手性聲子晶體中拓撲聲傳輸*

耿治國 彭玉桂2) 沈亞西 趙德剛 祝雪豐2)?

1) (華中科技大學物理學院,武漢 430074)

2) (華中科技大學創(chuàng)新研究院,武漢 430074)

拓撲聲學豐富了聲傳輸方式,其拓撲性質為聲波背向散射抑制.作為縱波,聲波不存在“自旋”.前期工作中,攜帶贗自旋的拓撲聲傳輸大多基于拓撲相反轉產生的界面.本文將四個不同結構參數(shù)的空氣腔排列成左手性和右手性原胞.在相反手性聲子晶體界面處,發(fā)現(xiàn)局域化拓撲保護界面態(tài).由于空氣腔中存在聲學共振,亞波長尺寸聲波傳輸?shù)靡詫崿F(xiàn).研究發(fā)現(xiàn),基于手性保護的界面態(tài)有較強的魯棒性,不受空氣腔位置和尺寸改變的影響.手性聲子晶體中,左手性和右手性超胞之間鏡像對稱界面處存在奇對稱和偶對稱聲學模式.因此,利用軟邊界和硬邊界來構建鏡像界面,實現(xiàn)了單個晶體邊緣態(tài)魯棒傳輸.本研究豐富了拓撲聲學,且其亞波長尺寸下魯棒聲傳輸有利于微型化聲學器件的實現(xiàn).

1 引 言

拓撲絕緣體是一種內部絕緣且表面導電的量子物態(tài)[1-3].由于存在拓撲保護,即使引入了各種結構微擾,拓撲態(tài)仍可穩(wěn)定存在.由于樣品易制備且結構參數(shù)易調,經典波體系已成為研究各種拓撲物理的舞臺[4-11].在聲子晶體中,波與周期性結構相互作用會產生聲學禁帶,當帶隙所在頻率對應的波長遠大于晶格常數(shù)時,對應于局域共振誘發(fā)的聲學禁帶[12].亞波長共振結構體出現(xiàn)在很多聲學超材料設計中[13-15].值得注意的是,亞波長結構單元與拓撲人工晶體的結合已成為新的研究熱點,促進了微型化拓撲聲學器件應用[16-22].例如,基于亞波長尺寸復合原胞能帶折疊的拓撲絕緣體已在時間反演對稱性光學[16]和聲學[17]系統(tǒng)中實現(xiàn).這些設計中,拓撲保護主要依賴于復合原胞的幾何結構與對稱性.位置微擾和結構缺陷會降低拓撲傳輸?shù)男?同時,亞波長尺度下拓撲谷態(tài)傳輸在六方晶格排列橡膠-水系統(tǒng)[19]和硅基穿孔板系統(tǒng)中[20,21]分別實現(xiàn).谷態(tài)聲子晶體中拓撲聲傳輸與原胞對稱性和工作頻率都有很大的關系,對結構微擾和頻率變化存在較高的敏感性.這些拓撲聲學設計都基于原胞對稱性破缺.當原胞對稱性降低時,簡并能帶打開從而產生禁帶,并形成非平庸拓撲態(tài).

近來,手性特征模型逐漸出現(xiàn)在人工超材料中,為經典波調控提供新的方案[23-26].同時,手性誘導的非平庸拓撲性質為拓撲人工晶體帶來新的契機.例如,可調性光學拓撲晶體在微波領域得以實現(xiàn),即高度可調性引起的手性改變使得晶體拓撲性質發(fā)生反轉[25].而且,一種手性保護的光學波導在實驗中驗證了其強魯棒性和亞波長傳輸[26].

