高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體簡(jiǎn)介

嚴(yán)忠波

(中山大學(xué)物理學(xué)院,廣州 510275)

近期,高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的概念激發(fā)了廣泛關(guān)注和研究興趣.由于新的體-邊對(duì)應(yīng)關(guān)系,在同一維度高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的邊界態(tài)的維度要低于一階(或稱傳統(tǒng))拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體的邊界態(tài).本文闡述了高階拓?fù)湮飸B(tài)和一階拓?fù)湮飸B(tài)的聯(lián)系.具體展示了在同一維度上如何利用對(duì)稱性的破缺從一階拓?fù)湮飸B(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦唠A拓?fù)湮飸B(tài),以及如何利用低維的一階拓?fù)湮飸B(tài)構(gòu)造高維的高階拓?fù)湮飸B(tài);回顧了高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的研究進(jìn)展.通過(guò)對(duì)近期的研究進(jìn)展的回顧,可以看出這一新興領(lǐng)域雖然研究進(jìn)展迅速,但對(duì)電子型的高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的性質(zhì)的理論研究和實(shí)驗(yàn)研究均處在非常初級(jí)的階段,要對(duì)這一新興領(lǐng)域有更深更全面的理解認(rèn)識(shí)還有待更多的研究投入.

1 引 言

尋找和理解新奇的物態(tài)并對(duì)它們進(jìn)行分類是凝聚態(tài)物理發(fā)展的核心方向之一.在二十世紀(jì),對(duì)物態(tài)的認(rèn)識(shí)和理解的一大重要成就是朗道的相與相變理論.根據(jù)此理論,不同的物相由不同的局域序參數(shù)刻畫,而不同的序參數(shù)對(duì)應(yīng)著不同的對(duì)稱性破缺.此理論的廣泛適用性在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)讓物理學(xué)家以為所有的物態(tài)均可以由局域的序參數(shù)刻畫,而不同物態(tài)間的相變對(duì)應(yīng)著不同的對(duì)稱性破缺.然而,隨著二維Kosterlitz-Thoulss相變理論[1]的提出和強(qiáng)磁場(chǎng)下二維電子氣中的整數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)[2,3],大家逐漸認(rèn)識(shí)到存在新的物態(tài),且對(duì)這些物態(tài)的描述超越了朗道的相與相變理論[4].此類新的物態(tài)即所謂的拓?fù)湮飸B(tài).與對(duì)稱破缺有序相不同(如鐵磁相),拓?fù)湮飸B(tài)無(wú)法由局域的序參數(shù)完美刻畫,而需要利用數(shù)學(xué)中的拓?fù)洳蛔兞康母拍?拓?fù)洳蛔兞靠坍嫷氖欠忾]流形的全局性質(zhì),它最重要的特征是它只能取離散的數(shù)值而不能連續(xù)變化.這意味著只要流形的幾何沒(méi)有發(fā)生突變,如空洞的數(shù)目,那么即使流形的幾何性質(zhì)在局域上發(fā)生了變化,拓?fù)洳蛔兞恳膊粫?huì)發(fā)生改變.反映在物理上,這對(duì)應(yīng)拓?fù)湮飸B(tài)存在非常穩(wěn)定的物理性質(zhì).在這方面最具代表性的例子是二維整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[2,5].根據(jù)半經(jīng)典理論,二維電子氣的霍爾電阻應(yīng)隨著磁場(chǎng)線性增加,然而在實(shí)驗(yàn)上卻觀察到一系列的平臺(tái)[2].在低溫下這些平臺(tái)是如此地不依賴于樣品的細(xì)節(jié),以至于現(xiàn)在它們被作為電阻的標(biāo)準(zhǔn)單位[6].

拓?fù)湮飸B(tài)的發(fā)現(xiàn)激發(fā)了廣泛的關(guān)注和研究.這一方面是由于發(fā)現(xiàn)拓?fù)湮飸B(tài)具有非常豐富的物理,如分?jǐn)?shù)化現(xiàn)象,分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)等[7];另一方面則是由于拓?fù)湮飸B(tài)呈現(xiàn)出誘人的應(yīng)用前景.在對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)的研究中,人們發(fā)現(xiàn)拓?fù)湮飸B(tài)存在一個(gè)普遍的特征,即所謂的“體-邊對(duì)應(yīng)”.它指如果刻畫“體”的拓?fù)洳蛔兞糠瞧椒?那么在邊界上將存在無(wú)能隙模式.由于受拓?fù)浔Ｗo(hù),這些無(wú)能隙模式具有無(wú)耗散或者低耗散的特征,因而一個(gè)直接的應(yīng)用就是電子器件.整數(shù)量子霍爾效應(yīng)呈現(xiàn)的霍爾平臺(tái)即是由于邊界上存在無(wú)能隙的手征模式.這些手征模式由于無(wú)法被向后散射,因而它們的傳輸沒(méi)有耗散,是理想的導(dǎo)電通道.

