巧構(gòu)“010”分類　妙用“軌跡法”解題

郭源源

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它能使復(fù)雜問題條理化，繁瑣問題簡(jiǎn)單化，是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和縝密性的關(guān)鍵，同時(shí)也是提升學(xué)生問題探究能力的重要方式.一直以來，幾何中等腰三角形的分類，因其圖形的直觀性和其邊角特征的常用性，成為了經(jīng)典分類問題，也是歷屆中考的熱點(diǎn)問題之一.

筆者通過自己在教學(xué)中的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決等腰三角形分類問題時(shí)是有分類意識(shí)的，也知道從邊角兩個(gè)維度去分析討論，但面對(duì)中考中的此類題，或因?yàn)閳D形復(fù)雜，或因?yàn)榻Y(jié)果偏多，出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解的情況甚是嚴(yán)重.本文針對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)固定的等腰三角形分類問題，以近些年的中考題為例，借助“軌跡法”構(gòu)圖分析，談?wù)劥祟悊栴}的解法策略，與同仁交流、分享.

1 “010”軌跡的介紹

已知兩個(gè)定點(diǎn)A和B，若平面內(nèi)再找一點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的軌跡是：分別以點(diǎn)A、B為圓心AB長(zhǎng)為半徑的兩個(gè)圓和線段AB的垂直平分線.（不包括A、B、C三點(diǎn)共線的位置）

原理分析 △ABC是等腰三角形，但不明確腰底情況，故需分類討論：①以C為頂角頂點(diǎn)，即CA=CB，則點(diǎn)C在AB垂直平分線上;②以A為頂角頂點(diǎn)，即AC=AB，則點(diǎn)C在以A為圓心AB為半徑的⊙A上;③以B為頂角頂點(diǎn)，即BC=BA，則點(diǎn)C在以B為圓心BA為半徑的⊙B上.所以點(diǎn)C的所有位置形成了類似“兩圓一線”的軌跡，如圖1，因形狀和數(shù)字010相像，故又名等腰“010”軌跡.

2 “010”軌跡的應(yīng)用

2.1 平面直角坐標(biāo)系中的“010”

例1 （2016年湖北武漢）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有個(gè).

解析 本題只知曉△ABC為等腰三角形，對(duì)于腰底情況并不明確，故需分類討論.已知等腰三角形ABC中，A和B兩個(gè)頂點(diǎn)是固定的，第三個(gè)頂點(diǎn)C可以按CA=CB、AC=AB、BC=BA分類逐個(gè)畫圖;同時(shí)也可以 圖2直接運(yùn)用“010”模型快速分析：點(diǎn)C的軌跡在如圖2所示的“010”虛線上，構(gòu)圖后發(fā)現(xiàn)AB垂直平分線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)有2個(gè)，即C1、C2;⊙A和⊙B與坐標(biāo)軸交點(diǎn)有5個(gè)，即C3、C4、B、C5、C6，其中C3和B的位置不能構(gòu)成三角形.所以滿足條件的點(diǎn)C有5個(gè).

點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用“010”軌跡解題，其中構(gòu)圖的細(xì)節(jié)也是影響正確率的一方面.本題中⊙A和⊙B的畫法需根據(jù)數(shù)據(jù)的特征，推理出直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合數(shù)據(jù)和關(guān)系可以較準(zhǔn)確地畫出圓的位置.只有準(zhǔn)確的構(gòu)圖才能跳出題目的陷阱，發(fā)現(xiàn)圖形位置的特殊性.

例2 （2019年山東泰安）如圖3，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=m x的圖像交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=15 2.

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析 限于篇幅，筆者這里只探討第（2）問.由（1）問可求，點(diǎn)A坐標(biāo)（9，3），點(diǎn)B坐標(biāo)（5，0）.等腰三角形ABP固定兩個(gè)頂點(diǎn)A和B，由“010”模型知點(diǎn)P的軌跡在如圖3所示的“010”虛線上，構(gòu)圖后發(fā)現(xiàn)符合要求的x軸交點(diǎn)有4個(gè)，即P1、P2、P3、P4.

由兩腰相等易求出P2坐標(biāo)為（0，0）、P3坐標(biāo)為（10，0）;由對(duì)稱性可求出P4坐標(biāo)為（13，0）;而求P1坐標(biāo)的方法較多，勾股定理、三角形相似或三角函數(shù)都可以.如設(shè)AB中點(diǎn)為C，易證出△CBP1也是一個(gè)3∶4∶5的直角三角形，則BP1=5 4BC=5 8BA=5 8×5=25 8，所以P1坐標(biāo)為（65 8，0）.