在聲學系統(tǒng)中,實現(xiàn)亞波長聲波按照既定的路徑局域的傳輸有十分重要的意義,可以克服聲波傳輸易散射的弱點.本文將手性的概念引入聲子晶體,來類比聲學拓撲.具體而言,四個高度不等的空氣腔依次按照逆時針或者順時針方向排列,形成左手性或右手性的正方排列.因此,不同手性的原胞構成的界面自然會產生界面態(tài).亞波長聲波傳輸能夠將能量很好地局域在晶體內部.工作的新穎性在于以高度參數(shù)的傾向來類比手性,將無手性的單個空氣柱排列成有手性的復合原胞.不同于以前對稱性原胞,復合原胞并不存在特殊的點群對稱性.最后,聲學軟、硬邊界替代相反手性晶體組成的鏡像界面,這極大地降低了聲學結構的維度.總之,亞波長和魯棒性的聲學拓撲波導有助于實現(xiàn)聲學器件的小型化和波的無損傳輸.

2 手性原胞設計

本文的系統(tǒng)是一個二維正方晶格聲子晶體.四個不同高度的空氣腔為基本單元構成一個復合原胞,底部的空氣板將分散的空氣腔連通.它形成剛性邊界的空氣共振腔,將聲波局域在其結構內部.如圖1(a)所示,四個圓腔有不同的高度,分別為h1=6 cm,h2=5.5 cm,h3=4.8 cm,h4=4.5 cm,形成一種逆時針的旋轉.圓腔直徑為 2r=1 cm,底板厚度為 d=0.4 cm.我們考慮一種極限情況,即晶格常數(shù) a=4 cm 是原胞內空氣腔間距l(xiāng)=2 cm 的兩倍,使得原胞內空氣腔之間的距離等于原胞間空氣腔之間的距離.圖1(a)右側展示了其俯視的視角,不同顏色代表不同高度,箭頭代表旋轉方向.圖1(b)展示了一個順時針旋向右手性的復合原胞.這里的“左”和“右”僅僅用來區(qū)分兩種傾向,即設定高度改變的方向來區(qū)分原胞手性.在本文,晶體的性質用一組有序的參數(shù){h1,h2,h3,h4}來定義.

圖1 左手性和右手性原胞示意圖 (a)四個共振的空氣柱子組成左手性原胞,其俯視圖表現(xiàn)出逆時針旋向;(b)相同空氣柱排成的右手性原胞,其俯視圖呈現(xiàn)順時針旋向;(c)原胞的體能帶圖有四種聲學模式,左右兩側為不同手性原胞在高對稱點的模式分布Fig.1.Schematics of left- and right-handed unit cells: (a) Left-handed unit cell with four distinct air tubes,the top view of the unit cell shows a counterclockwise variation;(b) right-handed unit cell with the clockwise length variation of air tubes;(c) the bulk band structure with four bulk modes,where the eigenmodes for left-handed and right-handed unit cells are shown at the sides.

為了理解原胞的特征,我們計算其對應的能帶來反映二維的晶體性質.周期性邊界條件施加在原胞對應邊界.圖1(c)展示了右手性原胞能帶.四個通帶(綠色曲線)被禁帶(粉色區(qū)域)分離開來.基于原胞空腔高度的選取,各個禁帶范圍大致相同,由此可以設計不同頻帶范圍的拓撲態(tài).實際上,無論是左手性晶體還是右手性晶體,它們的色散關系是完全相同的,這是因為單個元素對應相同的本征頻率.如果把晶體原胞轉移半個周期來看,每種體分布可以等價地描述為不同的手性.因此,兩種手性晶體擁有相同的頻率范圍,這也是產生界面態(tài)所必需的條件.然后,我們選取布里淵區(qū)M點去分析本征能帶對應的本征場分布,其模式按照頻率從低到高依次命名為 1,2,3,4,對應頻率大小依次為1284,1389,1567,1658 Hz.如圖1(c)所示,能帶左側的聲學模式源于左手性原胞,右側的聲學模式源于右手性原胞.通過本征分布,可以看到每種模式局域在單個空氣柱內,對應一種聲學共振.根據(jù)頻率高低,左側的模式交替呈現(xiàn)逆時針旋向,右側的模式交替呈現(xiàn)順時針旋向.