繼整數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)發(fā)現(xiàn)之后,拓?fù)湮飸B(tài)研究的一個(gè)重要突破來(lái)自于二維量子自旋霍爾效應(yīng)(又稱為二維拓?fù)浣^緣體)的理論預(yù)言[8-11]和實(shí)驗(yàn)證實(shí)[12].二維量子自旋霍爾效應(yīng)是全新的拓?fù)湮飸B(tài).由于具有時(shí)間反演對(duì)稱性,它對(duì)應(yīng)的無(wú)能隙邊界態(tài)總是成對(duì)出現(xiàn),且每一對(duì)的兩支模式總是沿著相反方向傳輸[8-11],非常不同于整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的手征邊界態(tài).二維量子自旋霍爾效應(yīng)開啟了拓?fù)淠軒Ю碚摰难芯?根據(jù)能帶理論,二維的量子自旋霍爾效應(yīng)很快被推廣到三維,產(chǎn)生了三維拓?fù)浣^緣體的概念[13-15].理論研究發(fā)現(xiàn)在只要求時(shí)間反演對(duì)稱性的條件下,二維和三維拓?fù)浣^緣體能帶的拓?fù)湫再|(zhì)均可以用Z2不變量刻畫[9,13-15],這也和整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的整數(shù)分類完全不同.另外,在對(duì)二維拓?fù)浣^緣體的研究中,已認(rèn)識(shí)到能帶反轉(zhuǎn)和自旋軌道耦合對(duì)實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣^緣體的重要性[11].能帶反轉(zhuǎn)提供了一個(gè)判斷真實(shí)材料是否為拓?fù)浣^緣體的簡(jiǎn)單判據(jù).在拓?fù)洳牧系念A(yù)言和實(shí)驗(yàn)探測(cè)上,這一簡(jiǎn)單的判據(jù)起到了非常重要的指導(dǎo)作用.

由于在哈密頓量的描述形式上,絕緣體和超導(dǎo)體并無(wú)差異,因此在拓?fù)浣^緣體的概念出現(xiàn)之后,拓?fù)涑瑢?dǎo)體的概念也隨之被提出.相似地,當(dāng)超導(dǎo)體具有非平凡的拓?fù)湫再|(zhì)時(shí),它的邊界上也將存在無(wú)能隙模式.不過(guò),一個(gè)重要的區(qū)別是拓?fù)浣^緣體的邊界態(tài)是帶電的,而拓?fù)涑瑢?dǎo)體的邊界態(tài)是電中性的.這一區(qū)別具有重要的物理后果.在對(duì)一維的p-波超導(dǎo)體的研究中,Kitaev[16]發(fā)現(xiàn)當(dāng)超導(dǎo)體處于拓?fù)湎鄷r(shí),其每一端均存在一個(gè)穩(wěn)定的Majorana零模,即反粒子是自身的模式.由于兩個(gè)Majorana零模等價(jià)于一個(gè)狄拉克費(fèi)米子,而一個(gè)狄拉克費(fèi)米子的占據(jù)和非占據(jù)兩種狀態(tài)可以構(gòu)建一個(gè)量子比特,這意味著一個(gè)量子比特的信息可以存儲(chǔ)在兩個(gè)分隔很遠(yuǎn)的Majorana零模上.這種非局域的信息存儲(chǔ)方式可以保證信息能夠?qū)弓h(huán)境的噪聲.另外,研究發(fā)現(xiàn)Majorana零模具有非阿貝爾的統(tǒng)計(jì)[17].當(dāng)存在多個(gè)Majorana零模時(shí),對(duì)它們進(jìn)行編織操作等效于對(duì)量子比特做邏輯門操作,因而可用于拓?fù)淞孔佑?jì)算[18-20].正是由于在拓?fù)淞孔佑?jì)算方面的潛在應(yīng)用,近年來(lái)實(shí)現(xiàn)拓?fù)涑瑢?dǎo)體和探測(cè)其中的Majorana零模一直是凝聚態(tài)領(lǐng)域最活躍的研究方向之一[21-24].

由于哈密頓量形式上的相似,拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體可以放在同一框架下進(jìn)行分類.早期的拓?fù)浞诸愂歉鶕?jù)哈密頓量是否具有時(shí)間反演對(duì)稱性、粒子-空穴對(duì)稱性和手征對(duì)稱性(或子格對(duì)稱性)[25,26].根據(jù)這三個(gè)對(duì)稱性,一共存在十個(gè)對(duì)稱類[25,26].在任意維度,十個(gè)對(duì)稱類中有五個(gè)對(duì)稱類允許存在非平凡的拓?fù)湎?后來(lái)晶體對(duì)稱性的重要性被認(rèn)識(shí)到,相應(yīng)地產(chǎn)生了拓?fù)渚w絕緣體和拓?fù)渚w超導(dǎo)體的概念[27].由于晶體對(duì)稱性的豐富,拓?fù)湮飸B(tài)的種類相應(yīng)地也變得非常豐富.在最新的研究中,人們發(fā)現(xiàn)已知的幾萬(wàn)種材料中有超過(guò)百分之二十是拓?fù)浞瞧椒驳牟牧蟍28-30],展現(xiàn)出拓?fù)湮飸B(tài)的普遍.

