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    “新知”遇上“舊知”:引導(dǎo)學(xué)生想通想透
    ——從一篇學(xué)生寫作說起

    2019-11-13 14:04:26江蘇省海安市海陵中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年22期
    關(guān)鍵詞:銳角三角負(fù)數(shù)一元二次方程

    江蘇省海安市海陵中學(xué) 吳 晶

    一、從一篇學(xué)生習(xí)作說起

    這是筆者所帶班級(jí)在初學(xué)一元二次方程后,安排學(xué)生所寫數(shù)學(xué)周記,從中收集的一篇優(yōu)秀學(xué)生寫作.

    當(dāng)一元二次方程遇上線段

    小柯(學(xué)生化名)

    從小學(xué)開始,我們便與線段打交道,有關(guān)線段的問題更是數(shù)不勝數(shù),那么,當(dāng)線段遇上一元二次方程時(shí)又會(huì)擦出什么樣的火花呢?下面,我將用一道例題和大家探討一元二次方程與線段的關(guān)系.

    問題:如圖1,線段AB的長(zhǎng)為1.

    圖1

    (1)線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式AC2=BC·AB,求線段AC的長(zhǎng)度.

    (2)線段AC上的點(diǎn)D滿足關(guān)系式AD2=CD·AC,求線段AD的長(zhǎng)度.

    (3)線段AD上的點(diǎn)E滿足關(guān)系式AE2=DE·AD,求線段AE的長(zhǎng)度.

    解:設(shè)AC=x,則BC=AB-AC=1-x.

    因?yàn)锳C2=BC·AB,所以x2=1×(1-x).

    整理得x2=1-x,解得(不合題意,舍去),所以AC的長(zhǎng)度為

    類似的,可設(shè)AD=x,則CD=AC-x.

    因?yàn)锳D2=CD·AC,所以x2=AC·(AC-x),則x2+AC·x-AC2=0.

    經(jīng)整理發(fā)現(xiàn):AB∶AC=AC∶BC.我在網(wǎng)上檢索了一下這種奇異的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)這是一種“黃金分割”的概念,也就是若線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式AC2=BC·AB,則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).據(jù)網(wǎng)上介紹,黃金分割在大自然界、動(dòng)植物、藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域有著非常廣泛的存在.看來當(dāng)一元二次方程遇上線段之后,又得到了線段的一個(gè)奇異性質(zhì)“黃金分割”,數(shù)學(xué)的世界真是博大、美妙,有待我們進(jìn)一步探索和發(fā)現(xiàn).

    簡(jiǎn)評(píng):小柯同學(xué)這篇數(shù)學(xué)寫作關(guān)注了線段“黃金分割點(diǎn)”問題,運(yùn)用新學(xué)一元二次方程的工具研究了這個(gè)新的概念.小文章的標(biāo)題中有關(guān)鍵詞“遇上”,這個(gè)“遇上”是值得一說的.因?yàn)閿?shù)學(xué)來源于生活,抽象于生活,并獲得了一種數(shù)學(xué)活力,繼續(xù)生長(zhǎng),不斷擴(kuò)張,幾千年來,越來越多的數(shù)學(xué)概念被創(chuàng)造(發(fā)明)或發(fā)現(xiàn),而運(yùn)用這些新的數(shù)學(xué)概念或新的數(shù)學(xué)工具解決(有時(shí)換一種視角進(jìn)行再認(rèn)識(shí))一些“舊問題”或“經(jīng)典問題”,往往就能獲得更多、更新及更有深度的認(rèn)識(shí)和理解.

    二、初中數(shù)學(xué)“新概念”遇上“舊概念”的案例

    由學(xué)生提到的一個(gè)新概念遇上之前的舊概念,引發(fā)我們思考在初中階段的很多類似案例,下面列舉一些案例,供研討.

