公路自行車(chē)的動(dòng)力學(xué)分析及仿真研究

蔡 睿，陳 亮，何申杰，江崇民，李 然，劉 智

隨著人們物質(zhì)文化生活水平的提高，自行車(chē)在作為交通工具的同時(shí)，也已成為一種體育活動(dòng)的器械。健身自行車(chē)可以模擬戶(hù)外騎行的用力和做功過(guò)程，可以起到與公路自行車(chē)相似的健身效果。交互式健身自行車(chē)集計(jì)算機(jī)技術(shù)、傳感技術(shù)及人機(jī)工程等多項(xiàng)技術(shù)于一體，可以提供給騎乘者全方位的感官刺激，實(shí)現(xiàn)對(duì)自行車(chē)駕駛更為逼真的模擬，而如何在騎行過(guò)程中提供現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景的身臨其境，不僅表現(xiàn)在視覺(jué)上，更重要的是實(shí)現(xiàn)健身車(chē)騎行的負(fù)荷與實(shí)地騎行感覺(jué)的一致性。

公路自行車(chē)屬于體能主導(dǎo)類(lèi)耐力性項(xiàng)目，騎行過(guò)程具有單周期不間斷、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)、普通騎行強(qiáng)度中等偏大、沖刺時(shí)強(qiáng)度大的特點(diǎn)，這些特點(diǎn)一方面對(duì)騎行者不同階段的功率輸出提出了相應(yīng)的要求，另一方面，體能消耗與技、戰(zhàn)術(shù)使用的緊密結(jié)合是獲取比賽勝利的關(guān)鍵。公路自行車(chē)騎行過(guò)程的力學(xué)原理復(fù)雜，騎行者踩動(dòng)踏板驅(qū)動(dòng)自行車(chē)時(shí)，需要克服由車(chē)體、地面和空氣造成的諸多阻力，而騎行中的加減速、路線、風(fēng)向等因素的實(shí)時(shí)變化都會(huì)綜合影響騎行者的用力做功過(guò)程。顯然，從直觀感覺(jué)上，若人與車(chē)的總質(zhì)量越低，迎風(fēng)面積和風(fēng)速越小，鏈條傳動(dòng)效率越高，路線越平滑，則騎行中的能量消耗越小。實(shí)際上，當(dāng)限定其它因素時(shí)，某些因素會(huì)與能量消耗線性相關(guān)，但是，當(dāng)諸多因素疊加在一起時(shí)，變量的綜合效應(yīng)與能耗之間的關(guān)系會(huì)瞬間變得復(fù)雜。為此，本研究從公路自行車(chē)騎行過(guò)程的受力機(jī)制出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用仿真技術(shù)對(duì)騎行中的各種變量進(jìn)行模擬，由此獲得的動(dòng)態(tài)參數(shù)將運(yùn)用于健身車(chē)力覺(jué)控制系統(tǒng)的研發(fā)。

1 自行車(chē)騎行過(guò)程的力學(xué)分析

自行車(chē)騎行過(guò)程中，騎行者和自行車(chē)構(gòu)成的總體主要受到重力、地面支撐力、空氣和地面阻力的作用。但自行車(chē)的前行不同于普通的剛體運(yùn)動(dòng)，人－車(chē)之間形成的結(jié)構(gòu)鏤空會(huì)改變最大迎面面積和風(fēng)阻系數(shù)，車(chē)輪旋轉(zhuǎn)與下肢蹬踏動(dòng)作則會(huì)產(chǎn)生馬格努斯效應(yīng)。另外，與場(chǎng)地自行車(chē)賽相比，戶(hù)外環(huán)境中的風(fēng)力變化以及路面起伏都會(huì)使受力結(jié)構(gòu)與過(guò)程更為復(fù)雜。

在運(yùn)動(dòng)方向垂直于地面內(nèi)構(gòu)建的二維坐標(biāo)系中，騎行中的人－車(chē)總體受力主要由重力Fg、地面支撐力Fs、人－車(chē)迎面空氣阻力Fd、車(chē)輪旋轉(zhuǎn)時(shí)的空氣阻力Fw、輪胎與地面摩擦力Ff以及車(chē)體機(jī)械摩擦力Fm構(gòu)成（圖1），而人在騎行過(guò)程中的蹬踏用力是人與車(chē)體前行的保證。

圖1 自行車(chē)騎行過(guò)程的受力示意圖Figure 1. The Sketch Map of the Force Analysis of Cycling

在非水平路面上騎行時(shí)，重力Fg可分解出運(yùn)動(dòng)方向的分力F′g，當(dāng)上坡騎行時(shí)，F(xiàn)′g與運(yùn)動(dòng)方向相反，是騎行的阻力，當(dāng)下坡騎行時(shí)，F(xiàn)′g與運(yùn)動(dòng)方向相同，是騎行的助力，其的表達(dá)式為：

