von Neumann 代數(shù)上保持混合三重η-*-積的非線性映射

張芳娟， 朱新宏

(1.西安郵電大學(xué)理學(xué)院， 西安 710121； 2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所， 西安 710065)

1) 如果對(duì)所有B∈M有ABP=0，那么A=0.

2) 如果η是非零常數(shù)且對(duì)任意T∈M有(PT(I-P))·ηA=0， 那么A(I-P)=0.

引理3[6]設(shè)M是von Neumann代數(shù)，A∈M， 若對(duì)所有的B∈M， 有AB+BA*=0，則A=-A*∈Z(M).

1 可加性

斷言1φ(0)=0.

斷言2任取A12∈M12，A21∈M21，則φ(A12+A21)=φ(A12)+φ(A21).

斷言3設(shè)i，j∈{1，2}，若i≠j，Aii∈Mii，Aij∈Mij，Ajj∈Mjj，則φ(Aii+Aij)=φ(Aii)+φ(Aij)，φ(Ajj+Aij)=φ(Ajj)+φ(Aij).

斷言4設(shè)i，j∈{1，2}，若i≠j，Aii∈Mii，Aij∈Mij，Aji∈Mji，則φ(Aii+Aij+Aji)=φ(Aii)+φ(Aij)+φ(Aji).

由此可得Xij=Aij，Xji=Aji，Xjj=0，則X=Xii+Aij+Aji.

由此可得Xii=Aii.

斷言5任取A11∈M11，A12∈M12，A21∈M21，A22∈M22，則φ(A11+A12+A21+A22)=φ(A11)+φ(A12)+φ(A21)+φ(A22).

由此可得X11=A11，X12=A12，X21=A21.類似可得X22=A22.

斷言6設(shè)i，j∈{1，2}，若i≠j，Aij，Bij∈Mij，則φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).

則φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).

斷言7設(shè)i，j∈{1，2}，若i≠j，Aii，Bii∈Mii，則φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).

由此可得Xjj=Xji=Xij=0.

任取Cij∈Mij，i≠j，由斷言6得

由此可得(Xii-Aii-Bii)Cij=0.即對(duì)所有的C∈M，有(Xii-Aii-Bii)CPj=0.由引理2得Xii=Aii+Bii.所以φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).

斷言8φ是可加的．

由斷言5～7得φ是可加的．

2 線性

若η=-1，則有下面定理．

定理2設(shè)M和N是兩個(gè)von Neumann代數(shù)， 其中至少有一個(gè)無(wú)中心交換投影.若φ是從M到N的雙射并且滿足對(duì)所有A，B，C∈M有φ([A·B，C]*)=[φ(A)·φ(B)，φ(C)]*，則下列結(jié)論成立：φ(I)φ是線性*-同構(gòu)和共軛線性*-同構(gòu)的和，其中φ(I)是N中自伴中心元且φ(I)2=I.

證明分下面幾步完成．

第一步1) 任取A∈M，則φ(A)*=φ(A)當(dāng)且僅當(dāng)A*=A；

2)φ(Z(M))=Z(N).

由于φ是滿射， 所以存在B∈M，使得φ(B)=I.則對(duì)任意A∈M有

0=φ([iI·A，B]*)=[φ(iI)·φ(A)，I]*=φ(iI)(φ(A)-φ(A)*)+(φ(A)-φ(A)*)φ(iI)*.

φ(iI)=-φ(iI)*∈Z(N).

(1)

類似可得φ-1(iI)∈Z(M).

令A(yù)=A*∈M且φ(B)=I.則

0=φ([B·A，φ-1(iI)]*)=[I·φ(A)，iI]*= 2iφ(A)-2iφ(A)*.

由此可得φ(A)=φ(A)*.同理若φ(A)=φ(A)*，則

0=φ-1([φ(I)·φ(A)，φ(iI)]*)= [I·A，iI]*=2iA-2iA*.

所以A=A*，因此φ雙邊保持自伴元．

任取Z∈Z(M)且φ(B)=I.對(duì)所有A=A*∈M，有

0=φ([B·A，Z]*)=[I·φ(A)，φ(Z)]*= 2(φ(A)φ(Z)-φ(Z)φ(A)*).

第二步1)φ(iI)*=-φ(iI)，φ(I)2=I；

2)任取A∈M，則φ(A*)=φ(A)*.

由第一步和式(1)得

4φ(iI)=φ([I·iI，I]*)=[φ(I)·φ(iI)，φ(I)]*=

2φ(I)2(φ(iI)-φ(iI)*)=4φ(I)2φ(iI).

即

φ(iI)=φ(I)2φ(iI).

(2)

對(duì)所有A=A*∈M，由第一步和式(1)得

-4φ(A)=φ([A·iI，iI]*)= [φ(A)·φ(iI)，φ(iI)]*=4φ(iI)2φ(A).

φ(iI)2=-I.

(3)

由式(2)和式(3)得

φ(I)2=I.