近年來(lái)對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)的研究進(jìn)一步產(chǎn)生了高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的概念[31-35].高階拓?fù)湮飸B(tài)的“高階”體現(xiàn)在其體-邊對(duì)應(yīng)關(guān)系上.對(duì)d維的傳統(tǒng)拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體,我們知道其具有(d-1)維的無(wú)能隙邊界態(tài)[21,36].如三維的拓?fù)浣^緣體具有二維的狄拉克表面態(tài),二維的拓?fù)浣^緣體具有一維的螺旋邊界態(tài).而對(duì)一個(gè)d維的n階拓?fù)湮飸B(tài),其具有(d-n)維的無(wú)能隙邊界態(tài),其中1≤n≤d,如圖1 所示.例如,二維二階拓?fù)浣^緣體具有零維的邊界態(tài),而三維二階拓?fù)浣^緣體具有一維的無(wú)能隙邊界態(tài).根據(jù)這個(gè)定義,傳統(tǒng)的拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體也被稱為一階拓?fù)浣^緣體和一階拓?fù)涑瑢?dǎo)體.

由于高階拓?fù)湮飸B(tài)新的體-邊對(duì)應(yīng)關(guān)系允許無(wú)能隙邊界態(tài)以新的方式出現(xiàn),高階拓?fù)湮飸B(tài)的概念出現(xiàn)之后即吸引了廣泛的注意,并在理論和實(shí)驗(yàn)兩方面都迅速取得進(jìn)展.不過(guò),對(duì)高階拓?fù)湮飸B(tài)的研究目前還處在比較初級(jí)的階段.本文的目的即是回顧高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體截至目前的研究進(jìn)展,希望能對(duì)此前沿方向尚無(wú)深入了解的讀者有所幫助.本文第2節(jié)分析一階拓?fù)湮飸B(tài)和高階拓?fù)湮飸B(tài)的聯(lián)系;第3節(jié)回顧高階拓?fù)浣^緣體的研究進(jìn)展;第4節(jié)回顧高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的研究進(jìn)展;第5節(jié)給出總結(jié)和展望.受限于作者的個(gè)人能力和偏好,此綜述不可避免地會(huì)遺漏掉對(duì)一些重要的研究工作的介紹和引用.讀者如果想獲得更全面的認(rèn)識(shí),可參閱參考文獻(xiàn)和其中相關(guān)的文獻(xiàn).

圖1 拓?fù)湮飸B(tài)的邊界態(tài)示意圖 n=1 的行對(duì)應(yīng)傳統(tǒng)的拓?fù)湮飸B(tài),其具有比系統(tǒng)維度低一維的無(wú)能隙邊界態(tài);n≥2的行對(duì)應(yīng)高階拓?fù)湮飸B(tài),其具有比維度低n維的無(wú)能隙邊界態(tài)Fig.1.A schematic diagram of the boundary modes of topological matter.The line with n=1 corresponds to conventional topological matters which host gapless modes whose dimensions are one-dimensional lower than the system dimension.The lines with n ≥2 correspond to higherorder topological matters which host gapless modes whose dimensions are n-dimensional lower than the system dimension.

2 一階拓?fù)湮飸B(tài)到高階拓?fù)湮飸B(tài)

2.1 一階拓?fù)浣^緣體的體-邊對(duì)應(yīng)

為了方便理解高階拓?fù)湮飸B(tài)與一階拓?fù)湮飸B(tài)的聯(lián)系,先簡(jiǎn)單回顧一下一階拓?fù)湮飸B(tài)的體-邊對(duì)應(yīng).以 Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ)模型為例[11],先考慮格點(diǎn)哈密頓量:

其中,σx,y,z和sx,y,z為泡利矩陣,分別作用在子能帶(subbands)自由度和自旋自由度上;為了簡(jiǎn)化表達(dá)式,晶格長(zhǎng)度在本文中將自始至終設(shè)置為1;A,B和M 為常數(shù).不失一般性,我們考慮 A和B均為正數(shù).刻畫此哈密頓量的 Z2不變量[37]具有下面的形式:

其中 Γi表示布里淵區(qū)中的時(shí)間反演不變動(dòng)量點(diǎn),即(0,0),(0 ,π),(π ,0) 和 (π ,π) ;ξΓi表示在 Γi處占據(jù)態(tài)的 宇 稱.從 Z2不變量的表達(dá)式可以看出,當(dāng)0＜M＜8B 且 M =4B 時(shí),v=1,對(duì)應(yīng)拓?fù)湎?而當(dāng) M ＜0 或 M ＞8B 時(shí),均對(duì)應(yīng)平凡相.我們?cè)谝灾刑峒?當(dāng)系統(tǒng)處于拓?fù)湎鄷r(shí),由于體-邊對(duì)應(yīng),將存在穩(wěn)定的無(wú)能隙邊界態(tài).而當(dāng)系統(tǒng)處于平凡相時(shí),不存在穩(wěn)定的無(wú)能隙邊緣態(tài).為了直觀地看出這一點(diǎn),我們現(xiàn)在考慮 M →0 的情況,此時(shí)導(dǎo)帶與價(jià)帶的能隙極小值出現(xiàn)在高對(duì)稱動(dòng)量點(diǎn) (0 ,0) 處.圍繞此動(dòng)量點(diǎn)做低能展開到動(dòng)量的二階,我們得到連續(xù)哈密頓量

接下來(lái)我們考慮半無(wú)限系統(tǒng).具體地,我們考慮系統(tǒng)占據(jù)整個(gè)x≥0區(qū)域.由于沿著x方向的平移對(duì)稱性被破壞,kx需要替換為- i?x,相應(yīng)地,(3)式變?yōu)?/p>

Hp當(dāng)作為微擾.在這里為了進(jìn)一步地簡(jiǎn)化分析,忽略掉了不重要的項(xiàng).對(duì)局域在 x=0 附近的邊界態(tài),其波函數(shù)應(yīng)滿足邊界條件ψ(x=0)=ψ(x=+∞)=0.在此邊界條件下,解本征方程H0(-i?x)ψ(x)=Eψ(x)可發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)零能量解:

簡(jiǎn)單計(jì)算可發(fā)現(xiàn)

此哈密頓量反映在邊界上存在一對(duì)相向傳輸、自旋相反的無(wú)能隙模式,即所謂的螺旋模式(helical modes).

