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    無窮區(qū)間上分數階積分邊值問題正解的存在唯一性

    2022-10-20 13:21:28郭曉珍王文霞
    關鍵詞:邊值問題不動點算子

    郭曉珍, 王文霞

    (太原師范學院數學系, 山西 晉中 030619)

    近幾十年來,由于分數階微分方程在光學和熱學系統、流變學及材料和力學系統、信號處理和系統識別、控制和機器人等諸多領域的應用,其理論研究獲得了廣泛的關注,研究成果非常豐富,見文獻[1-9]. 最近,一些作者研究了無窮區(qū)間上的邊值問題,已得到一些有價值的結果,見文獻[10-15].

    文獻[15]中研究了如下無窮區(qū)間上Caputo型分數階積分邊值問題,

    (1)

    作者運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理得到了邊值問題(1)至少有一個或兩個正解的存在性結果.

    但是,據筆者所知,類似于上述的邊值問題的唯一正解的存在性問題尚未有研究結果,因此本文將研究如下無窮區(qū)間上分數階微分方程特征值問題的唯一正解的存在性:

    (2)

    1 預備知識和引理

    為了方便,首先介紹分數階微積分的一些基本定義和引理.

    定義1[1]連續(xù)函數f:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分數積分定義為

    其中,等式的右端在(0,+∞)有定義.

    定義2[1]連續(xù)函數f:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分數導數定義為

    其中,n是大于等于α的最小整數,等式的右端在(0,+∞)有定義.

    引理1[1]如果u∈C[0,+∞)∩L[0,+∞)有α>0階導數屬于C[0,+∞)∩L[0,+∞),則

    其中,ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

    (3)

    有唯一解u(t),且

    (4)

    其中,

    (5)

    (6)

    又由u(0)=0得c2=0.進而

    將c1帶入(6)式即得(4)式.證畢.

    引理3[2]函數G(t,s)滿足如下性質:

    1)?(t,s)∈R+×R+,G(t,s)是連續(xù)函數且G(t,s)≥0;

    設E是實Banach空間,θ為E中的零元素.P為E中的非空凸閉子集,若

    x∈P,λ≥0?λx∈P;

    x∈P,-x∈P?x=θ,

    則稱P為E中的錐.錐P稱為正規(guī)的,若存在常數N>0,使得對任意x,y∈E且θ≤x≤y,都有‖x‖≤N‖y‖.對u,v∈E,u≤v,記[u,v]={x∈E|u≤x≤v}.有關錐的概念詳細討論可見文[3-5].

    給定e>0(即e∈P且e≠θ),記

    Pe={u∈E:存在l1=l1(u)>0,l2=l2(u)>0,使得l1e≤u≤l2e},

    (7)

    設D?E.算子T:D→E稱為增算子,如果x,y∈D,x≤y?Tx≤Ty.x*∈D稱為是T的一個不動點,如果Tx*=x*.

    引理4[3]設P是E中的正規(guī)錐,A,T:P→P皆為增算子且滿足:

    (G2)T(Pe)?Pe且存在τ∈(0,1)使得T(ru)≥rτTu,u∈Pe,r∈(0,1).

    那么,存在λ*>0,當λ∈[0,λ*)時,λA+T有唯一不動點uλ∈Pe且當λ∈[λ*,+∞)時,λA+T在Pe中沒有不動點.進而,不動點uλ滿足如下的性質:

    2)uλ關于λ∈[0,λ*)是單調遞增的;

    3)uλ關于λ∈[0,λ*)是連續(xù)的.

    引理5[3]設P是E中的一個正規(guī)錐,T:P→P是增算子.假設T(Pe)?Pe且對任意r∈(0,1)和[y,z]?Pe,存在η(r,y,z)>0使得

    T(ru)≥r(1+η(r,y,z))Tu,

    ?u∈[y,z],r∈(0,1).

    2 主要結果

    本文將使用如下條件:

    (H1)f:R+×R+→R+連續(xù)且關于第二個變量是不減的;

    (H2)g:R+→R+連續(xù)且是不減的;

    (H5) ?r∈(0,1),u∈R+,t∈R+,有f(t,ru)≥rf(t,u);

    (H6) ?r∈(0,1),u∈R+,有g(ru)≥rg(u).

    由引理2容易看到,當條件(H1)~(H6)成立時,u∈P是邊值問題(2)的解當且僅當u是下列積分方程的解,

    定義算子A,Tμ以及C(λ,μ)如下

    (8)

    (9)

    (C(λ,μ)u)(t)=λ(Au)(t)+(Tμu)(t),u∈P,

    (10)

    容易看到算子A,Tμ:P→P,顯然,u(t)是邊值問題(2)的解當且僅當C(λ,μ)u=u.

