經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程　促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

朱長(zhǎng)和

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，發(fā)展推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在給定目標(biāo)下，感受針對(duì)具體問題提出設(shè)計(jì)思路、制定簡(jiǎn)單的方案解決問題，并加強(qiáng)反思，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在課中，我們要注重?cái)?shù)學(xué)的理性和學(xué)生思維的縝密性，促深度理解;動(dòng)手實(shí)踐和數(shù)學(xué)思考相結(jié)合，促深度感悟;探究活動(dòng)與積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，促深度體驗(yàn)，真正促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動(dòng);數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn);思維

一、課前思考

這是一次探索計(jì)算規(guī)律的活動(dòng)，是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，并在已經(jīng)積累較多探索數(shù)的特征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上安排的。通過活動(dòng)，一方面能使學(xué)生感受數(shù)學(xué)規(guī)律的多樣性和趣味性，感受數(shù)學(xué)知識(shí)間的廣泛聯(lián)系;另一方面則有利于學(xué)生從新的角度進(jìn)一步豐富對(duì)奇數(shù)和偶數(shù)的認(rèn)識(shí)，提升數(shù)學(xué)思考的水平。

二、課堂回放

片段1：研究?jī)蓚€(gè)數(shù)和的奇偶性，重在觀察、歸納

師：這里的和一定是兩個(gè)數(shù)的和嗎？

生1：不一定

生2：可能是三個(gè)數(shù)的和，也可能是四個(gè)數(shù)的和，或者許多個(gè)數(shù)的和。

師：對(duì)，研究這樣比較復(fù)雜的問題，通常從最簡(jiǎn)單的情況開始。

先研究?jī)蓚€(gè)數(shù)相加的情況，同桌的兩人學(xué)號(hào)加起來。

師：觀察三道算式的和都是什么數(shù)？為什么它們的和都是奇數(shù)呢？

生：因?yàn)樗鼈兌际瞧鏀?shù)+偶數(shù)。

師：那什么情況下和是偶數(shù)呢？

學(xué)生舉例加法算式并板書。

師：任意兩個(gè)數(shù)的和的奇偶性都是這樣的狀況嗎？有無例外呢？我們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域通過幾個(gè)例子發(fā)現(xiàn)的情況還只能算是猜測(cè)，要通過更多的舉例去驗(yàn)證。

學(xué)生再舉例。

師：有兩個(gè)問題，1.有沒有反例？2.例子能舉得完嗎？

生：有無數(shù)個(gè)例子，舉也舉不完。

師：大家舉的例子一下子就能夠通過算出答案而知道和的奇偶性。出示587634+1458963，計(jì)算起來就麻煩了，能看出來和是什么數(shù)嗎？

生：奇數(shù)，判斷一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)只要看它的個(gè)位。

出示表格，一一列舉了所有兩個(gè)數(shù)的和的奇偶性情況。

師：表格列舉了兩個(gè)數(shù)和的所有情況，未發(fā)現(xiàn)一個(gè)反例，說明了上面的猜想是正確的，可以轉(zhuǎn)化成結(jié)論。

【思考】歸納往往從觀察開始，數(shù)學(xué)觀察是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，不僅用眼看，還需要進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)思考，往往還伴隨著數(shù)學(xué)猜想。所以，教學(xué)中應(yīng)注意設(shè)計(jì)觀察活動(dòng)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察和猜想的過程，體驗(yàn)如何觀察、猜想和的奇偶性特征;在觀察的基礎(chǔ)上，開展相應(yīng)的比較和歸納，從不同的算式中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律;啟發(fā)學(xué)生開展相應(yīng)的合情推理，形成一定程度的數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)行一般性和普遍性的數(shù)學(xué)建模。表格一一列舉所有的兩個(gè)數(shù)的和奇偶性情況，培養(yǎng)了學(xué)生思維的縝密性，為相對(duì)理性的思考和討論提供支持，這節(jié)課不能只有舉例，也不該只有不完全歸納，也要講道理，使學(xué)生明白為什么是這樣的，其實(shí)數(shù)學(xué)課堂，無需貪多貪全，更不可以偏概全，應(yīng)求真，應(yīng)不厭其深。

片段2：研究多個(gè)奇數(shù)和的奇偶性，重在探究、交流

師：研究了若干個(gè)偶數(shù)和的奇偶性問題，我們接下來研究什么？

生：多個(gè)奇數(shù)相加的情況。

師：你打算怎么研究？需要提醒什么？

生：可以舉例。

……

師：?jiǎn)柎蠹乙粋€(gè)問題，他即將和大家分享觀點(diǎn)，我們干什么？聽什么？

生：……

師：我們既要聽明白對(duì)方所說的話，還得把自己帶入場(chǎng)景中聽，聽一聽他的思路和自己的思路有什么相同和不同的地方，能做到嗎？

學(xué)生展示，互相交流、補(bǔ)充、 質(zhì)疑。

師：剛才講了，通過舉幾個(gè)例子憑直覺發(fā)現(xiàn)的情況只能算是猜測(cè)，數(shù)學(xué)得講理，為什么是這樣呢？

結(jié)合學(xué)生的回答，在課件上每?jī)蓚€(gè)奇數(shù)圈為一組，和是偶數(shù)。追問：和若干個(gè)奇數(shù)和的奇偶性主要看什么？