點(diǎn)評(píng) 平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)的求法，方法多樣，難度不大.這類題學(xué)生扣分的重點(diǎn)，不在于求法，而在于系統(tǒng)全面地畫出所有點(diǎn)的位置.學(xué)生學(xué)會(huì)有條理地列出每種類型再逐個(gè)研究，是解此類題的關(guān)鍵所在.等腰“010”模型恰恰可以用整體的構(gòu)圖、系統(tǒng)的布局，達(dá)到最直觀的效果，是解決此類等腰問題最有效的策略.

2.2 圖形運(yùn)動(dòng)中的“010”

例3 （2017年浙江義烏）如圖4，∠AOB=45°，點(diǎn)M、N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn).若使點(diǎn)P、M、N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是.

分析 由題意可知，隨著x值的變化，點(diǎn)M、N的位置發(fā)生變化，但線段MN的長(zhǎng)度不變.由“010”模型可得等腰三角形PMN的頂點(diǎn)P軌跡在兩圓一線的“010”虛線上，而本題中M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)著整個(gè)“010”也在運(yùn)動(dòng)，過程如圖5—9.

結(jié)合整個(gè)的運(yùn)動(dòng)過程，篩選出點(diǎn)P恰好有三個(gè)的位置，畫圖求解即可.但為了更加系統(tǒng)全面地探究整個(gè)過程中，點(diǎn)P個(gè)數(shù)變化的情況，筆者在解析中給出更細(xì)致的分類研究.

解析 根據(jù)OM從小到大的運(yùn)動(dòng)過程，找到運(yùn)動(dòng)中的臨界位置：（1）當(dāng)點(diǎn)M和O重合時(shí)，如圖4.求得x=0，此時(shí)OB邊上點(diǎn)P的位置有3個(gè).（2）當(dāng)兩圓的交點(diǎn)位于OB邊上時(shí)，如圖5.求得x=23-2，此時(shí)OB邊上點(diǎn)P的位置有2個(gè).（3）當(dāng)⊙N與OB相切時(shí)，如圖6.求得x=42-4，此時(shí)OB邊上點(diǎn)P的位置有3個(gè).（4）當(dāng)⊙M經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，如圖7.求得x=4，此時(shí)OB邊上點(diǎn)P的位置有2個(gè).（5）當(dāng)⊙M與OB相切時(shí)，如圖8.求得x=42，此時(shí)OB邊上點(diǎn)P的位置有2個(gè).

根據(jù)臨界位置可將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分成以下幾部分：（1）當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)P有3個(gè).（2）當(dāng)042時(shí)，點(diǎn)P有1個(gè).

將上述部分，按點(diǎn)P的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類整合如下：（1）當(dāng)042時(shí)，點(diǎn)P有1個(gè).

綜上所述，點(diǎn)P恰好有三個(gè)時(shí)，x的值為：x=0或x=42-4或4

例4 （2019年黑龍江綏化）如圖10，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是正方形四邊上任意一點(diǎn)，且AB=4，EF=2，設(shè)AE=x.當(dāng)△PEF是等腰三角形時(shí)，下列關(guān)于P點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，一定正確的是（）.

①當(dāng)x=0（即E、A兩點(diǎn)重合）時(shí)，P點(diǎn)有6個(gè);

②當(dāng)0

③當(dāng)P點(diǎn)有8個(gè)時(shí)，x=22-2;

④當(dāng)△PEF是等邊三角形時(shí)，P點(diǎn)有4個(gè);

A.①③B.①④C.②④D.②③

解析 本題只是將例3中的45°換成了正方形對(duì)角線的情境，本質(zhì)上都是運(yùn)動(dòng)中的“010”題型.易知等腰三角形PEF的頂點(diǎn)P軌跡在兩圓一線的“010”虛線上，構(gòu)圖分析如下：（1）當(dāng)E、A兩點(diǎn)重合時(shí)，如圖11，此時(shí)符合要求的交點(diǎn)有6個(gè)，故①正確.（2）當(dāng)點(diǎn)E剛離開點(diǎn)A時(shí)，如圖12，此時(shí)符合要求的交點(diǎn)有8個(gè)，故②、③均錯(cuò).（3）當(dāng)△PEF是等邊三角形時(shí)，即兩圓交點(diǎn)位于正方形邊上如圖13，此時(shí)符合要求的交點(diǎn)有4個(gè)，故④正確.所以答案選當(dāng)然本題還可以像例3一樣，著眼于整個(gè)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程，抓住臨界位置.探究整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P個(gè)數(shù)變化的情況.