3 拓撲界面態(tài)和聲波魯棒傳輸

3.1 手性誘導的界面態(tài)

圖2 超胞色散和局域界面態(tài) (a)相反手性原胞構成鏡像對稱界面;(b)帶狀超胞能帶色散,其中五條藍色曲線代表界面態(tài),灰色曲線代表體帶,超胞由六個左手性的原胞和六個右手性的原胞組成,其單極子模式局域在界面處;(c)單極子界面模式對于位置微擾和高度微擾有較強魯棒性Fig.2.Band structures of the interface states: (a) The mirror symmetric interface constructed by oppositely chiral unit cells;(b) the projected band structure of a supercell,the right part shows the supercell slab comprises 6 left-handed and 6 right-handed unit-cells with an even mode (fa1) localized at the interface;(c) the robustness of the even mode against randomly introduced position and height disorders of air tubes.

我們在相反手性原胞組成的界面探究了局域界面態(tài).如圖2(a)所示,相反手性原胞組成一個大的復式共振結構,其包含八個共振元素在邊界處呈兩兩鏡像分布.因此,生成的無手性缺陷“超原子”出現(xiàn)在界面處,如圖2(a)中黑色虛線框所示.這些缺陷元素自然會伴隨著額外的本征模式出現(xiàn).在圖2(a)右側,按照頻率從低到高依次展示了這些界面模式,其中最低頻的模式 fa1呈現(xiàn)單極子對稱分布,而高頻的模式 fa2—a4則呈現(xiàn)偶極子分布.由于單極子共振模式趨向于分布在高度較低的空氣腔界面,我們選取長度較短的 h3和h4靠近界面,這種結構會使得單極子模式穩(wěn)定存在.隨后,界面組合擴展為一維的帶狀結構,六個右手性的原胞和六個左手性的原胞分別位于界面上下側.如圖2(b)所示,我們計算了對應的超胞能帶,其中藍色曲線代表界面態(tài),灰色區(qū)域代表體帶.在 kx=0.7π/a 位置,我們選取四個界面模式,其中第一個模式的場分布在圖2(b)右側.我們發(fā)現(xiàn)聲壓場主要集中在界面位置,并呈現(xiàn)單極子對稱分布,這為拓撲聲波傳輸提供了可能.值得注意的是,圖2(b)右側模態(tài)其波矢值擁有正的群速度值,對應向前的能流移動.我們給出了 fa1模式聲壓本征場的能流分布,其箭頭指向代表正的能流方向,如圖2(b)右側放大的插圖.在第三個禁帶中,fa2模式對應于反對稱的奇模式,fa3模式對應于對稱的偶模式.軟、硬邊界在聲學中起鏡像作用,會等效形成對稱界面結構.對稱界面可由兩種邊界取代.聲學奇偶模式與軟、硬邊界兩側場分布有一致的對稱性[27].因此,鏡像對稱界面會支持奇偶模式同時存在.為了驗證界面態(tài)的魯棒性,在圖2(c),我們引入隨機的位置微擾和高度微擾.鑒于單極子模式良好的抗微擾特性,選取低頻 fa1模式進行分析.通過隨機移動組成缺陷分子的四個空氣腔的位置,來引入位置缺陷.如圖2(c)中黑色框線所示,黑色虛線圓代表標準位置,彩色實體圓代表引入微擾后的位置.位置微擾大小不超過 [0 ,l/2],以黑色虛線圓為中心可超各個方向移動.此外,在圖2(c)底部,隨機高度微擾引入至缺陷的原胞,δ ha,δhb,δhc,δhd表示隨機的高度微擾大小,其幅度不超過高度相近空氣柱的差值,即 h3-h4=0.3 cm.對于在帶狀超胞中引入微擾的情形,由于計算施加的周期性邊界條件,微擾會周期性地重復.不同于圖2(b)所示的無微擾界面,色散關系適用于局域微擾情形.圖2(c)中周期微擾存在時也會有對應界面模式存在,只是超胞色散頻率范圍相比無微擾界面情形會發(fā)生一定改變.對于低頻模式,此改變不會破壞單極子對稱性,聲波依然可以局域傳輸.這些結果表明,手性系統(tǒng)具有較強的抗微擾特性.確切地說,只要保持界面兩側手性,不管位置微擾還是高度微擾都不能破壞局域的界面模式.

