人教A版高中數(shù)學教材若干問題的商榷

徐小琴 張靜

對高中數(shù)學教材中函數(shù)定義、指數(shù)函數(shù)引例、任意角的表示、等差數(shù)列中的省略符號、幾何概型中轉(zhuǎn)盤表示等案例提出質(zhì)疑，并提出若干編寫建議，意在引導學習者研讀教材、質(zhì)疑教材、重構(gòu)教材，從而激發(fā)學習者的科學精神、批判精神、創(chuàng)新精神。

人教A版? 數(shù)學教材? 編寫建議

教材的作用是系統(tǒng)的傳授知識。章建躍先生認為，教材的科學性體現(xiàn)在教材內(nèi)容的準確性，包括素材的準確性，概念原理的正確性，問題解答正確無誤，用詞、術(shù)語、符號、圖表規(guī)范等[1]。教材是使得教學活動按照一定組織方式、邏輯順序、知識體系順利進行的載體，是教師的教與學生的學的聯(lián)系樞紐。教材不僅反映了課程改革的理念，也是指導教師課堂教學、學生學習的依據(jù)[2]。

一、函數(shù)定義不相稱

概念的定義是準確揭示一個概念的內(nèi)涵和外延的邏輯方法，要使概念的定義合理、表述正確，應(yīng)該遵循以下四條規(guī)則：第一，定義要相稱;第二，定義不得循環(huán)、反復;第三，定義要簡明;第四，定義一般不用否定形式[3]。仔細研讀高中數(shù)學教材函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)其定義不科學，與概念定義規(guī)則中的“定義要相稱”相悖。

例1? 關(guān)于函數(shù)的定義，人教A版高中教材給出的定義為[4]： 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作y=f（x），x∈A.

顯然，高中函數(shù)定義的是一元函數(shù)，而一元函數(shù)與二元函數(shù)、多元函數(shù)的外延并不相同，即定義項的外延大于了被定義項的外延，定義過寬。教材是教學實施的基本資料，是多數(shù)一線教師、學生知識獲取的主要來源，具有權(quán)威性與濃厚的信任色彩，定義應(yīng)該做到精確、科學。函數(shù)定義建議更改為“那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個一元函數(shù)（function）”。

二、指數(shù)函數(shù)引例不科學

例2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一節(jié)，在引入新課的環(huán)節(jié)設(shè)計了生物體碳14的含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系P=（■）■（t？叟0）與人口增長模式y(tǒng)=1.07x（x∈N*，x≤20）。從這二式的共同特征中抽象出了指數(shù)函數(shù)，進一步給出指數(shù)函數(shù)的定義，即函數(shù)y=ax，（a>0且a≠1）且叫作指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

我們通過對定義的觀察發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)是有一定結(jié)構(gòu)形式的，即y=ax其中自變量x作為指數(shù)，也就是說此處的指數(shù)若為2x，3x，■x…形式的都不是指數(shù)函數(shù)?；诖薖=（■）■，就不是指數(shù)函數(shù)，正確的形式應(yīng)改為P=[（■）■]■.

根據(jù)生物碳14的衰減規(guī)律來推斷生物死亡年數(shù)，我們不難發(fā)現(xiàn)此處自變量t∈Z，而指數(shù)函數(shù)y=ax中自變量x∈R，且形式應(yīng)嚴格化為形式P=[（■）■]■.作為指數(shù)函數(shù)的引例應(yīng)該要內(nèi)容的準確和形式的規(guī)范，本例中的函數(shù)式嚴格意義上說不滿足指數(shù)函數(shù)定義，混淆學生對概念的理解。函數(shù)是對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的抽象表示，函數(shù)本身不具有現(xiàn)實意義，需通過函數(shù)具有的性質(zhì)并結(jié)合現(xiàn)實意義產(chǎn)生效力作用于現(xiàn)實世界。反之，實際生活的數(shù)據(jù)需要抽象出數(shù)，再借助函數(shù)表示，而抽象的過程不可省略。

三、任意角表示不規(guī)范

例3人教A版必修4第一章第2節(jié)任意角的三角函數(shù)“如圖，設(shè)？琢是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y）[5].”教材用圖1的？琢角表示任意角的方式是不規(guī)范的。