點(diǎn)評(píng) 第一類平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)定點(diǎn)的等腰三角形也許不用“010”軌跡，逐個(gè)分類也能解決;但第二類運(yùn)動(dòng)中的等腰三角形存在性問題，若是逐個(gè)畫圖，凌亂且復(fù)雜，錯(cuò)誤率很高，而“010”軌跡法則能呈現(xiàn)整體的軌跡圖，有助于直觀判斷，達(dá)到化隱為顯、化繁為簡(jiǎn)的效果.

2.3 一圖中的多個(gè)“010”圖14

例5 （2017年湖北武漢）如圖14，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為個(gè).

解析 本題“以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形”是分類信號(hào)之一，可以分成三大類：以BC為邊畫等腰、以AC為邊畫等腰、以AB為邊畫等腰.其中每一類都是固定兩個(gè)頂點(diǎn)的等腰“010”模型.圖15 圖16 圖17

（1）以BC為邊畫等腰，如圖15，通過“010”軌跡直觀分析，符合題意得有4個(gè)等腰三角形，即△P1BC、△CP2B、△CP3B、△BCP4.

（2）以AC為邊畫等腰，如圖16，通過“010”軌跡直觀分析，符合題意得有2個(gè)等腰三角形，即△P5AC、△ACP6.

（3）以AB為邊畫等腰，如圖17，通過“010”軌跡直觀分析，符合題意得有1個(gè)等腰三角形，即△P7AB.

綜上所述，可以畫出7個(gè)不同的等腰三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題為二級(jí)分類題，既不明確哪條邊為邊畫等腰，也不清楚所畫等腰的腰底情況，故解題時(shí)，若只憑感覺去逐個(gè)羅列，遺漏是必然的.但有了“軌跡法”的解題策略，3個(gè)“010”就可輕輕松松、一目了然地解決此題.本題還可以變式為當(dāng)∠A=30°，寫出此時(shí)不同的等腰的個(gè)數(shù).3 寫在最后

一個(gè)好的解題方法，應(yīng)以學(xué)生的理解為基礎(chǔ)，以解題的高效為動(dòng)力，以幫助學(xué)生全面地、系統(tǒng)地研究問題為根本，從而達(dá)到“練一題，學(xué)一法，會(huì)一類，通一片”的目標(biāo)[1].解題中，只有看透問題的實(shí)質(zhì)，拋開瑣碎的技巧，著眼于整體的概況，才能挖掘到方法的本質(zhì).如簡(jiǎn)單圖形中的等腰分類，學(xué)生沒問題，而為什么本文中的這些等腰分類問題，學(xué)生錯(cuò)誤的情形非常嚴(yán)重？究其根本原因，是沒有理解等腰分類的方法本質(zhì)，故在簡(jiǎn)單圖形中尚可羅列湊合，一旦圖形復(fù)雜或運(yùn)動(dòng)就稀里糊涂、無從下手.等腰在不確定腰底情況下的分類，本質(zhì)就是三條軌跡，“軌跡法”是解決此類問題最全面、最系統(tǒng)的方法[2].所以筆者認(rèn)為解題中，不應(yīng)以解出答案為終點(diǎn)，而應(yīng)注重解題過程的通性通法，方法是否合理，是否成體系，是否可以一以貫之.只有這樣，解題才會(huì)有章法、成體系，數(shù)學(xué)也才會(huì)越學(xué)越簡(jiǎn)單.

日本教育家米山國(guó)藏認(rèn)為：“成功的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)精神，思想方法深深地、永遠(yuǎn)地、銘刻在學(xué)生的頭腦里，長(zhǎng)久地活躍于他們?nèi)粘５臉I(yè)務(wù)中，雖然那時(shí)數(shù)學(xué)的知識(shí)已經(jīng)淡忘”.可見滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)才是可持續(xù)、可發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)，只有在實(shí)踐中錘煉出的數(shù)學(xué)思想方法才是學(xué)生真正能留得住、帶得走并受用一生的數(shù)學(xué)財(cái)富.

參考文獻(xiàn)

[1]沈岳夫.點(diǎn)動(dòng)圖變思構(gòu)圖分類探求尋突破[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（12）：54-57.

[2]馬學(xué)斌.等腰三角形的存在性問題解題策略[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（中旬），2015（10）：25-27.