其中，M為人與車(chē)體的總質(zhì)量；θ為地面與水平面的夾角，上坡騎行時(shí)取正值，下坡騎行時(shí)取負(fù)值，水平路面騎行時(shí)取0。

水平路面上騎行時(shí)，人與車(chē)體在Y方向形成等同于重力的正壓力Fg；而在非水平路面上騎行時(shí)，重力在垂直于路面方向上的分力形成對(duì)地面的正壓力F″g。壓力的擠壓導(dǎo)致輪胎發(fā)生彈性形變，加之輪胎與路面粗糙，車(chē)體相對(duì)路面存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，形成了車(chē)輪與路面間摩擦力。騎行過(guò)程中，踩動(dòng)踏板轉(zhuǎn)動(dòng)鏈條帶動(dòng)后輪轉(zhuǎn)動(dòng)，使之產(chǎn)生與地面有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)摩擦，這是驅(qū)動(dòng)自行車(chē)向前正常行駛的動(dòng)力，而前輪不直接受動(dòng)力的帶動(dòng)，與地面的摩擦與運(yùn)動(dòng)方向相反，是阻礙自行車(chē)前行的摩擦阻力。車(chē)體與地面的摩擦力的表達(dá)式為：

其中，Cr為車(chē)輪輪胎與地面的滾動(dòng)摩擦系數(shù)。滾動(dòng)摩擦系數(shù)取決于路面和輪胎的材質(zhì)，一般情況下認(rèn)為，輪胎材質(zhì)確定，Cr的大小由騎行路面狀況以及輪胎的胎壓決定。

人－車(chē)騎行前進(jìn)時(shí)，前方的空氣被壓縮產(chǎn)生壓力，兩側(cè)表面與空氣的摩擦產(chǎn)生摩擦力，這些作用共同形成與運(yùn)動(dòng)方向相反的空氣阻力。空氣阻力的作用部位位于迎風(fēng)面積中心處（近似與質(zhì)心重合），其表達(dá)式為：

其中，Cd為空氣阻力系數(shù)；A為迎風(fēng)面最大橫截面積；ρ為所處海拔高度下的空氣密度；V為車(chē)體相對(duì)于空氣流動(dòng)的相對(duì)速度。

旋轉(zhuǎn)的物體在粘性流體中會(huì)產(chǎn)生非對(duì)稱(chēng)流體的動(dòng)力效應(yīng)，車(chē)輪運(yùn)動(dòng)的空氣阻力正是由車(chē)輪在空氣中旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的。Greenwell（1995）研究表明，旋轉(zhuǎn)阻力的大小主要取決于車(chē)輪大小及輪轂的外形，不會(huì)隨著車(chē)輪的轉(zhuǎn)速發(fā)生明顯改變，同時(shí)，由于人體及自行車(chē)豎梁的作用，后輪所受的空氣阻力會(huì)減少25%。一般情況下，公路自行車(chē)前、后輪的半徑和車(chē)輪輪輻相同，前、后車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受總的空氣阻力計(jì)算公式為：

其中，Cw為自行車(chē)車(chē)輪的空氣阻力系數(shù)，r為車(chē)輪半徑，ρ為所處海拔高度下的空氣密度；V為車(chē)輪相對(duì)于空氣流動(dòng)的相對(duì)速度。

2 數(shù)學(xué)模型方程的建立

由牛頓第二定律，可以建立公路自行車(chē)騎行過(guò)程中的基本動(dòng)力學(xué)方程，具體表達(dá)為：

其中，F(xiàn)為騎行者蹬踏腳蹬產(chǎn)生的前進(jìn)力。由于腳繞曲柄中軸蹬踏一圈的過(guò)程中用力并不恒定，因此，前進(jìn)力F可通過(guò)即時(shí)功率和速度的比值來(lái)表示。另外，鏈條在帶動(dòng)后輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)會(huì)損失部分能量，國(guó)外研究顯示，鏈條的傳遞效率與騎行用力呈正相關(guān)，一般情況下，公路自行車(chē)的鏈條傳遞效率損耗約為98.5%。

根據(jù)上述受力分析，可列出公路自行車(chē)騎行時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程：