2.2 同維度一階拓?fù)浣^緣體到高階拓?fù)浣^緣體

根據(jù)(8)式,可以發(fā)現(xiàn)要保持邊界態(tài)的無(wú)能隙特征,需要保證時(shí)間反演對(duì)稱性不被破壞和沒(méi)有超導(dǎo)關(guān)聯(lián).我們先考慮單純地破壞時(shí)間反演對(duì)稱性.具體地,考慮如下的模型:

此模型和BHZ模型相比只是多了第三行的項(xiàng).根據(jù)自旋1/2系統(tǒng)的時(shí)間反演算符 T=isyK (K表示復(fù)共軛操作),容易看出 Λ (coskx-cosky)σxsx這一項(xiàng)破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性.由于新引入的這一項(xiàng)和BHZ模型原有的所有項(xiàng)均反對(duì)易,這保證了只要BHZ模型描述一個(gè)絕緣體,此模型的能譜就一定具有非零能隙.

為了解析地看出這一項(xiàng)對(duì)邊界態(tài)的影響,我們?nèi)匀豢紤] M →0 的情況,然后圍繞高對(duì)稱動(dòng)量點(diǎn)(0,0)做低能展開到動(dòng)量的二階,得到連續(xù)模型

采用和先前求解BHZ模型的邊界態(tài)相似的步驟: 考慮系統(tǒng)占據(jù) x ≥0 的半無(wú)限區(qū)域,并把哈密頓量分解成兩部分,H(-i?x,ky)=H0(-i?x)+Hp(-i?x,ky),其中

計(jì)算可得

要看出(9)式中的哈密頓量實(shí)質(zhì)上實(shí)現(xiàn)了一個(gè)二階拓?fù)浣^緣體,我們?cè)趚和y方向上同時(shí)取開邊界條件.此時(shí)存在四條邊,邊與邊兩兩相交形成一個(gè)角(如圖1中的 d=2 列所示).為了討論的方便,我們把最左端的邊界記為I,然后沿著逆時(shí)針?lè)较蛞来螛?biāo)記另外三條邊界為 II,III,IV.邊界I上的有效哈密頓量的形式我們已經(jīng)知道,即(13)式.相似的分析我們可以得到另外三條邊界上的有效哈密頓量[38],分別為

x和y方向上同時(shí)取開邊界條件時(shí)kx和ky均不再是好量子數(shù).我們引入一個(gè)邊界坐標(biāo)?,它刻畫此處的一維邊界,其正方向約定為沿逆時(shí)針?lè)较?由于一維邊界是封閉的,因此?的定義隱含了?+2Lx+2Ly=?,其中Lx和Ly分別表示系統(tǒng)沿著x和y方向的尺寸.利用邊界坐標(biāo),四個(gè)邊界上的有效哈密頓量可以統(tǒng)一地寫為

其中A(?)=A,而m(?)在I,II,III,IV四個(gè)邊界上的取值分別為-ΛM/2B,ΛM/2B,-ΛM/2B,ΛM/2B.由此可以看出,在角的地方A(?)保持不變,而m(?)的符號(hào)將發(fā)生改變.這意味著在角的地方正好形成了一個(gè)狄拉克質(zhì)量的疇壁.根據(jù)Jackiw-Rebbi理論[39],這樣的疇壁將束縛一個(gè)零維的零能量束縛態(tài).由于四個(gè)角都形成了疇壁,因此一共存在四個(gè)零能量束縛態(tài).由于這些零能量束縛態(tài)存在于系統(tǒng)的角上,因此它們也被稱為角模(corner modes).

利用邊界態(tài)理論,可以清晰地看出如何從一階拓?fù)湮飸B(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦唠A拓?fù)湮飸B(tài).簡(jiǎn)言之,如果從一個(gè)d維的一階拓?fù)湮飸B(tài)出發(fā),要實(shí)現(xiàn)一個(gè)d維的高階拓?fù)湮飸B(tài),首先需要破壞保護(hù)一階拓?fù)湮飸B(tài)無(wú)能隙邊界態(tài)的對(duì)稱性,如保護(hù)一階拓?fù)浣^緣體的時(shí)間反演對(duì)稱性;其次,破壞對(duì)稱性的方式需要具有各向異性的特點(diǎn).

雖然利用邊界態(tài)理論時(shí)為了分析上的簡(jiǎn)單,我們假設(shè)了新引入的項(xiàng)可以當(dāng)作微擾,但這并不意味著上面的圖像和結(jié)論只有當(dāng)Λ很小時(shí)成立.為了顯示這一事實(shí),直接根據(jù)(9)式中的格點(diǎn)哈密頓量數(shù)值計(jì)算Λ項(xiàng)對(duì)邊界態(tài)的影響.計(jì)算結(jié)果確定了即使Λ項(xiàng)不能當(dāng)作微擾,上述的圖像依然成立,如圖2所示.

