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    淺談初中數(shù)學中線段最值的求解策略

    2019-11-20 05:26:26葉彬
    中學課程輔導·教學研究 2019年15期
    關(guān)鍵詞:垂線切線軸對稱

    ◎葉彬

    線段最值問題的題型靈活、多變,是初中生較難解決的問題之一,也是棘手問題。這類試題都是立足于教材,能在教材找到基本的原形,如兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等。解決問題的途徑,通常需要運用轉(zhuǎn)換思想,將較為復雜的問題轉(zhuǎn)換為常見的基本類型,從而找到解決問題的基本思路。下面,筆者將結(jié)合具體的實例,談談初中數(shù)學中線段最值的求解策略。

    一、利用“垂線段最短”求最值

    例 1.如圖 1,在 Rt△AOB 中,∠AOB=90°,∠A=30°,OB=3,以 O 為圓心,半徑為1作⊙O,P是線段AB上一動點,過點P作⊙O的切線交⊙O于點Q,求線段PQ的最小值。

    圖1

    分析:在 Rt△AOB 中,∠AOB=90°,∠A=30°,OB=3,可得。因為PQ是⊙O的切線,所以,根據(jù)圓的切線性質(zhì)作輔助線:連接OQ,則OQ⊥PQ,再連接OP,就可以組成一個直角三角形,如圖2,由勾股定理可知,OP2=PQ2+OQ2,由于 OQ 為定值,因此,當 OP 取得最小值時,PQ 也取得最小值。而點O是一個定點,點P是線段AB上一動點,當OP⊥AB時,OP取得最小值。此時,由三角形面積法可得,解得,,再由OQ=1得,,所以,PQ最小值是。

    圖2

    小結(jié):題目求解的切入點是利用圓的切線性質(zhì)構(gòu)造直角三角形,由勾股定理將“求PQ的最小值”轉(zhuǎn)換為“求OP的最小值”,也是將問題轉(zhuǎn)換為“垂線段最短”問題。求解過程中運用了圓的切線性質(zhì)、勾股定理、面積法求高、垂線段最短等知識點,將上述相關(guān)性質(zhì)結(jié)合,就可以變?yōu)榻忸}的法寶。

    二、利用軸對稱性質(zhì)求最值

    例2.如圖3,在平面直角坐標系中,∠OAB=90°,點A在x軸正半軸上,點B的坐標為,點C的坐標為,斜邊OB上有一個動點P,求(PA+PC)的最小值。

    圖3

    分析:由圖3觀察可知,點A和點C是兩個定點,點P是OB上的動點,求(PA+PC)的最小值。很明顯,這是求“最短路徑”問題中的同側(cè)問題,因此,可以利用軸對稱性質(zhì)解決問題。

    如圖4,以OB為對稱軸,作點A的對稱點D,連接CD交OB于點P,此時,(PA+PC)取得最小值,且PA+PC=PD+PC=CD。所以,只要求出 CD的長即可。

    過點D作DN⊥OA,交于OA于點N,在Rt△OAB和Rt△DNA中,

    因為,∠DAN+∠DAB=∠DAB+∠ABO=90°,

    所以,∠DAN=∠ABO,即∠ADN=30°

    圖4

    小結(jié):圖形經(jīng)過軸對稱變換之后,會產(chǎn)生的等量關(guān)系(線段相等、角相等),合理地利用相應的性質(zhì)會使問題得到簡化,這會給解題帶來很大的幫助。本題中是作直線的對稱點,實現(xiàn)直線同側(cè)點到異側(cè)點的轉(zhuǎn)化,這是我們在解題中經(jīng)常遇到的情況以及常見的解題方法。

    三、利用三角形的三邊關(guān)系求最值

    例3.如圖5,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點A,B分別在邊OM,ON上。當點B在邊ON上運動時,點A隨之在邊OM上運動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運動過程中,求點D到點O的最大距離。

    圖5

    分析:如圖 6,取線段 AB 的中點 E,連接 OE、DE,此時,OD、OE、DE 組成一個三角形,根據(jù)“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”可得:OD<OE+DE;當矩形ABCD在移動變換過程中,存在一種特殊情況:O、D、E三點共線,這時,OD=OE+DE。綜上可得,OD≤OE+DE。所以,當 O、D、E 三點共線時,點D到點O的距離最大。

    圖6

    小結(jié):題目求解的關(guān)鍵在于選取一邊的中點,構(gòu)造一個新的三角形,利用三角形的三邊關(guān)系得出不等關(guān)系式,從而找到最值。

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