其中，Ir和If分別表示前輪和后輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

公路自行車(chē)騎行受力模型計(jì)算的邊界和初始條件由環(huán)境指標(biāo)、人體指標(biāo)和車(chē)體指標(biāo)構(gòu)成（表1）。環(huán)境指標(biāo)方面，在常溫（20℃）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的空氣密度為1.266kg／m2。人體指標(biāo)方面，有研究表明，我國(guó)優(yōu)秀男子公路自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員身高為1.80±0.07m，體重為72.73±7.33kg，該身高下正常公路自行車(chē)騎行姿勢(shì)下的最大迎風(fēng)面積約為0.5m2，風(fēng)阻系數(shù)為0.5。車(chē)體指標(biāo)方面，公路自行車(chē)的輪胎半徑約為0.35m，公路自行車(chē)常見(jiàn)的24或28輪輻車(chē)輪的空氣阻力系數(shù)約為0.0397，車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.08 kgm2。另?yè)?jù)Kyle（1988）報(bào)道，寬度20mm胎壓120P輪胎的滾動(dòng)摩擦系數(shù)在木質(zhì)賽道上為0.001，在平滑的混凝土地面上為0.002，在瀝青柏油路上為0.004，在粗糙的鋪面道路上為0.008。

表1 本研究模型方程初始參數(shù)一覽表Table 1 The List of the Initial Parameter of Model

3 仿真結(jié)果分析

3.1 途中騎行階段的速度選擇

途中騎行階段是指從騎行出發(fā)到?jīng)_刺前的階段，包括水平、起伏、長(zhǎng)距離上坡和長(zhǎng)距離下坡4種基本路段形式。顯然，由動(dòng)力方程可知，在其他條件穩(wěn)定的情況下，較快的騎行會(huì)導(dǎo)致較大的風(fēng)阻，也會(huì)產(chǎn)生越大的能量消耗，本研究均設(shè)定迎面風(fēng)速為3m／s。國(guó)外研究表明，正常情況下，途中騎行在相對(duì)平緩的路面上時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的平均輸出功率約為350W。圖2a中的虛線表示以350W的額定功率，分別以6m／s、8m／s、10m／s、12m／s、14m／s、16m／s進(jìn)入水平路面后的速度變化?？梢钥闯觯谒铰访骝T行時(shí)，初始時(shí)速為6m／s、8m／s、10m／s時(shí)，速度逐漸上升，為加速騎行階段；初始時(shí)速為14m／s、16m／s時(shí)，速度逐漸下降，為減速騎行階段；而初始速度為12m／s時(shí)，速度基本保持恒定，通過(guò)腳踏力量傳動(dòng)的前進(jìn)動(dòng)力與空氣阻力基本持平。因此，以12m／s的速度通過(guò)相對(duì)平緩的路面是最為有效的騎行方式，該結(jié)論與大型國(guó)際公路自行車(chē)賽事優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員各時(shí)段平均時(shí)速約為11.0～13.3m／s相吻合。

圖2a中的實(shí)線為以上述條件通過(guò)伏路面騎行時(shí)的速度變化曲線。圖2b為騎行經(jīng)過(guò)的連續(xù)起伏路面及角度變化圖，路線方程模型為y＝5sin（x／10），x∈ ［5π，25π］，該路線最大傾斜度為5%，符合普通公路最大傾斜度不大于8%，高速公路最大傾斜度不大于5%的規(guī)定。

圖2 本研究額定功率下水平和起伏路面上騎行的速度變化圖Figure 2. The Velocity Change Diagram of Cycling on Horizontal and Rolling Road under Rated Power

與水平路面騎行相比，在5s的起伏路面騎行中，速度變化呈單峰型波動(dòng)，即下坡時(shí)速度上升，加速度逐漸下降，在通過(guò)谷底后，隨著上坡角度的增大，加速度漸變?yōu)樨?fù)值，速度隨之降低。從各速度下的變化曲線看，隨著初始速度的增加，速度上升增幅減小，下降幅度增大；在經(jīng)過(guò)連續(xù)的起伏路面時(shí)，速度變化周期縮短，并且下次速度上升期的初始速度有所降低。圖像顯示，當(dāng)初始速度為8m／s時(shí)，經(jīng)過(guò)每個(gè)起伏路面周期的初始速度基本持平，每個(gè)周期用時(shí)約為5.2s。因此，在連續(xù)起伏路面騎行過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)路段的具體長(zhǎng)度選擇相應(yīng)的騎行速度，當(dāng)距離較短時(shí)，可加大騎行速度快速通過(guò)起伏路段，而當(dāng)距離較長(zhǎng)時(shí)，可相應(yīng)降低速度，相對(duì)平穩(wěn)地通過(guò)起伏路面。

圖3 本研究額定功率下上坡和下坡騎行的速度變化圖Figure 3. The Velocity Change Diagram of Cycling on Uphill and Downhill Road under Rated Power