由于超導(dǎo)體和絕緣體在哈密頓量描述上的相似,上面對(duì)絕緣體的分析可以自然地推廣到超導(dǎo)體,在此不再贅述.

圖2 從一階拓?fù)浣^緣體到二階拓?fù)浣^緣體 (a) 沿 x 方向取開放邊界條件 (Lx=100 ),沿 y 方向取周期邊界條件,參數(shù)為M=B=A=1,Λ=0,對(duì)應(yīng)BHZ模型,能譜反映出無(wú)能隙邊界態(tài)的存在;(b) 插圖中紅點(diǎn)對(duì)應(yīng)的能量本征態(tài)的波函數(shù)分布,參數(shù)同(a),但沿x和y兩個(gè)方向均取開放邊界條件;紅色的深淺對(duì)應(yīng)波函數(shù)分布概率的大小,可以看出對(duì)一階拓?fù)浣^緣體,波函數(shù)分布在整個(gè)邊界上;(c) 邊界條件和參數(shù)同(a),除了此處 Λ=0.5,可看出 Λ項(xiàng)的出現(xiàn)讓邊界態(tài)打開了能隙;(d) 零模的波函數(shù)分布,參數(shù)同(c),但沿x和y兩個(gè)方向均取開放邊界條件;從插圖中可發(fā)現(xiàn)存在四個(gè)零模,這四個(gè)零模的波函數(shù)局域在四個(gè)角上Fig.2.From first-order topological insulator to second-order topological insulator.(a) Energy spectra for a sample with open boundary condition in the x direction (the system size Lx=100 ) and periodic boundary condition in the y direction.Parameters are M=B=A=1,Λ=0,which corresponds to the original BHZ model.The energy spectra reflect the existence of gapless boundary modes.(b) the density profile of a boundary mode.The parameters are the same as in (a),but now open boundary conditions are taken both in the x and y directions.One can see that the density profile of the boundary mode distributes over the whole boundary.(c) the boundary conditions and parameters are the same as in (a),except now Λ=0.5.One can see that the presence of the Λ term opens a gap for the boundary modes.(d) the density profiles of zero modes.The parameters are the same as in (c),but now open boundary conditions are taken both in the x and y directions.One can see that there are four zero-energy modes in the inset.Their wave functions are found to be localized around the corners.

2.3 低維一階拓?fù)湮飸B(tài)到高維高階拓?fù)湮飸B(tài)

上一節(jié)中利用邊界態(tài)理論和數(shù)值計(jì)算展示了當(dāng)以恰當(dāng)?shù)姆绞酱蜷_邊界態(tài)的能隙時(shí),可以從一階拓?fù)湮飸B(tài)轉(zhuǎn)變到高階拓?fù)湮飸B(tài).對(duì)這種情況,一階拓?fù)湮飸B(tài)和高階拓?fù)湮飸B(tài)處于同一維度.本節(jié)介紹另一種實(shí)現(xiàn)高階拓?fù)湮飸B(tài)的方式: 利用低維一階拓?fù)湮飸B(tài)實(shí)現(xiàn)高維高階拓?fù)湮飸B(tài).簡(jiǎn)單起見,以一維的 Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型為例[40].SSH模型的哈密頓量為

圖3 從一維一階拓?fù)浣^緣體到二維二階拓?fù)浣^緣體(a) 一維SSH鏈的示意圖;(b) 利用一維SSH鏈構(gòu)造二維二階拓?fù)浣^緣體,每個(gè)單位元胞中有一個(gè) π 磁通Fig.3.Constructing two-dimensional second-order topological insulator by using one-dimensional topological insulator: (a) A schematic diagram of the SSH chain;(b) using the one-dimensional SSH chains to construct a two-dimensional second-order topological insulator,within each small square,there is a π-flux.

其中 τx,y,z也為泡利矩陣,其作用在鏈自由度上;τ0和σ0為 相應(yīng)的2 × 2單位矩陣,因此最后一項(xiàng)的物理意義為一勢(shì)能.如果 δ=0,此哈密頓量具有手征對(duì)稱性,相應(yīng)的手征算符為 σzτz.由于此哈密頓量的前四項(xiàng)均反對(duì)易,簡(jiǎn)單分析可知只要和不同時(shí)滿足,此哈密頓量的能譜都存在能隙,即描述一個(gè)絕緣體.為了簡(jiǎn)單地顯示此哈密頓量可實(shí)現(xiàn)二階拓?fù)湎?考慮一個(gè)極限情況,即tx=ty=0.根據(jù)圖3(b),可發(fā)現(xiàn)此時(shí)四個(gè)角上的格子和其他的格子沒(méi)有耦合,因而它們將束縛一個(gè)局域模式.當(dāng) δ=0 時(shí),由于具有手征對(duì)稱性,此局域模式的能量將釘扎在零上,即存在零能量的角模.當(dāng) δ =0 時(shí),由于 δ σ0τ0項(xiàng)的效應(yīng)是能量平移,所以角模仍然存在,只是能量不再釘扎在零上,但對(duì)此模型仍然處在能隙之中.如果 δ 在邊界上呈現(xiàn)一定強(qiáng)度的無(wú)序性,角模的能量也可以出現(xiàn)在能隙之外.

