以數(shù)學(xué)實驗為載體 再探三角形中位線

◎ 錢靜靜

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實驗、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。在完成一定階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，引入一節(jié)數(shù)學(xué)實驗拓展課可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗證猜想和創(chuàng)造性地解決問題提供一個操作平臺。這也是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并使其全面認(rèn)識數(shù)學(xué)兩個側(cè)面的重要途徑。

筆者結(jié)合八年級教學(xué)進(jìn)度，開設(shè)了一節(jié)數(shù)學(xué)實驗拓展課“折出面積為原圖形一半的矩形”，現(xiàn)將教學(xué)敘事與反思呈現(xiàn)。

一、教學(xué)敘事

學(xué)情分析：八年級學(xué)生剛剛結(jié)束第五章《特殊平行四邊形》的新知學(xué)習(xí)，初步構(gòu)建起了平行四邊形、三角形的中位線、矩形、菱形以及正方形之間的知識體系，具備了一定的空間觀念、數(shù)感以及符號感，會通過幾何語言描述推理邊角關(guān)系以及面積計算。加之章節(jié)學(xué)習(xí)時經(jīng)歷了折疊、剪拼等助學(xué)形式為新知學(xué)習(xí)帶來的愉快體驗。為了體驗數(shù)學(xué)實驗課的樂趣，體會知識點之間的聯(lián)系，擬通過折出面積為原圖形一半的矩形，讓學(xué)生經(jīng)歷“想象——實驗——交流——推理——反思”這一系列數(shù)學(xué)規(guī)律探究過程，鞏固三角形中位線性質(zhì)的應(yīng)用，在活動中不斷提高學(xué)生綜合運用知識的能力。

教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、猜測、實驗、抽象、交流、合作、推理與反思等一系列活動，通過折疊與剪拼鞏固三角形中位線的性質(zhì)，更好地用中位線性質(zhì)來計算邊長，發(fā)展推理能力。

教學(xué)重難點：引導(dǎo)學(xué)生探索如何折出面積為原圖形一半或相等的矩形。

課前準(zhǔn)備：邊長為3cm，4cm，5cm的直角三角形紙片，任意形狀三角形紙片，剪刀。

教學(xué)過程：

1.提出問題

(1)圖1是一個邊長為3cm，4cm，5cm的直角三角形紙片，小明想將它折疊成一個矩形，并且矩形的面積為原直角三角形的一半。通過計算，小明發(fā)現(xiàn)折疊完成后的矩形面積應(yīng)該為3cm2，可是確定不了邊長。你能設(shè)計一個折疊方案嗎？

圖1

圖2

(2)圖2是一個任意三角形紙片，你能用最少的步驟將其折疊成一個矩形，并且面積為原三角形的一半嗎？

設(shè)計意圖：通過問題(1)創(chuàng)設(shè)的簡單實際情境，直接引發(fā)學(xué)生探究興趣，具體的數(shù)據(jù)便于學(xué)生計算推理，學(xué)生可以借助折疊手頭上的紙片模型進(jìn)行操作，同時解決問題(1)的過程也為問題(2)的解決提供了途徑。

2.提示交流

師：在問題(1)中，要想得到面積為3的矩形，可以考慮其兩邊長分別是原直角三角形直角邊的一半。那么應(yīng)該怎么折疊呢？請嘗試一下。

類比問題(1)，考慮矩形的一邊長是BC的一半，一邊長是原三角形高的一半。那么怎么樣折疊能得到這個矩形呢？

設(shè)計意圖：呈現(xiàn)指向明確的問題后，學(xué)生立即置身在一個有趣而富有挑戰(zhàn)性的問題情境中去。這樣的實驗有了問(1)的方法鋪墊不會顯得高不可攀。學(xué)生都抱著“試試看也許能行”的想法動起手來操作，再加上教師的提示，讓他們具有“我可以解決”的信心。此時，學(xué)生的好奇心和求知欲自然而然引導(dǎo)著他們?nèi)ゲ孪搿⒉僮?、推理，甚至自發(fā)去和同學(xué)交流想法，親自經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗以教師為引導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)原則。

3.問題解決

經(jīng)過嘗試，學(xué)生對問題(1)的解決提供了以下方法(如圖3、圖4所示）：

圖3

圖4

在上面兩種折疊方法中，其折疊的順序不同，但是應(yīng)用的原理都是三角形的中位線性質(zhì)，即，由此得到面積為3的矩形。

在問題(1)解決的基礎(chǔ)上，學(xué)生類比得到問題(2)的解決途徑(如圖5所示)：

圖5

若以BC為底邊，先折疊出該邊上的高AD，通過折疊，將點A與點D重合交AC于點E，交AB于點F(即EF為中位線)，最后通過折疊，使點C與D重合，點B與D重合，即可得到面積為一半的矩形ECHF。

(1)精彩歸納

一位平時課堂很少發(fā)言的學(xué)生歸納道：通過上述兩個問題，我發(fā)現(xiàn)將一個三角形折疊成一個面積為一半的矩形的問題，可以通過三角形中位線性質(zhì)來解決，一般步驟是：