【思考】“探索規(guī)律”的教學(xué)必須以完整真實(shí)的探究過程為主線，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間理解和提出問題，尋求解決問題的思路，在艱難曲折的探究活動(dòng)中對(duì)規(guī)律本質(zhì)內(nèi)涵有深度理解，對(duì)探究過程有理性的認(rèn)識(shí)?！霸鯓犹骄俊薄霸鯓优e例” 最大限度喚醒學(xué)生以往研究規(guī)律性質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動(dòng)思考探究方案，并在交流、思辨中不斷優(yōu)化完善，使數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)悄悄走進(jìn)學(xué)生心中。課堂不應(yīng)該是學(xué)生獨(dú)善其身的場(chǎng)所，應(yīng)成為協(xié)同合作的陣地，學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐探究，必然會(huì)產(chǎn)生體驗(yàn)、感悟，個(gè)體認(rèn)知需要伙伴的分享、傾聽與交流，需要團(tuán)體的補(bǔ)充、修正和完善。盡管表達(dá)可能不是很流暢，舉例可能不是很全面，但這些都是學(xué)生真實(shí)的自主的學(xué)習(xí)狀態(tài)，教師有目的地進(jìn)行點(diǎn)撥，學(xué)生質(zhì)疑補(bǔ)充，整個(gè)過程實(shí)際就是將學(xué)生碎片化的認(rèn)知變成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的過程，是學(xué)生將新知納入舊知，將知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)提升的過程，使自主建構(gòu)在互動(dòng)交流中得以實(shí)現(xiàn)。由不完全歸納發(fā)現(xiàn)若干個(gè)奇數(shù)和的奇偶性規(guī)律，經(jīng)過演繹推理來證明猜測(cè)， 幫助學(xué)生形成“根據(jù)已有的數(shù)學(xué)命題-尋找命題間的邏輯關(guān)系-得出特殊結(jié)論”的演繹推理思維模式。

片段3：研究多個(gè)數(shù)和的奇偶性，重在比較、推理

出示3個(gè)奇數(shù)相加的算式，判斷和的奇偶性，并依次加4個(gè)偶數(shù)，一個(gè)一個(gè)地加，一次一次地和前面的結(jié)果對(duì)比， “現(xiàn)在的和還是奇數(shù)？”學(xué)生說結(jié)論并完善。

師追問：加了幾個(gè)偶數(shù)，對(duì)和的奇偶性有沒有影響？

生：總共加了四個(gè)偶數(shù)，它們的和還是奇數(shù)。

師：如果再加一個(gè)奇數(shù)呢，和還是奇數(shù)嗎？那么和的奇偶性與什么數(shù)有關(guān)，和什么數(shù)沒有關(guān)系？

生：與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與偶數(shù)無關(guān)。

【思考】控制變量法，即把多因素的問題變成多個(gè)單因素的問題，而只改變其中的某一個(gè)因素，從而研究這個(gè)因素對(duì)事物影響，分別加以研究，最后再綜合解決。在3個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)的基礎(chǔ)之上，每次加一個(gè)偶數(shù)，看和的奇偶性有沒有變化，一直加了4個(gè)偶數(shù)，一次一次對(duì)比，“現(xiàn)在和還是奇數(shù)”;一次一次推理判斷，加了偶數(shù)對(duì)和的奇偶性沒有影響;而加奇數(shù)，和的奇偶性便會(huì)發(fā)生變化。通過運(yùn)用控制變量法，結(jié)合前面結(jié)論“偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)”“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”進(jìn)行推理，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)對(duì)前后結(jié)果的異同進(jìn)行比較，得出最終結(jié)論“和的奇偶性和加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與偶數(shù)沒有關(guān)系”，積累了數(shù)學(xué)規(guī)律探究的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