對(duì)更一般的參數(shù)情況,此哈密頓量的拓?fù)湫再|(zhì)可以利用嵌套威爾遜圈(nested Wilson loop)[31,35]或者直接在實(shí)空間里對(duì)角化哈密頓量分析,結(jié)果是只要同時(shí)滿足,即存在角模,對(duì)應(yīng)二階拓?fù)浣^緣體;而當(dāng)不再存在角模,對(duì)應(yīng)平凡絕緣體.

這種利用低維拓?fù)湮飸B(tài)構(gòu)造高維拓?fù)湮飸B(tài)的方案通常稱為線構(gòu)造(wire construction)或者面構(gòu)造(layer construction).這種方法在構(gòu)造高階拓?fù)湮飸B(tài)的模型上非常有用[33,41].

3 高階拓?fù)浣^緣體

接下來(lái)我們回顧一下高階拓?fù)浣^緣體的研究進(jìn)展.在2.2節(jié)中,我們展示了如果引入合適的破壞時(shí)間反演對(duì)稱性的項(xiàng),那么一階拓?fù)浣^緣體可以轉(zhuǎn)變?yōu)楦唠A拓?fù)浣^緣體.在 2012年,Sitte 等[42]發(fā)現(xiàn)對(duì)三維拓?fù)浣^緣體施加外磁場(chǎng),如果磁場(chǎng)不沿著晶體的主軸方向,那么磁場(chǎng)在破壞二維無(wú)能隙的狄拉克表面態(tài)的同時(shí),會(huì)在晶體的棱上保留一支一維的手征無(wú)能隙模式.這意味著加外磁場(chǎng)可以讓三維的一階拓?fù)浣^緣體轉(zhuǎn)變?yōu)槿S的二階拓?fù)浣^緣體.類似地,Zhang等[43]發(fā)現(xiàn)如果一階拓?fù)浣^緣體的表面發(fā)生磁化,也可以讓二維的狄拉克表面態(tài)打開能隙,而只在晶體的棱上保留一維的手征無(wú)能隙模式.回頭來(lái)看,這兩個(gè)研究工作中實(shí)現(xiàn)的物態(tài)都屬于二階拓?fù)浣^緣體,不過(guò)高階拓?fù)浣^緣體的概念在此未被提及.

2016年,Benalcazar,Bernevig 和 Hughes提出了量子多極矩絕緣體的概念[31].(18)式即是他們提出的實(shí)現(xiàn)量子四極矩絕緣體(屬于二維二階拓?fù)浣^緣體)的模型.量子四極矩絕緣體的偶極矩為零,但具有量子化的四極矩,這要求四個(gè)角上交錯(cuò)分布正負(fù)e/2的電荷.另外,他們還提出量子八極矩絕緣體(屬于三維三階拓?fù)浣^緣體)的概念.量子八極矩絕緣體的偶極矩和四極矩均為零,但具有量子化的八極矩.由于量子化的物理量在凝聚態(tài)領(lǐng)域總是備受關(guān)注,這篇文章迅速吸引了廣泛的關(guān)注.

2017年,Schindler等[32]提出了一個(gè)新的實(shí)現(xiàn)三維二階拓?fù)浣^緣體的模型,即在實(shí)現(xiàn)三維拓?fù)浣^緣體的模型基礎(chǔ)上引入同時(shí)破壞四度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和時(shí)間反演對(duì)稱性、但保持它們的組合對(duì)稱性的項(xiàng)(如(9)式中的Λ項(xiàng)).這篇文章的標(biāo)題里正式出現(xiàn)了高階拓?fù)浣^緣體的概念.這篇文章也預(yù)言了幾種電子材料為具有時(shí)間反演對(duì)稱性的二階拓?fù)浣^緣體,如 SnTe 和 BiSe.幾乎同時(shí),其他兩個(gè)研究組研究了其他對(duì)稱性的情況[33,34],而Benalcazar等[35]對(duì)量子多極矩絕緣體的性質(zhì)給出了更系統(tǒng)的研究.隨后,對(duì)高階拓?fù)湮飸B(tài)的理論研究工作迅速增長(zhǎng)[44-53].

高階拓?fù)浣^緣體的實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)展也非常迅速.(9)式中的二維模型很快在超材料和電路中實(shí)現(xiàn),角模也相應(yīng)地被觀察到[54-56].以微波共鳴器的實(shí)驗(yàn)為例[54],實(shí)驗(yàn)上利用四個(gè)相同的共鳴器組成一個(gè)元胞,這樣就如圖3(b)所示一個(gè)元胞中等效地存在四個(gè)子格.然后共鳴器間的耦合也可以調(diào)節(jié)成圖3(b)所示的結(jié)構(gòu).再利用人造磁場(chǎng)產(chǎn)生 π 磁通,即實(shí)現(xiàn)了(9)式中的二階拓?fù)浣^緣體模型.相應(yīng)地,角模的存在與否可以簡(jiǎn)單地通過(guò)吸收譜來(lái)反映.