第一步：折出三角形的一條高線；

第二步：沿著高線對折，使頂點與垂足重合(即折出第一條中位線)；

第三步：通過對折將剩余的頂點分別與垂足重合(即折出另外兩條中位線）；

此時便能得到面積為原三角形面積一半的矩形。

(2)意外生成

在筆者正準(zhǔn)備出示下一題時，坐在第一排的一位女生小聲嘀咕：“我怎么折出來的是正方形??？”同桌瞄了她一眼道：“你畫的三角形太特殊啦?！庇捎诠P者接下來正好想展示關(guān)于折出正方形的例題，便將該女生的答案呈現(xiàn)(圖 6)。

圖6

圖7

師：這位同學(xué)折出了面積是原三角形一半的正方形，大家能說說原三角形特殊在哪里嗎？

此時學(xué)生炸開了鍋，小組成員之間互相交流討論驗證，特別是提出這個問題的女生，她未曾想到全班學(xué)生都在為她解決問題，顯得十分開心。

師：大家不妨反過來想想，如果四邊形DEFG是一個正方形，你能得到哪些結(jié)論？

經(jīng)過簡單提示，有學(xué)生即刻恍然大悟，分享了自己的推理：由四邊形DEFG是一個正方形可知DG=GF，再利用中位線性質(zhì)，易得AP=BC，也就是說原三角形一邊與它上面的高如果相等，就能折出正方形了。

師：一個不經(jīng)意的疑問可以帶給我們探究的動力與方向，希望大家能勇于提出問題，一起協(xié)商解決。

隨后筆者呈現(xiàn)了事先預(yù)備好的例1，學(xué)生一見到便“哦”聲不斷，因為他們已經(jīng)有了解決方法，同時也十分佩服之前那位女生的無心插柳。

(3)水到渠成

例1：如圖 7所示，已知△ABC 的面積為 8，AC=6，點 D，E，F(xiàn)，G 分別在三角形的三邊上，四邊形DEFG是正方形，且面積為△ABC的一半，求CF的長。

師：想一想，正方形是通過怎樣的折疊得到的？根據(jù)上面的步驟，你能求出哪些線段的長度？這些線段與CF是什么關(guān)系？

生1：由于正方形面積為三角形面積的一半，所以正方形可以由此前的圖6方式折疊得到。

圖6

生2：折疊則易知DG是△ABC的中位線，∵AP⊥BC，

……

師：通過對條件的充分挖掘，我們解決了原本看似不可能完成的任務(wù)，這是大家一起交流合作的成果，希望在接下來的環(huán)節(jié)中，我還能看到你們思維碰撞的火花。

(4)變式鞏固

師：三角形中的矩形面積如果為三角形面積的一半，我們通?？紤]將三角形沿中位線折疊形成，由此便能得到相關(guān)的邊角關(guān)系。多嘗試，多探索，你會隨時樂在其中。請同學(xué)們再次發(fā)揮團(tuán)隊作用，嘗試解決下面的問題。

例2：對于一個等腰三角形，我們可以通過以下方案將其剪拼成與之面積相等的矩形。

方案一：如圖8所示，沿等腰三角形底邊上的高線剪拼成矩形。

圖8

方案二：如圖9所示，先沿等腰三角形的中位線剪一次，再沿剪下來的小三角形的高線剪一次也可以拼成矩形。

圖9

請你設(shè)計一種方案，將圖10的任意三角形分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形。

圖10

短暫思考后，小組交流，學(xué)生代表說說思路。

生4：我們小組認(rèn)為，要剪拼成矩形，可以先剪拼成平行四邊形。再沿著過平行四邊形一頂點的高線裁剪就可以拼成矩形，所以這個問題現(xiàn)在變成“怎樣將一個三角形通過裁剪拼成一個平行四邊形呢”了。

生5：這樣多麻煩，既然能剪成平行四邊形，為什么不一步到位剪成矩形呢？

生6：其實任意三角形和等腰三角形剪法不是類似的嗎？只要找到中位線和高線就可以了。

……

在學(xué)生的思維碰撞中，該問題的設(shè)計思路逐漸清晰，最后歸納出一般三角形的剪拼法：如圖11所示，先將三角形紙片沿著中位線剪(可以拼成平行四邊形)，然后沿著三角形的高線剪就可以拼成矩形。

圖11

生7：兩刀剪出個矩形，不就是“兩刀矩”？

師：這位同學(xué)歸納得很好，確實是很形象呢，這位同學(xué)你可以申請個“專利”。大家不妨猜想下，是不是還會有“兩刀正、兩刀菱”呢？

此時本節(jié)課接近尾聲。

師：三角形通過剪拼能得到面積相等或者面積為一半的矩形，那么一般的四邊形是否也可以實現(xiàn)呢？請同學(xué)們課后去嘗試一下。下課。

(5)課后衍生

當(dāng)天下午，有一個小組的學(xué)生提供了如圖12的剪拼方案，先沿對角線剪開分成二個三角形，然后按例2的方法就可以拼成矩形,此時矩形面積與原四邊形一樣，不過折出面積為一半的矩形方案還沒有想好。

