空間分數(shù)階KGS方程中不同孤子的數(shù)值模擬

張利娟， 孫建強

(海南大學理學院， 海口 570228)

自從中子被發(fā)現(xiàn)以后，隨著質(zhì)子與中子模型的建立，人們認為原子核存在第三種相互作用力，即長程力.1935年，Yukawa提出了新相互作用理論的基本概念——交換粒子，這種交換粒子的質(zhì)量介于電子和質(zhì)子之間，因而被稱為介子.1947年，Powell對宇宙射線進行多次拍攝，發(fā)現(xiàn)Yukawa預言的介子.隨后又發(fā)現(xiàn)κ介子、ρ介子、ω介子等多種介子.為了刻畫原子核內(nèi)部核子與介子之間的相互作用，Yukawa首先提出了Klein-Gordon-Schr?dinger(KGS)系統(tǒng).1975年，首次由Fukuda和Tsutsumi提出了帶有Yukawa作用的KGS系統(tǒng)模型[1]，隨后一系列類似物理模型相繼產(chǎn)生．

由于分數(shù)階微分方程在描述一些系統(tǒng)時比經(jīng)典的微分方程更接近真實情況.在分數(shù)階量子力學領(lǐng)域也相應提出了分數(shù)階Schr?dinger、Klein-Gordon方程[2-3].2000年，Lasikin[4-5]通過Levy過程的路徑積分，建立了原子核內(nèi)部核子與介子之間的相互作用空間分數(shù)階Schr?dinger方程，隨后該方程引起國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[6-7].最近，在文獻[8]中，利用隨機游走提出了分數(shù)階KGS模型. 2016年，Huang和Guo考慮了如下具有拉普拉斯算子(1<α<2) 的空間分數(shù)階 KGS方程[9]，

(1)

2α1|u|2φdx=E(0).

(2)

分數(shù)階微分方程的解析解很難得到，一般只能通過數(shù)值模擬才能了解方程中孤子的演化情況.2017和2019年，Xiao等提出分數(shù)階KGS方程的有限差分格式和譜格式，并分析了單個和雙個核子和介子相互作用情況[10-11]．

在能量守恒偏微分方程的數(shù)值求解中，能量守恒格式起著重要的作用.近年來，哈密爾頓系統(tǒng)和多辛結(jié)構(gòu)偏微分方程的能量守恒方法受到了廣泛的關(guān)注[12-14].Quispel和McLachlan等利用平均向量場方法構(gòu)建了哈密爾頓系統(tǒng)的能量守恒格式[15-17]，該格式能夠精確模擬哈密爾頓系統(tǒng)長時間的演化過程，且保持系統(tǒng)的能量守恒.平均向量場方法也已推廣到能量守恒多辛結(jié)構(gòu)偏微分方程的計算[18].KGS方程具有能量守恒性質(zhì).本文把分數(shù)階KGS方程轉(zhuǎn)化成多辛結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出分數(shù)階KGS方程的多辛保能量格式，分析KGS系統(tǒng)中多個核子與介子在不同參數(shù)作用下的碰撞情況．

1 分數(shù)階KGS方程的多辛保能量格式

設p(x，t)是一個周期函數(shù)，x∈(a，b),定義

(3)

(4)

方程(4)等價于如下多辛結(jié)構(gòu)形式

Mzt+K(Lz)=?zS(z)，

(5)

式(5)滿足多辛守恒定律

?tω+?xκ=0，

?t(dp∧dq+dφ∧dw)+

(6)

在空間方向，利用傅里葉擬譜方法對分數(shù)階KGS方程(4)進行離散.可得到方程(4)如下的半離散系統(tǒng)，

(7)

(9)

同時方程(4)中變量φ關(guān)于x的二階偏導數(shù)，相應的譜微分矩陣為[21]

(10)

方程組(7)等價于

MNZt+KNDZ=?ZS(Z) ，

(11)

在時間方向上，對空間離散后的多辛系統(tǒng)(11)用二階平均向量場方法進行近似離散，有

(12)

式(12)等價于如下離散格式

(13)

式(13)理論上能精確保持分數(shù)階KGS方程(1)的離散能量守恒特性，在時間方向上具有二階計算精度．

2 核子與介子孤立子相互作用的數(shù)值模擬

利用新格式(13)對分數(shù)階KGS方程(1)進行數(shù)值模擬.定義相對能量誤差函數(shù)為

(14)

2.1 兩核子與兩介子孤立子的碰撞

設分數(shù)階KGS方程(1)的初始條件為[10]

exp(ivx)，

(15)