(9)式中的二維模型對(duì)應(yīng)的晶格是四方晶格.高階拓?fù)浣^緣體自然也可以在其他晶格上實(shí)現(xiàn),比如kagome晶格[47,56,57].在此類晶格上實(shí)現(xiàn)高階拓?fù)湮飸B(tài)的一個(gè)優(yōu)勢(shì)是不需要 π 磁通,但機(jī)理仍然可以理解為是對(duì)一維SSH模型的推廣.由于SSH模型本身的邊界態(tài)實(shí)質(zhì)上非常依賴于兩端的子格類型,因而此類方案實(shí)現(xiàn)的高階拓?fù)浣^緣相的邊界態(tài)本質(zhì)上非常依賴于邊界的構(gòu)型,這種邊界依賴性已在實(shí)驗(yàn)上觀察到[56].

到目前為止,高階拓?fù)浣^緣相已經(jīng)在多種聲學(xué)和光學(xué)超材料中實(shí)現(xiàn)[54-63].相較而言,電子型高階拓?fù)浣^緣體材料目前的實(shí)驗(yàn)研究還非常之少.這一方面是目前預(yù)言的材料還相對(duì)較少[64-69],另一方面是電子型材料的生長(zhǎng)以及拓?fù)湫再|(zhì)的確定在實(shí)驗(yàn)上也要困難很多.目前,實(shí)驗(yàn)上報(bào)道的高階拓?fù)浣^緣體材料還只有鉍[64]和人工設(shè)計(jì)的電子材料[70].其中,在三維的鉍的棱上利用掃描隧道顯微鏡和約瑟夫森干涉發(fā)現(xiàn)存在一維的螺旋型無(wú)能隙模式,表明此材料為具有時(shí)間反演對(duì)稱性的二階拓?fù)浣^緣體[64].我們知道電子型的材料的一個(gè)獨(dú)特特征是具有多種多樣的相互作用.由于維度的變化對(duì)相互作用的影響非常之大,可以預(yù)見電子型的高階拓?fù)浣^緣體的邊界態(tài)將呈現(xiàn)諸多獨(dú)特的性質(zhì).因此,尋找更多的電子型高階拓?fù)浣^緣體材料以進(jìn)行更深入的實(shí)驗(yàn)和理論研究具有重要的意義.

4 高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體

高階拓?fù)浣^緣體的概念被提出后,高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的概念也順其自然地被提出.根據(jù)拓?fù)浣^緣體的經(jīng)驗(yàn),我們知道對(duì)具有時(shí)間反演對(duì)稱性的拓?fù)涑瑢?dǎo)體施加外磁場(chǎng)以破壞對(duì)稱性也可實(shí)現(xiàn)二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體[34,71].從模型的角度考慮,最簡(jiǎn)單的具有時(shí)間反演對(duì)稱性的拓?fù)涑瑢?dǎo)體是考慮自旋的p-波超導(dǎo)體[72].然而由于目前實(shí)驗(yàn)上還沒(méi)有確定的p-波超導(dǎo)體,這個(gè)方案很難在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)和研究.

為了避開先實(shí)現(xiàn)具有時(shí)間反演對(duì)稱性的拓?fù)涑瑢?dǎo)體這一苛刻要求,本文作者和合作者提出一個(gè)新的實(shí)現(xiàn)方案: 在高溫超導(dǎo)體上生長(zhǎng)二維一階拓?fù)浣^緣體[38].我們?cè)谇懊嬖峒耙３侄S一階拓?fù)浣^緣體的無(wú)能隙邊界態(tài),需要保持時(shí)間反演對(duì)稱性不被破壞和沒(méi)有超導(dǎo)關(guān)聯(lián).當(dāng)二維一階拓?fù)浣^緣體生長(zhǎng)在高溫超導(dǎo)體上時(shí),由于超導(dǎo)近鄰效應(yīng),無(wú)能隙邊界態(tài)會(huì)由于超導(dǎo)配對(duì)而打開能隙.具體地,如果考慮高溫超導(dǎo)體的超導(dǎo)配對(duì)形式為d波(如利用銅基超導(dǎo)體),那么這個(gè)異質(zhì)結(jié)構(gòu)可以由如下的哈密頓量描述[38],

其中最后一項(xiàng)表示 d-波超導(dǎo)配對(duì).可以發(fā)現(xiàn)(19)式和(9)式在形式上很像,利用邊界態(tài)理論可發(fā)現(xiàn)當(dāng)沿著x和y方向均取開邊界條件時(shí),每個(gè)角上都將存在一對(duì)Majorana零模.之所以每個(gè)角上存在兩個(gè)Majorana零模是由于超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)并未破壞時(shí)間反演對(duì)稱性.進(jìn)一步地,我們發(fā)現(xiàn)此方案也適用于 s±波的高溫超導(dǎo)體(如鐵基超導(dǎo)體).基于s±波的高溫超導(dǎo)體和二維拓?fù)浣^緣體的方案也被Wang等[73]提出.此方案推廣到三維也可實(shí)現(xiàn)具有時(shí)間反演對(duì)稱性的的二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體[74].和二維不同,此時(shí)的邊界態(tài)為一維無(wú)能隙的Majorana螺旋模式.如果要實(shí)現(xiàn)不具有時(shí)間反演對(duì)稱性的二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體,可以引入磁場(chǎng)或者磁性,此時(shí)二維二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的角上將只出現(xiàn)一個(gè)Majorana零模[75-79],三維二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的棱上將出現(xiàn)手征Majorana模式[76,80].近期,本文作者發(fā)現(xiàn)在超導(dǎo)體上生長(zhǎng)不具有時(shí)間反演對(duì)稱性的二階拓?fù)浣^緣體可以自然地實(shí)現(xiàn)二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體[81].這一方案相比于先前的方案有兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì): 一是適用于任意的超導(dǎo)配對(duì)形式,二是不需要外磁場(chǎng).如果二階拓?fù)浣^緣體具有時(shí)間反演對(duì)稱性,研究發(fā)現(xiàn)在合適的相互作用條件下或者加入磁場(chǎng)也可實(shí)現(xiàn)Majorana零模[82]或手征Majorana模式[83].