注：學(xué)生的模仿能力強(qiáng)，在不斷模仿中會逐漸產(chǎn)生創(chuàng)新的沖動，圖12的設(shè)計既可以看成是對例2的延續(xù)模仿，但也是有所創(chuàng)新的，能將四邊形分割成兩個三角形進(jìn)行剪拼，本身就是對三角形和四邊形關(guān)系的一種正確認(rèn)識與應(yīng)用。學(xué)生能在次設(shè)計過程中感受到實驗操作的樂趣，同時收獲解決問題后的成功體驗。

圖12

二、教后反思

關(guān)于數(shù)學(xué)實驗的思想，Euler說，數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，還需要實驗；Gauss也說，他的許多定理都是靠實驗、歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補充的手段。英國當(dāng)代數(shù)學(xué)家D.A.約翰遜指出：“數(shù)學(xué)家用以發(fā)現(xiàn)新思想的方法之一是進(jìn)行實驗?！彼且浴缎抡n程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念為指導(dǎo)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容以及學(xué)生的身心特點，引導(dǎo)學(xué)生借助有關(guān)工具(紙張、測量工具、模型、制圖工具、計算機(jī)以及各類軟件)，通過操作、實踐、試驗、推理等一系列過程經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，同時在合作交流中經(jīng)歷感情體驗，獲得成功的喜悅。

1.抓準(zhǔn)起點，融合趣味

數(shù)學(xué)實驗設(shè)計的時候起點要適中，不能過高，會造成學(xué)生的畏難情緒；不能太低，會無法激發(fā)學(xué)生的探究興趣。本節(jié)課教學(xué)起點建立在學(xué)生探究過三角形中位線以及中點四邊形的基礎(chǔ)之上，借助于特殊平行四邊形的相關(guān)知識以及新課講授過程中滲透的剪拼圖形法所進(jìn)行的實驗，從特殊直角三角形到一般任意三角形，從面積的一半到面積相等，遵循了從一般到特殊，從常規(guī)到創(chuàng)新的探究規(guī)律，真正做到了讓學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的實踐中去感受和體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

2.方法滲透，注意提煉

在整個數(shù)學(xué)實驗拓展課的過程中，有一點至關(guān)重要，就是關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透。通過數(shù)學(xué)實驗的直觀展示，讓研究的數(shù)學(xué)規(guī)律以一種“可操作”的形式呈現(xiàn)，讓原本抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律通過學(xué)生手中的紙張、剪刀具象化，并在可視化的操作中掌握數(shù)學(xué)語言的表達(dá)和推理。本節(jié)課中，學(xué)生就很自然將圖形割補、數(shù)形結(jié)合、類比歸納等數(shù)學(xué)思想方法滲透在解決問題的過程中。

3.師生互動，關(guān)注協(xié)調(diào)

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，作為教師，要鼓勵學(xué)生親自動手操作實踐，大膽發(fā)表疑問，對學(xué)生提供的各種答案進(jìn)行充分交流討論；還要引導(dǎo)學(xué)生利用小組合作進(jìn)行思維碰撞，分享彼此的想法；時刻關(guān)注學(xué)生的參與狀態(tài)，及時發(fā)現(xiàn)同學(xué)們一閃而過的“妙招”，適時給予恰當(dāng)?shù)脑u價；找準(zhǔn)時機(jī)進(jìn)行小結(jié)歸納，對解題方法進(jìn)行提煉，促使學(xué)生思考自己已有經(jīng)驗與所要解決的問題之間的聯(lián)系，讓師生之間，生生之間的交流更有效。

4.積累經(jīng)驗，收獲成果

數(shù)學(xué)實驗訓(xùn)練了學(xué)生的學(xué)習(xí)技能，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。學(xué)生在一個個精心設(shè)計的實驗環(huán)節(jié)中不斷積累活動經(jīng)驗，并在已有的基礎(chǔ)知識和基本能力協(xié)助下提升解決問題、質(zhì)疑問題的能力。為了使數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的優(yōu)勢最大化，作為教師要清楚認(rèn)識目前自己學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，為不同層次學(xué)生提供足夠的探索空間，設(shè)計出人人能參與，人人能體驗的活動。如本節(jié)課中，從開始的特殊圖形剪拼到一般圖形，從實踐操作到幾何推理，從模仿到再創(chuàng)，將課內(nèi)知識延伸到課外拓展，一直關(guān)注學(xué)生的教學(xué)活動，讓他們在“折”中體驗，在“做”中反思，在“算”中總結(jié)，積極投入到數(shù)學(xué)知識的探究發(fā)現(xiàn)中去，這不正是學(xué)生基本活動經(jīng)驗的積累過程嗎？