3.2 聲波魯棒傳輸

將一維帶狀超胞沿著x(水平)方向擴展,轉換研究二維的傳輸.周期性重復形成的波導界面可允許界面態(tài)沿路徑傳輸.如圖3(a)所示的正方晶格,下側左手性原胞與上側右手性原胞拼接成線性的鏡像界面,形成了不同拓撲性質的體介質.隨后,用COMSOL Multiphysics壓力聲學頻域模塊進行全波模擬,晶體外側設置為完美匹配層吸收邊界.我們選取處在第二個禁帶的頻率1481 Hz來模擬,其模態(tài)對應單極子模式聲場分布.一個平面波入射源放置在晶體左側入口來激發(fā)聲場,如圖3(b)黑色箭頭所示.聲壓場沿著黃色虛線直線傳輸,局域在界面附近,沒有明顯的擴散和反向散射.值得注意的是,在選定的頻率下,聲波波長約為晶格常數(shù)的5.75倍,滿足小尺寸大波長的亞波長要求.由于結構的亞波長特性,傳播的聲場帶有亞波長橫向局域,底部聲場寬度Wl約為0.09λ.對于單極偶對稱的fa1模式,空氣腔體在界面處展現(xiàn)亞波長傳輸效果,產生強的耦合共振.因此,此種單極模式對于局部的位置和高度微擾有很好的免疫效果.隨后,針對同一工作頻率,在圖3(c)和圖3(d)分別在界面設置兩處位置微擾和高度微擾以驗證魯棒性.綠色方框標記微擾的位置.進一步地,圖3(e)給出了對應三種傳輸情形的透射譜圖和統(tǒng)一手性的體態(tài)譜圖.與未加微擾的透射率相比,較大微擾的透射率發(fā)生一定的下降.如果引入足夠多的微擾并且微擾程度引起手性的破環(huán),拓撲傳輸效率就會降低.總之,手性保護的拓撲傳輸可以抑制聲波背向散射,對于一般的結構微擾,界面處可以呈現(xiàn)較高傳輸效率.然而,對于統(tǒng)一手性的晶體,聲波展現(xiàn)較低的界面?zhèn)鬏斝?如圖3(e)綠色虛線所示.最后,沿著同一水平位置的垂直方向,我們提取每個圓腔的聲壓幅值來驗證聲波的邊界局域性,如圖3(b)—(d),青色直線代表選取的路徑,其長度為 11l.通過圖3(f)可知,對于兩種微擾,聲波仍然能束縛在較小橫向寬度范圍.因此,手性波導結構使得聲波受到界面兩側手性保護,表現(xiàn)了魯棒的聲波傳輸.此外,本文共振腔結構突破一般拓撲結構幾何尺寸限制,可實現(xiàn)亞波長傳輸.

圖3 亞波長聲波魯棒傳輸 (a)鏡像界面沿著x方向周期排布成直線波導通道;(b)單極子界面模式沿著波導通道局域傳輸;(c)在引入位置缺陷時,聲波沿直線局域的傳輸沒有明顯的背散射;(d)在引入高度微擾時,聲波沿直線局域的傳輸沒有明顯的背向散射;(e)幾種不同情況下的傳輸效率曲線,黑紅藍色曲線表示界面?zhèn)鬏斖干?綠色曲線表示統(tǒng)一手性晶體中體態(tài)傳輸透射,灰色區(qū)域表示禁帶范圍;(f)沿著橫向路徑的聲壓幅值分布Fig.3.Robust transport of sound in subwavelength scale: (a) The schematic of the mirror interface between two oppositely chiral sonic crystals;(b) the propagation of even interface modes along the waveguide channel without defects;(c) the propagation of even interface modes along the waveguide channel with position variations of air tubes;(d) the propagation of even interface modes along the waveguide channel with length variations of air tubes;(e) acoustic transmission for interface states and bulk states,the gray ribbon marks the band gap from 1407 Hz to 1487 Hz;(f) pressure amplitude distributions in the transverse direction.