其中，v表示波的傳播速度.下面研究雙孤立子的情況.初始條件如下

u0=u(x-p1，0，v1)+u(x-p2，0，v2)，

w0=w(x-p1，0，v1)+w(x-p2，0，v2)，

φ0=φ(x-p1，0，v1)+φ(x-p2，0，v2)，

選擇參數(shù)p1=-10，p2=10，v1=0.8，v2=-0.8，τ=0.01，h=0.3.在區(qū)間x∈[-30，30]，對不同的α進行數(shù)值模擬．

圖1～2分別表示兩核子和兩介子孤立子在不同α值時t∈[0，45]碰撞演化情況.圖1中，在α=2時兩孤立子完全融合在一塊，孤立子振幅增大，當α減弱時，兩孤立子都能彼此通過， 孤立子振幅變小變寬，出現(xiàn)漣漪，孤立子傳輸表現(xiàn)出不穩(wěn)定性，可知當α減弱時兩核子孤立子碰撞減弱，孤立子傳輸表現(xiàn)不穩(wěn)定.在圖2中兩介子孤立子也出現(xiàn)了類似的情況.同時隨著α減弱，兩核子和兩介子碰撞距離離初始位置更遠，孤立子的傳輸都表現(xiàn)為不穩(wěn)定，出現(xiàn)孤立子發(fā)散漣漪現(xiàn)象，這結(jié)論與文獻[10-11]一致.圖3分別給出了分數(shù)階KGS方程中在不同α值時的孤立子數(shù)值解的相對能量誤差隨時間變化圖，誤差為10-12，達到機器精度，誤差可忽略不計.這表明新的保能量格式能精確地保持分數(shù)階KGS方程的離散能量守恒特性．

2.2 三核子與三介子孤立子碰撞

設方程(1)中變量β=1，γ=1，m=1，α1=1，方程(1)孤立子的初值解為：

u0=u(x-p1，0，v1)+u(x-p2，0，v2)+

u(x-p3，0，v3)，

w0=w(x-p1，0，v1)+w(x-p2，0，v2)+

w(x-p3，0，v3)，

φ0=φ(x-p1，0，v1)+φ(x-p2，0，v2)+

φ(x-p3，0，v3)，

選擇參數(shù)p1=-10，p2=5，p3=15，τ=0.01，h=0.3.在區(qū)間x∈[-30，30]，對不同的α和v進行數(shù)值模擬.

圖1 兩核子孤立子|u(x，t)|在α取不同值碰撞的波形圖Fig.1 Colliding waveform diagram of two nucleon solitons |u(x，t)| with different values of α

圖2 介子孤立波φ(x，t)在α不同時碰撞的波形圖Fig.2 Colliding waveform diagram of two meson solitons φ(x，t) with different values of α

圖3 分數(shù)階KGS方程α取不同值時在t∈[0，45]時的相對能量誤差Fig.3 Relative energy error of fractional KGS equations with different values of α

圖4～5分別給出了三個核子孤立子和三個介子孤立子在不同的α和不同的傳播速度v下孤子的傳輸碰撞情況.圖4(a)左邊孤立子與右邊兩孤立子碰撞，第一次碰撞振幅顯著減少，第二次碰撞振幅基本消失.圖4(b)在α=1.3，v3=-0.8時孤立子演化圖，在相同時間內(nèi)只發(fā)生一次碰撞.圖4(b)在α=1.3，v3=0.4時孤立子演化圖，在相同時間內(nèi)又發(fā)生兩次碰撞.可見改變傳播速度v，孤立子的傳輸形狀和方向都發(fā)生了改變.圖6給出了分數(shù)階KGS方程中的孤立子數(shù)值解的相對能量誤差隨時間的變化，誤差為10-12，達到機器精度， 誤差同樣可忽略不計.這表明新的保能量格式能精確地保持方程的離散能量守恒特性．

圖4 核子孤立子|u(x，t)|在α和v不同時碰撞的波形圖Fig.4 Colliding waveform diagram of three nucleon solitons |u(x，t)| with different values of α and v

圖5 介子孤立子φ(x，t)在α和v不同時碰撞的波形圖Fig.5 Colliding waveform diagram of three meson solitons φ(x，t) with different values of α and v

圖6 分數(shù)階KGS方程α和v取不同值時在t∈[0，45]時的相對能量誤差Fig.6 Relative energy error of fractional KGS equations with different values of α and v

3 小結(jié)

本文把分數(shù)階KGS方程通過適當?shù)淖儞Q轉(zhuǎn)化成多辛結(jié)構(gòu)偏微分方程，利用傅里葉擬譜方法和二階平均向量場方法得到了分數(shù)階KGS方程的一個新的整體保能量格式，并數(shù)值求解分數(shù)階KGS方程.進一步分析了α和傳播速度v取不同值時對多個核子與介質(zhì)孤立子碰撞的影響，探討了核子和介子孤立子的演化行為規(guī)律，并得到了新格式能較好地保持能量守恒特性.下一步將研究更一般模型中的核子與介質(zhì)孤立子相互作用演化情況．