)，實(shí)施網(wǎng)絡(luò)霸權(quán)。某些西方發(fā)達(dá)國家為了懲罰或推翻非親西方的發(fā)展中國家，往往會以切斷其國家的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)為借口進(jìn)行要挾，逼迫發(fā)展中國家就范；或者利用網(wǎng)絡(luò)空間對于發(fā)展中國家進(jìn)行意識形態(tài)滲透，造成社會的混亂；更有甚者直接利用網(wǎng)絡(luò)工具煽動和策劃發(fā)展中國家內(nèi)部的反政府力量進(jìn)行推翻現(xiàn)有政府的活動。這些活動必然會加深發(fā)展中國家與這些發(fā)達(dá)國家之間關(guān)于網(wǎng)絡(luò)規(guī)則、網(wǎng)絡(luò)秩序和網(wǎng)絡(luò)治理理念的分歧與對抗。

Ψ(A)=cU+Φ(A)U,(?A∈Ω)

則對?P∈I1(n),Ψ(P)=cU+Φ(P)U=cU+cUPτU+U=Pτ,且Ψ(I)=I.對?A,B∈Ω,AB+∈I*(H)?Ψ(A)Ψ(B)+=cU+Φ(A)U(cU+Φ(B)U)+=cU+Φ(A)UcU+Φ(B)+U=cU+Φ(A)Φ(B)+U∈I*(H).故Ψ也滿足定理的條件.

由于

則有

設(shè)τ(t)=αeiθ1,τ(s)=βeiθ2,其中α=|π(t)|,β=|π(s)|則

所以我們知

α4+2α2β2+β4=1

(1)

又因?yàn)?/p>

t4+s2=1,所以τ(t)2+τ(s)2=1.從而α2ei2θ1+β2ei2θ2=1

(2)

而式(2)等價于

(3)

定理1在有限維Hilbert空間可以表述為下面的定理2.

由定理1,我們可以得到以下推論3,其描述了有限維Hilbert空間上保持算子*乘積冪等性的映射.

推論3設(shè)n≥3,Ω?Mn(C),I∈Ω，C*I1(n)?Ω，且?A∈Ω,Gcv{A,I}?Ω.