4 聲波邊緣傳輸

借助鏡像波導通道來探究聲波邊緣傳輸[27-30].聲學奇模式與聲學軟邊界有著類似的聲壓場和速度場分布,而聲學偶模式與聲學硬邊界有著類似的聲壓場和速度場分布[27].借助于場的對稱性,我們用聲學軟、硬邊界取代鏡像界面.換句話說,當聲學邊界附加在晶體表面時,晶體表面就存在一個虛擬的鏡像,這會將晶體中的界面態(tài)轉化成晶體表面的邊緣態(tài).首先,展示奇偶模式界面?zhèn)鬏?如圖4(a)左側所示,左手性原胞與右手性原胞組成鏡像界面.借助對稱放置的偶極源來激發(fā)奇模式,激發(fā)頻率為 1588 Hz.晶體外側為 PML 吸收型邊界.我們發(fā)現(xiàn)奇模式聲壓場沿著鏡像界面局域傳輸,沒有明顯的背向散射.對于邊緣傳輸,右手性原胞組成單個晶體,底部邊緣的綠條代表聲學軟邊界條件,如圖4(b)左側所示.不同于外側的吸收型邊界,晶體鏡像側為聲學軟邊界條件,如底部綠色箭頭所示.我們發(fā)現(xiàn)聲波能沿著邊緣局域的傳輸,沒有明顯的背向散射.同時,通過界面處單極源的激勵,偶模式聲壓場沿著鏡像界面局域傳輸,如圖4(c)所示.這里激發(fā)頻率為 1628 Hz.隨后,將聲學硬邊界條件施加在晶體表面.圖4(d)底部給出了相同的右手性晶體,而硬邊界條件施加在晶體表面,如底部紅條所示.圖4(d)右側的場圖證實了硬邊界支持的邊緣局域傳輸.晶體底部紅色箭頭表示聲學硬邊界條件施加在對應的邊界,從而用硬邊界替代了左手性晶體.總之,鏡像對稱誘導的聲學邊緣傳輸減小了晶體的空間維度,促進了手性保護聲子晶體的多樣化應用.

圖4 聲波邊緣傳輸 (a)借助偶極源,奇模式聲壓場沿界面局域傳輸;(b)當軟邊界條件施加在截斷的晶體表面時,聲學奇模式沿著邊緣傳輸,綠線標記軟邊界條件;(c)借助單極源,偶模式聲壓場沿界面局域傳輸;(d)當硬邊界條件施加在截斷的晶體表面時,聲學偶模式沿著邊緣傳輸,紅線標記硬邊界條件Fig.4.The robust edge transport of sound: (a) The interface transport of odd modes along the interface with a dipole source;(b) the edge transport of odd modes along the soft boundary denoted by the green line;(c) the interface transport of even modes along the interface with a monopole source;(b) the edge transport of even modes along the right boundary denoted by the red line.

5 結 論

本文提出一種手性的二維聲子晶體.將原胞中的空氣腔按照特定的高度差排列,在聲子晶體中構造出手性結構.堆疊兩種相反手性的原胞,界面處產生一種缺陷的原胞,使得在聲學禁帶中產生額外的界面模式.通過擴展帶狀超胞結構,構造出鏡像對稱拓撲界面.這種受界面兩側手性保護的波導使得聲波亞波長魯棒傳輸,對位置和高度等擾動因素所引起的背向散射都有很好的抑制作用.同時,受鏡像對稱的啟發(fā),用聲學軟、硬邊界來替代鏡像界面,使聲學邊界起到單晶體的虛擬鏡像的作用.不同于原胞對稱性破缺系統(tǒng),手性聲子晶體豐富了拓撲聲學的內容.而且,波導界面的亞波長傳輸和表面的邊緣傳輸不僅支撐了手性結構的多樣化應用,也促進了聲學器件小型化應用.然而,由于本文波導傳輸需要保證界面鏡像對稱,90°彎曲路徑不支持鏡像對稱,從而不能實現(xiàn)界面?zhèn)鬏?下一步,我們將研究彎曲路徑聲波傳輸效果,使其更好地服務于實際應用.