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    圓錐曲線動點問題探究

    2019-11-20 05:37:18葉婷婷
    關(guān)鍵詞:延長線動點定點

    ◎ 葉婷婷

    此題為筆者所在學(xué)校的一次月考題,得分率很低,圖1中P、Q兩點分別在橢圓和圓上運動。隨著動點的移動,我們發(fā)現(xiàn)線段|PQ|與|PF2|的長度都在發(fā)生變化,兩個一起變化的時候,學(xué)生就束手無策了。那么,教師在講課過程中就應(yīng)該讓學(xué)生先研究其中一個動點。因此,先把點Q看成定點,這樣此題就變成了求動點P到兩個定點之間的距離之和的最大值。根據(jù)三角不等式和橢圓的定義有,|PQ|+|PF2|=|PQ|+2a-|PF1|=|PQ|-|PF1|+6≤|QF1|+6(圖2)。

    圖2

    根據(jù)圖2,當點P在線段|QF1|的延長線與橢圓交點P1的位置時,|PQ|+|PF2|取得最大值|QF1|+6。接下來,我們再看點Q的運動。點Q是圓上的動點的,要使|QF1|取得最大,點Q在F1C的延長線且與圓C相交的點Q1時:

    然而,在解題過程中,其實很多學(xué)生并不能想到先把其中的點Q當成定點?!癚點在圓周上運動,怎樣才能想到把它先當做定點呢?”如果我們仔細研究Q點的軌跡,它是在一個以C為圓心的圓周上運動。此圓圓心為C,假設(shè)它的半徑r不確定,當我們把此圓的半徑變得無窮小的時候,圓就壓縮成了一個點C(圖3),此時,點Q與點C重合,我們有|PQ|+|PF2|=|PC|+|PF2|,再根據(jù)橢圓定義有|PC|+2a-|PF1|=|PC|-|PF1|+6,根據(jù)三角不等式找到點P滿足的位置。這樣點P的位置找到之后,再考慮把圓的半徑r慢慢變大,再考慮對應(yīng)點Q的位置,就很容易理解了。這里采取的極限思想其實就是把圓的半徑無窮小,將圓壓縮成一個點,讓學(xué)生更好地先找到動點P的位置。

    圖3

    其實,本題除了考慮把圓壓縮成一個點這一極限方法外,我們還可以考慮把橢圓壓縮(圖4),橢圓壓縮扁了之后就是一條線段F1F2,長度為6,點P 在 F1F2上運動且滿足:|PF2|=6-|PF1|,|PQ|+|PF2|=|PQ|+6-|PF1|≤|QF1|+6。

    圖4

    此時,我們很容易知道Q在F1C的延長與圓的相交點處。找到Q點的特征之后,再慢慢把線段還原成橢圓,也就能夠找到點P的位置,相信這兩種極限思想(圓壓縮成點,橢圓壓縮成線段),都能夠有助于學(xué)生更加深刻地理解題目。類比橢圓和圓取極限的壓縮,雙曲線壓縮之后是兩條射線。

    總之,用極限的思想把圓錐曲線特殊化,利用極限位置找到動點取到最值時的特征,再將圓錐曲線還原,不乏是我們平時研究試題一種巧妙的方法,也是我們探索該類問題的一種新穎的路徑。

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