(4)

任取A∈M， 因?yàn)棣?I)是自伴中心元，所以2φ(A-A*)=φ([I·A，I]*)=[φ(I)·φ(A)，φ(I)]*=2φ(I)2(φ(A)-φ(A)*).聯(lián)合式(4)得φ(A)*=φ(A)*.

定義映射ψ：M→N，對(duì)所有A∈M， 有ψ(A)=φ(I)φ(A).ψ有下面性質(zhì)．

第三步1)ψ是可加的雙射， 對(duì)所有A，B，C∈M，滿足ψ([A·B，C]*)=[ψ(A)·ψ(B)，ψ(C)]*；

2)ψ(I)=I，ψ(iI)2=-I，ψ(iI)*=-ψ(iI)，ψ(Z(M))=Z(N)；

3) 對(duì)所有A∈M， 有ψ(A*)=ψ(A)*；

4)P是M中投影當(dāng)且僅當(dāng)ψ(P)是N中投影．

1)、2)、3)易得，下面證明4).若P是M中投影，一方面

4ψ(iP)=ψ([I·iI，P]*)= [I·ψ(iI)，ψ(P)]*=4ψ(iI)ψ(P).

另一方面，

4ψ(iP)=ψ([I·iP，P]*)= [I·ψ(iP)，ψ(P)]*=4ψ(iI)ψ(P)2.

所以，ψ(iI)ψ(P)=ψ(iI)ψ(P)2.由ψ(iI)2=-I得ψ(P)=ψ(P)2.所以，ψ(P)是N中的投影．

下面的證明不需要N無(wú)中心交換投影的條件，所以上面的結(jié)果對(duì)ψ-1成立.若ψ(P)是N中的投影，則P=ψ-1(ψ(P))是M中的投影．

第四步ψ(Mij)=Nij，ψ(Mii)?Nii，1≤i≠j≤2.

任取Aij∈Mij，有

由此可得Qiψ(Aij)Qi=Qjψ(Aij)Qj=Qjψ(Aij)Qi=0， 則ψ(Mij)?Nij.再用同樣方法考慮映射ψ-1，所以ψ(Mij)=Nij.

任取Aii∈Mii，由

0=ψ([Pj·iI，Aii]*)=[Qj·ψ(iI)，ψ(Aii)]*= 2ψ(iI)(Qjψ(Aii)+ψ(Aii)Qj)，

得Qiψ(Aii)Qj=Qjψ(Aii)Qi=Qjψ(Aii)Qj=0，則ψ(Mii)?Nii.

第五步ψ是可乘的．

由ψ(Aij)ψ(Bii)*=0，i≠j得

任取Dij∈Nij，由第四步得Cij=ψ-1(Dij)∈Mij，所以

ψ(AiiBii)Dij=ψ(AiiBiiCij)=ψ(Aii)ψ(BiiCij)=ψ(Aii)ψ(Bii)Dij.

計(jì)算得

ψ(AijBji)-ψ(BjiAij)=ψ([Aij·I，Bji]*)= [ψ(Aij)·I，ψ(Bji)]*=ψ(Aij)ψ(Bji)-ψ(Bji)ψ(Aij).

所以，

ψ(AijBji)=ψ(Aij)ψ(Bji)，ψ(BjiAij)=ψ(Bji)ψ(Aij).

任取Dji∈Nji，由第四步得Cji=ψ-1(Dji)∈Mji，所以，

ψ(AijBjj)Dji=ψ(AijBjjCji)=ψ(Aij)ψ(BjjCji)=ψ(Aij)ψ(Bjj)Dji.

第六步存在中心投影E∈M， 使得ψ限制在ME上是線性映射，ψ限制在M(I-E)上是共軛線性映射．

任取有理數(shù)q，有ψ(qI)=qI.取M中正元A，則存在自伴元B∈M使得A=B2.由第五步得ψ(A)=ψ(B)2，由ψ(B)是自伴元得ψ(A)是正元，所以ψ保持正元．

設(shè)λ∈， 取兩個(gè)有理數(shù)列{an}，{bn}使得an≤λ≤bn和對(duì)所有的n都成立.由anI≤λI≤bnI得anI≤ψ(λI)≤bnI.取極限得ψ(λI)=λI.因此對(duì)所有A∈M，有ψ(λA)=ψ(λI)ψ(A)=λψ(A)，則ψ是實(shí)線性的．

ψ(iAE)=ψ(A)ψ(E)ψ(iI)=ψ(A)ψ(E)i(2F-I)=iψ(A)F=iψ(AE)

和

ψ(iA(I-E))=ψ(A)ψ(I-E)ψ(iI)= -iψ(A)(I-F)=-iψ(A(I-E)).