    定理1設條件(H1)~(H6)成立,則對任意給定μ>0,存在λ*(μ)>0,使得當λ∈[0,λ*(μ))時,邊值問題(2)有唯一正解uλ;當λ∈[λ*(μ),+∞)時,沒有正解.此外,唯一正解uλ滿足如下性質:

    1) 對任意初值u0∈Pe,構建序列:

    2)uλ關于λ∈[0,λ*(μ))是單調遞增的;

    3)uλ關于λ∈[0,λ*(μ))是連續(xù)的.

    證明首先由條件(H1)易知A:P→P是增算子.其次由引理3,(8)式,(H1),(H5)可得

    0≤(Au)(t)≤

    ?u∈P,

    t∈R+,即A(ru)≥rAu,u∈Pe,r∈(0,1).

    綜上可知,引理4的條件(G1)成立.

    任意給定μ>0.由(H2)知Tμ:P→P是增算子.根據(H4),存在常數Mg>0使得

    g(u)≤Mg,u∈R+.

    (11)

    因此由(9)式可得

    ?u∈P,μ>0,

    即Tμ(P)?Pe.以下將證明

    Tμ(ru)≥rτTμu,?u∈Pe,r∈(0,1),

    (12)

    其中,

    (13)

    事實上,由于

    于是由(H6)可知,

    rτ(Tμu)(t),r∈(0,1),u∈Pe,

    故(12)式成立.這就證明了引理4中的條件(G2)成立.

    接下來將對定理1中的參數臨界值λ*(μ)進行估計.為了方便,使用如下記號:

    引理6假設條件(H1)~(H6)成立,則對任意r∈(0,1)和[y,z]?Pe,存在η(r,y,z)>0,使得

    C(λ,μ)(ru)≥r(1+η(r,y,z))C(λ,μ)u,

    ?u∈[y,z],r∈(0,1).

    證明由條件(H5)和(10)式可得

    C(λ,μ)(ru)=λA(ru)+Tμ(ru)≥

    rλAu+rTμu+(rτ-r)Tμu≥

    rC(λ,μ)u+[(rτ-r)φ(λ,μ)(u)]C(λ,μ)u≥

    r[1+(rτ-1-1)φ(λ,μ)(u)]C(λ,μ)u,

    u∈Pe,r∈(0,1),

    (14)

    其中,

    φ(λ,μ)(u)=

    λ≥0,μ>0,u∈Pe.

    ?[y,z]?Pe,當u∈[y,z]時,有‖u‖≤‖z‖,故對u∈[y,z]有

    φ(λ,μ)(u)≥

    于是令

    η(r,y,z)=(rτ-1-1)φ(λ,μ)(z),r∈(0,1),

    則η(r,y,z)>0.進而由(14)式可知

    C(λ,μ)(ru)≥r[1+(rτ-1-1)φ(λ,μ)(u)]C(λ,μ)u≥r[1+(rτ-1-1)φ(λ,μ)(z)]C(λ,μ)u=r(1+η(r,y,z))C(λ,μ)u,u∈[y,z],r∈(0,1).

    證畢.

    定理2假設條件(H1)~(H6)成立,則對任意的μ>0,定理1中的臨界值λ*(μ)滿足:

    其中,0

    證明任意取定μ>0.由定理1的證明和引理6可知:對任意的λ>0,C(λ,μ)滿足引理5的所有條件,于是由引理5可得,C(λ,μ)在Pe有唯一不動點當且僅當存在uλ,vλ∈Pe使得uλ≤C(λ,μ)uλ≤C(λ,μ)vλ≤vλ.

    取uλ=C(λ,μ)θ,其中θ(t)≡0,則uλ∈Pe.若存在vλ∈Pe使得C(λ,μ)vλ≤vλ,由C(λ,μ)的增性和θ

    C(λ,μ)θ=uλ≤C(λ,μ)uλ≤C(λ,μ)vλ≤vλ,

    因此,C(λ,μ)在Pe有唯一不動點當且僅當存在vλ∈Pe使C(λ,μ)vλ≤vλ.令

    Δ={λ≥0|存在vλ∈Pe使C(λ,μ)vλ≤vλ},

    則C(λ,μ)在Pe有唯一不動點當且僅當λ∈Δ.于是由定理1有

    λ*(μ)=sup Δ 且λ*(μ)?Δ.

    另一方面,任意取定正整數n≥2,根據Pe的定義,存在r0∈(0,1)使

    3 例子

    例1考慮下面邊值問題

    (15)

    于是由定理1可知,對任意給定μ>0,存在λ*(μ)>0,使得當λ∈[0,λ*(μ))時,邊值問題(15)有唯一正解uλ;當λ∈[λ*(μ),+∞)時,沒有正解.此外,唯一正解uλ滿足定理1中的1)~3).

    下面應用定理2估計臨界值λ*(μ).注意到

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