圖3為以12m／s的初始速度，350W騎行功率分別通過(guò)傾斜度為2%、4%、6%、8%的上坡路段，以及－2%、－4%、－6%、－8%下坡路段時(shí)速度變化的曲線。上坡騎行時(shí)，重力在運(yùn)動(dòng)方向上的分力起到阻力作用，下坡騎行時(shí)則變?yōu)榍靶械膭?dòng)力，而空氣阻力與騎行的速度正相關(guān)。因此，上坡開(kāi)始階段速度下降，但隨著速度的降低風(fēng)阻減小，下坡開(kāi)始階段速度上升，速度的加快又會(huì)導(dǎo)致風(fēng)阻的增大，最終，無(wú)論是上坡還是下坡騎行都會(huì)保持一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的前行速度。風(fēng)阻和重力分力的共同作用交互影響，從傾斜度變化對(duì)速度增加和減小的關(guān)系來(lái)看，下坡時(shí)隨著傾斜角度增大速度增加幅度減小，上坡時(shí)隨著傾斜角度的增大速度降低幅度加大。因此，幅度較小的上坡和幅度較大的下坡對(duì)速度影響均不明顯，而在較大的上坡和較小的下坡時(shí)，可加大騎行用力以獲取階段性?xún)?yōu)勢(shì)。

3.2 沖刺階段的距離選擇

沖刺階段要求保持較快的騎行速度，并且在最短的時(shí)間沖過(guò)終點(diǎn)。若選擇的沖刺距離過(guò)短，運(yùn)動(dòng)員未能充分利用極限強(qiáng)度下的速度優(yōu)勢(shì)，甚至在未出現(xiàn)最高速度前便已比賽結(jié)束；若選擇沖刺的距離過(guò)長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)員難以支撐高強(qiáng)度的運(yùn)動(dòng)負(fù)荷，速度在沖刺的最后階段反而下降，因此，選擇合理的距離對(duì)沖刺效果至關(guān)重要。

圖4 沖刺騎行時(shí)速度變化圖Figure 4. The Velocity Change Diagram of the Sprint Cycling

研究表明，我國(guó)優(yōu)秀公路自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員平均無(wú)氧功率為820.17±113.22W，無(wú) 氧 峰 值 功 率 為1 209.75±280.80W。圖4為平均功率820W，在第4s達(dá)到最大功率1 200W，以12m／s的初始速度，在水平路面沖刺的速度變化圖。圖4顯示，沖刺過(guò)程的速度類(lèi)似拋物線型變化，200m時(shí)達(dá)到速度的峰值。經(jīng)計(jì)算，沖刺距離為100m、150m、200m、250m、300m結(jié)束時(shí)的瞬時(shí)速度分別為15.5m／s、16.3m／s、16.4m／s、16.2m／s、16.0m／s，由此可以看出，雖然沖刺在150～250m之間均可實(shí)現(xiàn)較高的沖刺速度，但當(dāng)距離低于200m時(shí)，高速行駛保持時(shí)間較短，未能實(shí)現(xiàn)最佳的沖刺效果；而距離在200～250m之間，不但可以達(dá)到較高的沖刺速度，而且可以將這一速度相對(duì)持續(xù)，因此是完成沖刺階段的最佳距離。

4 結(jié)論

1.自行車(chē)的騎行是一個(gè)多種物理作用力綜合作用的過(guò)程，這些力包括重力、地面支撐力、空氣和地面摩擦力。公路自行車(chē)的騎行在戶(hù)外環(huán)境中進(jìn)行，風(fēng)力的變化以及路面的起伏使受力組成與過(guò)程更為復(fù)雜。

2.在以額定功率350W的水平路面騎行時(shí)，12m／s的騎行速度可基本保持勻速狀態(tài)，騎行效果最佳，該速度組成也為目前世界優(yōu)秀公路自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員所采用。

3.當(dāng)通過(guò)起伏路面騎行時(shí)，較快的速度并不一定導(dǎo)致理想的騎行效果，應(yīng)根據(jù)路段的具體長(zhǎng)度選擇相應(yīng)的騎行速度。當(dāng)距離較短時(shí)，可加大騎行速度快速通過(guò)起伏路段，而當(dāng)距離較長(zhǎng)時(shí)，可相應(yīng)降低速度，相對(duì)平穩(wěn)的通過(guò)起伏路段。

4.長(zhǎng)距離上坡和下坡騎行時(shí)，速度變化受到風(fēng)阻和重力分力的共同作用和交互影響，幅度較小的上坡和幅度較大的下坡對(duì)速度影響均不明顯，而在較大的上坡和較小的下坡時(shí)，可加大騎行用力以獲取階段性?xún)?yōu)勢(shì)。

5.全力沖刺過(guò)程的速度曲線類(lèi)似于拋物線型變化。模型仿真顯示，沖刺距離在200m時(shí)可達(dá)到速度的峰值，而在距離終點(diǎn)200～250m之間進(jìn)行沖刺，既能保持相對(duì)高速的騎行狀態(tài)，速度下降又不會(huì)過(guò)于明顯，是完成沖刺的最佳距離。

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