高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體也可以利用混合超導(dǎo)配對(duì)來(lái)實(shí)現(xiàn).已提出的方案包括: p+id超導(dǎo)配對(duì)[84],p+is超導(dǎo)配對(duì)[85],以及Rashba自旋軌道耦合+(s+id)超導(dǎo)配對(duì)[86].另外一個(gè)實(shí)現(xiàn)高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的重要機(jī)制是拓?fù)浒虢饘賰?nèi)發(fā)生奇宇稱的超導(dǎo)配對(duì)[84,87-89].例如,研究發(fā)現(xiàn)如果狄拉克半金屬發(fā)生超導(dǎo)轉(zhuǎn)變且超導(dǎo)配對(duì)為p-波配對(duì),那么在二維可實(shí)現(xiàn)二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體[84,89].而在三維,如果節(jié)線半金屬中發(fā)生超導(dǎo)轉(zhuǎn)變且奇宇稱超導(dǎo)配對(duì)合適的話,那么既可實(shí)現(xiàn)二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體[86,87],也可實(shí)現(xiàn)三階拓?fù)涑瑢?dǎo)體[88,89].當(dāng)然,即使正常態(tài)是普通的金屬且只有奇宇稱的超導(dǎo)配對(duì),也可以實(shí)現(xiàn)高階拓?fù)涑瑢?dǎo)[88].值得強(qiáng)調(diào)的是,利用奇宇稱的超導(dǎo)配對(duì)可實(shí)現(xiàn)單能帶的高階拓?fù)涑瑢?dǎo)[88].

目前,雖然已經(jīng)有了一系列實(shí)現(xiàn)高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的理論方案,但是相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究工作還處在非常初步的階段.截止目前,實(shí)驗(yàn)方面的研究工作包括: Burch組在鐵基超導(dǎo)FeTe0.55Se0.45的棱上觀察到了一維無(wú)能隙的Majorana模式[90].由于FeTe0.55Se0.45在超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度上能帶存在反轉(zhuǎn)[91],而超導(dǎo)轉(zhuǎn)變后配對(duì)形式認(rèn)為是 s±波,因此此實(shí)驗(yàn)觀察到的結(jié)果非常符合三維拓?fù)浣^緣體和 s±波超導(dǎo)配對(duì)結(jié)合實(shí)現(xiàn)時(shí)間反演對(duì)稱的二階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的理論[74].另外,Yazdani組在二階拓?fù)浣^緣體鉍+超導(dǎo)體+鐵原子團(tuán)簇的結(jié)構(gòu)上觀察到了Majorana零模的信號(hào)[92].此方案由于鐵原子團(tuán)簇具有磁性,所以不具有時(shí)間反演對(duì)稱性.相應(yīng)地,Majorana零模以單個(gè)的形式出現(xiàn)在鐵原子團(tuán)簇的端點(diǎn).

5 結(jié) 論

本文簡(jiǎn)要地介紹了傳統(tǒng)拓?fù)湮飸B(tài)和高階拓?fù)湮飸B(tài)的聯(lián)系,并回顧了高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的研究進(jìn)展,從中可以看出高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體極大地豐富了拓?fù)湮飸B(tài)的類型.高階拓?fù)湮飸B(tài)的體-邊對(duì)應(yīng)也極大地豐富了和邊界態(tài)相關(guān)的物理.從本文也可以看出高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的研究都還處在比較初級(jí)的階段.對(duì)高階拓?fù)浣^緣體,對(duì)電子型的材料的實(shí)驗(yàn)研究還太少.理論方面,雖然現(xiàn)在對(duì)高階拓?fù)浣^緣體的拓?fù)湫再|(zhì)和分類等已取得了很好的進(jìn)展,但高階拓?fù)浣^緣體存在什么樣的獨(dú)特響應(yīng)性質(zhì)尚不清楚.另外,電子型的高階拓?fù)浣^緣體材料的實(shí)現(xiàn)也可以推動(dòng)高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的實(shí)現(xiàn)[81-83],而挖掘高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的獨(dú)特性質(zhì)也是一個(gè)重要的研究方向.這一方面可以提供探測(cè)Majorana模式的新思路,另一方面也可能催生利用Majorana模式的新方向.

最后,需要強(qiáng)調(diào)的是在高階拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)涑瑢?dǎo)體的概念產(chǎn)生之后,高階拓?fù)湮飸B(tài)的概念也被推廣到了拓?fù)浒虢饘傧到y(tǒng)[93,94],本文限于篇幅沒(méi)有介紹和這一部分相關(guān)的研究工作.