圖1的角？琢顯然是一個屬于（■，？仔）的鈍角，位于第二象限，以x軸正方向為始邊，以O(shè)P為終邊的角。其旋轉(zhuǎn)量及角度是固定的，具有特殊性。教材此處用這樣的一個特殊角來表示具有一般性的任意角顯然是不規(guī)范的。也有研究認為用圖2的方式表述任意角[6]，但是此處角的概念為圓弧所對的圓心角，即始邊與終邊的夾角，應(yīng)將角標注在始邊與終邊之間，而標注在終邊之上僅能表示終邊與單位圓的交點，與交點P重復，與任意角的表述也大相徑庭。因此，筆者認為在表述任意角時去掉旋轉(zhuǎn)量，僅標注角？琢，既能充分表示角的任意性，還能讓學習者充分想象角的正負性（旋轉(zhuǎn)方向順時針或逆時針）。角的始邊與軸正方向重合，旋轉(zhuǎn)方向決定角的正負，終邊為OP。

四、等差數(shù)列省略符號意難測

例4 人教A版高中數(shù)學教材必修5等差數(shù)列一節(jié)習題2.2（A組），教材40頁第5題，給出某種昆蟲爬行速度的記錄，如下表所示[7]。

問題需要學生建立等差數(shù)列的模型，表示甲蟲爬行距離與時間之間的關(guān)系。

根據(jù)已有數(shù)據(jù)難以確定甲蟲的爬行距離與時間之間滿足等差數(shù)列的定義，因為省略號部分的運動情況不得而知，或許單位時間內(nèi)甲蟲的爬行距離逐漸縮短，亦或甲蟲某個時間段停滯不前。

省略號的使用是判定數(shù)列是否為等差數(shù)列的陷阱。省略號省去的部分未必按照前面的規(guī)律傳遞下去，此時省略號不具有傳遞性。因此，筆者建議在表述等差數(shù)列時，一種是窮舉，即將數(shù)列每一項表示出來，如數(shù)列1，3，5，7，9，11，13，15。另一種是將等差數(shù)列的通項寫出，如數(shù)列1，3，5，7，9，…，2n-1，…

五、幾何概型轉(zhuǎn)盤意義模糊

例5 人教A版高中數(shù)學教材必修3第135頁幾何概型。圖3中有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲。規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝。在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少[8]？

圖3中轉(zhuǎn)盤分為B，N兩個區(qū)域，其中轉(zhuǎn)盤分區(qū)規(guī)則、比例并未標注。如第一個轉(zhuǎn)盤未注明小區(qū)域N，B的相同，大區(qū)域的N，B也相同。第二個轉(zhuǎn)盤未注明轉(zhuǎn)盤每個區(qū)域均勻劃分。教材用“顯然”兩字得到區(qū)域的劃分比例實屬不易。建議在問題中注明轉(zhuǎn)盤劃分規(guī)則。本題轉(zhuǎn)盤指針指向區(qū)域的概率本質(zhì)為指針指向不同區(qū)域圓心角的范圍。與區(qū)域面積或弧長、指針長度非本質(zhì)聯(lián)系。本題的轉(zhuǎn)盤改為三角形、正方形、梯形等，其區(qū)域面積或弧長之比可能發(fā)生變化，而圓心角之比不變，此題結(jié)果不變。

參考文獻

[1]中國教育學會.如何在教材編寫中落實核心素養(yǎng)？[EB/OL].[2017-02-22].http：//www.sohu.com/a/126953497_387107.

[2] 嚴卿，胡典順.中國和日本初中數(shù)學教材中問題提出的比較研究[J].數(shù)學教育學報，2016（02）.

[3] 翁凱慶.數(shù)學教育概論[M].成都：四川大學出版社，2007.

[4] 劉紹學，等.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5] 劉紹學，等.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[6] 王佩，趙思林.對人教A版高中數(shù)學教材中幾個問題的商榷[J].教學與管理，2018（02）.

[7] 劉紹學，等.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修5（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[8] 劉紹學，等.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修3（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

【責任編輯? 郭振玲】