三、課后反思

1.注重?cái)?shù)學(xué)的理性和學(xué)生思維的縝密性，促深度理解

讓學(xué)生長(zhǎng)期經(jīng)歷歸納推理和演繹推理的過程，獲得推理的真實(shí)體驗(yàn)，最終形成數(shù)學(xué)思維模式。具體看，一方面提供典型的、有代表性的數(shù)學(xué)事實(shí)，通過簡(jiǎn)單舉例讓學(xué)生將相鄰學(xué)號(hào)相加，進(jìn)行猜測(cè)，經(jīng)歷由特殊到一般的不完全歸納推理過程，得出一般性的數(shù)學(xué)結(jié)論或提出數(shù)學(xué)問題，形成“觀察個(gè)別數(shù)學(xué)對(duì)象-發(fā)現(xiàn)相同特征或形成本質(zhì)聯(lián)系-概括出一般結(jié)論”的歸納推理思維模式。通過問題“一定是這樣嗎？”，使學(xué)生初步體會(huì)從有限的實(shí)例中歸納出來的結(jié)論具有不確定性，舉例和相關(guān)結(jié)論之間存在一定的或然性，驗(yàn)證環(huán)節(jié)不僅重要而且必不可少，由此將學(xué)生的數(shù)學(xué)思考推向深入。驗(yàn)證這一環(huán)節(jié)，受小學(xué)生的知識(shí)和思維發(fā)展水平所限，通常采取舉例驗(yàn)證的方法，他們盡管不能窮舉所有的例子，但是可以在歸納出結(jié)論之后選擇不同的例子進(jìn)行驗(yàn)證，并由老師對(duì)窮舉式做一個(gè)簡(jiǎn)單介紹，使得學(xué)生的發(fā)現(xiàn)由不完全歸納上升到初步的理性思考層面，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，也體現(xiàn)了“猜想-驗(yàn)證”這一數(shù)學(xué)方法的精神內(nèi)核，即：只有結(jié)論能夠滿足一定范圍內(nèi)的“所有情形”，這樣的結(jié)論才具有足夠的可靠性，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神。而對(duì)于若干個(gè)奇數(shù)和的奇偶性問題，通過不完全歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，經(jīng)過演繹推理來證明結(jié)論，促進(jìn)學(xué)生形成“根據(jù)已有的數(shù)學(xué)命題-尋找命題間的邏輯關(guān)系-得出特殊結(jié)論”的演繹推理思維模式。這樣的思路不僅具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)在邏輯，而且也滲透了研究問題和探索規(guī)律的一般方法，有助于學(xué)生在活動(dòng)過程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深度理解。

2.動(dòng)手實(shí)踐和數(shù)學(xué)思考相結(jié)合，促深度感悟

動(dòng)手實(shí)踐和數(shù)學(xué)思考相結(jié)合，一方面讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中思考怎么舉例，為什么這樣舉例，另一方面還要在實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思，增強(qiáng)對(duì)實(shí)踐的感悟和體驗(yàn)。教學(xué)是教學(xué)生學(xué)，是引導(dǎo)學(xué)生的思維在學(xué)的過程中提升，而不是琢磨應(yīng)該怎樣節(jié)省時(shí)間，怎樣順利地走完教的過程。教之于學(xué)，應(yīng)該是開導(dǎo)，應(yīng)該是促進(jìn)學(xué)生思考感悟。其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)與技能只是承載思考的載體，使學(xué)生獲得更有價(jià)值的數(shù)學(xué)思考才是教學(xué)的根本目的。沒有學(xué)生的思考就沒有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這節(jié)課的根本目的很明顯不是得到規(guī)律，而是讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程，提升數(shù)學(xué)思考的水平。在探究若干個(gè)奇數(shù)和的奇偶性規(guī)律時(shí)，如果單一使用教師提供的完整的表格進(jìn)行整理，學(xué)生其實(shí)只是被動(dòng)填寫，所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是膚淺而不完整的，缺乏了思維的主動(dòng)性，學(xué)生難以體會(huì)探究的真諦，阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展。波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。多元表征促進(jìn)多維思考，可以舉例，也可以直接運(yùn)用前面結(jié)論進(jìn)行演繹推理，不同形式不同角度理解多個(gè)奇數(shù)和的奇偶性規(guī)律，及時(shí)溝通聯(lián)系，在比較中促進(jìn)深度感悟。學(xué)生經(jīng)歷了自主探究的過程，才能真正理解多個(gè)奇數(shù)和的奇偶性規(guī)律，真正發(fā)展了學(xué)生思維。

3.探究活動(dòng)與積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合，促深度體驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)，在設(shè)定目標(biāo)的情況下，能針對(duì)具體問題提出設(shè)計(jì)思路，制定簡(jiǎn)單的方案解決問題，可見鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)制定實(shí)驗(yàn)方案也是增強(qiáng)實(shí)證意識(shí)、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)重要舉措，教師不急于牽著學(xué)生往下走，不直接給出探究“若干個(gè)奇數(shù)和的奇偶性規(guī)律”的具體方案，而是通過問題，“你想怎樣來研究？”最大限度喚醒學(xué)生以往研究規(guī)律性質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即舉例;“想一想怎樣舉例？”促使學(xué)生主動(dòng)思考探究方案，這既能增強(qiáng)探究活動(dòng)的計(jì)劃性，又可以幫助學(xué)生體會(huì)探究活動(dòng)的關(guān)鍵，如多舉一些例子，舉例要全面典型等，并在交流、思辨中不斷優(yōu)化完善，促進(jìn)深度體驗(yàn)，使數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)悄悄走進(jìn)學(xué)生心中。