因此，ψ限制在ME上是線性映射，ψ限制在M(I-E)上是共軛線性映射．

定理3設(shè)M和N是兩個(gè)von Neumann 代數(shù)， 其中至少有一個(gè)無(wú)中心交換投影，η∈{0，±1}，φ：M→N是非線性雙射且滿足φ(I)=I，φ(iI)*=-φ(iI)， 則φ保持混合三重η-*-積當(dāng)且僅當(dāng)下列結(jié)論成立： i)若|η|=1， 則φ是線性*-同構(gòu)；ii)若|η|≠1， 則φ是線性*-同構(gòu)和共軛線性*-同構(gòu)之和．

證明分兩種情況進(jìn)行討論．

情形1|η|=1.

斷言1φ雙邊保持自伴元．

取A=A*∈M， 則

所以，φ(A)=φ(A)*.由于φ-1也保持混合三重η-*-積， 如果φ(A)=φ(A)*，那么

則A=A*.

斷言2φ(Z(M))=Z(N).

任取C∈Z(M)和A=A*∈M，有

由斷言1得， 對(duì)所有B=B*∈N，有Bφ(C)=φ(C)B.進(jìn)一步對(duì)所有B∈N，有Bφ(C)=φ(C)B.則φ(C)∈Z(N)，即φ(Z(M))?Z(N).類似可得φ-1(Z(N))?Z(M)，所以，φ(Z(M))=Z(N).

斷言3φ(iI)=iI.

一方面， 由φ(iI)*=-φ(iI)得

(5)

另一方面，

(6)

由式(5)和式(6)可得φ(iI)2=-I.再由式(5)得φ(ηI)=ηI.若η=i，則φ(iI)=iI.

斷言4φ是線性*-同構(gòu)．

任取A∈M，由

得φ(ηA)=ηφ(A).任取A，B∈M，由

得

φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*.

(7)

在式(7)中取A=iI得φ(iB)=iφ(B).再由(7)式得φ((iA)(iB)-(iB)(iA)*)=φ(iA)φ(iB)-φ(iB)φ(iA)*.由此可得

φ(AB+BA*)=φ(A)φ(B)+φ(B)φ(A)*.

(8)

結(jié)合式(7)～(8)可得φ(AB)=φ(A)φ(B)和φ(BA*)=φ(B)φ(A)*.取B=I得φ(A*)=φ(A)*.類似定理2的第六步得φ是實(shí)線性，結(jié)合φ(iB)=iφ(B)得φ是線性*-同構(gòu)．

情形2|η|≠1.

斷言1φ保自伴冪等元．

φ(|η|2A)=|η|2φ(A).

(9)

任取A=A*∈M，由

(1-η)φ(A)+(η-|η|2)φ(A)*

斷言2設(shè)i，j∈{1，2}且i≠j，則φ(Nij)=Mij.

任取Aij∈Mij，由

得Bji=0，所以φ(Mij)∈Nij.考慮φ-1，得φ(Mij)=Nij.

斷言3φ(Mii)?Nii，i=1，2.

取Aii∈Mii，設(shè)i≠j，則

由此可得Qjφ(Aii)Qi=Qiφ(Aii)Qj=Qjφ(Aii)Qj=0，因此φ(Mii)?Nii.

斷言4對(duì)所有A，B∈M，有φ(AB)=φ(A)φ(B).

為了證明φ(AB)=φ(A)φ(B)，只需考慮φ(AijBkl)=φ(Aij)φ(Bkl).i、j、k、l∈{1，2}.若j≠k，由斷言2和斷言3得φ(AijBkl)=φ(Aij)φ(Bkl)=0.下面只需考慮j=k.

由φ(Bij)φ(Aii)*=0得

由斷言2和斷言3得φ(AiiBij)=φ(Aii)φ(Bij).

對(duì)所有Tij∈Nij，i≠j，由斷言2得Cij=φ-1(Tij)∈Mij，則

φ(AiiBii)Tij=φ(AiiBiiCij)=φ(Aii)φ(BiiCij)=φ(Aii)φ(Bii)Tij.

由斷言3和引理2得φ(AiiBii)=φ(Aii)φ(Bii).

由式(9)得

由此可得φ(AijBji)=φ(Aij)φ(Bji)，φ(BjiAij)=φ(Bji)φ(Aij).

任取Tji∈Nji，i≠j，有Cji=φ-1(Tji)∈Mji，所以

φ(AijBjj)Tji=φ(AijBjjCji)=φ(Aij)φ(BjjCji)=φ(Aij)φ(Bjj)Tji.

由引理2得φ(AijBjj)=φ(Aij)φ(Bjj).

斷言5φ是線性*-同構(gòu)和共軛線性*-同構(gòu)之和．

φ(A*)=φ(A1-iA2)=φ(A1)-φ(iA2)=φ(A1)-φ(iI)φ(A2)=φ(A1)*+φ(iI)*φ(A2)*=φ(A1)*+φ(iA2)*=φ(A1+iA2)*=φ(A)*.

即φ(A*)=φ(A)*.由斷言4得φ(iI)2=φ((iI)2)=-I.類似定理2的第六步得結(jié)論．