    案例1:“新的運(yùn)算”遇上“運(yùn)算律”

    初中階段數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充,從七年級(jí)一開始就引入負(fù)數(shù),數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)范圍,在有理數(shù)的一些相關(guān)概念(如相反數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值等)學(xué)習(xí)之后,就是學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算,有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算都有各自的運(yùn)算法則,都不同于小學(xué)階段的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則.然而它們遵循一個(gè)共性——“運(yùn)算通性”(加法交換律、結(jié)合律,乘法對(duì)加法的分配律).這就是說,當(dāng)一類新數(shù)(或式)的運(yùn)算引進(jìn)之后,先討論了它的運(yùn)算法則,接下來還需要靈活運(yùn)用“運(yùn)算通性”(運(yùn)算律)進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算,這也就使得運(yùn)算不只是機(jī)械、死算,而是需要“相機(jī)行事”和智慧決策.在初中各個(gè)階段教學(xué)進(jìn)程中,要注意向?qū)W生傳遞數(shù)式運(yùn)算的研究路徑:數(shù)式的概念及相關(guān)概念→數(shù)式的運(yùn)算→靈活利用“運(yùn)算通性”簡(jiǎn)化運(yùn)算.

    案例2:“平行”遇上“平分”

    七年級(jí)圖形初步認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)時(shí),往往對(duì)幾何的基本圖形直線、射線、線段研究之后,就重點(diǎn)學(xué)習(xí)“角”.而與角相關(guān)的一個(gè)要素或概念就是角的平分線,對(duì)角的平分線的研究只涉及它的定義、性質(zhì)(由定義得到的性質(zhì)).當(dāng)后續(xù)繼續(xù)學(xué)習(xí)平行線之后,在同一個(gè)圖形中,角平分線往往會(huì)與平行線相遇,這時(shí)就會(huì)得到基本圖形(如圖2),AB∥CD、AD平分∠CAB.一定有∠CAD=∠CDA.

    圖2

    圖3

    七年級(jí)平行線學(xué)習(xí)之后對(duì)這類問題要重視從正、反角度進(jìn)行變式訓(xùn)練,上述3個(gè)條件可以幫助學(xué)生總結(jié)出“知二推一”.因?yàn)檫@種基本圖形很容易在八年級(jí)等腰三角形中得到進(jìn)一步的應(yīng)用.比如給出圖3,在△ABC中,BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB,過點(diǎn)F作DE∥BC,分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn),可以安排學(xué)生證明DE=BD+CE,或者給出AB、AC的長(zhǎng),求△ADE的周長(zhǎng).我們一直強(qiáng)調(diào)要從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā),從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā),如果能多重視之前學(xué)習(xí)路上一些經(jīng)典問題,則學(xué)生往往會(huì)有一種親切感,并且運(yùn)用新知識(shí)之后可以獲得對(duì)原有問題更加深刻的理解.

    案例3:“完全平方公式”遇上“非負(fù)數(shù)”

    在七年級(jí)引入負(fù)數(shù)之后,數(shù)系很快擴(kuò)充到有理數(shù)、實(shí)數(shù),并且隨著相關(guān)概念如絕對(duì)值、乘方的出現(xiàn),有一類“非負(fù)數(shù)”的概念常常出現(xiàn),并且在不少解題中作為關(guān)鍵步驟需要攻克.這里應(yīng)用較多的關(guān)于非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就是:幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0,比如|x-2|+(y+5)2=0.

    到了學(xué)習(xí)整式乘除與因式分解之后,又出現(xiàn)了完全平方式這個(gè)重要概念,形如y2+10y+25的式子可以分解為(y+5)2,稱這樣的二次三項(xiàng)式為完全平方式.類似的,可以得到:如果幾個(gè)完全平方式的和為0,則它們都為0.所以,在學(xué)習(xí)完全平方式之后常常有類似的練習(xí),比如,已知△ABC的三邊分別是a、b、c,且它們滿足等式2a2+b2+c2-2a(b+c)=0,試判斷△ABC的形狀.

    案例4:“二次函數(shù)”遇上“根的判別式”

    學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí),通過配方法演算出求根公式法,根據(jù)配方法的限制條件可知,在啟動(dòng)代入公式運(yùn)算之前,要先計(jì)算出根的判別式(b2-4ac)的值,為后續(xù)求解提供關(guān)鍵一步,因?yàn)殡S著根的判別式取值的正、0或負(fù),一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解的情況就能得到確定.二次函數(shù)的學(xué)習(xí),是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的好機(jī)會(huì),比如,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)的探究往往對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)解問題,可以利用根的判別式進(jìn)行演算分析,從而把拋物線的圖像問題用數(shù)式進(jìn)行理解,也就是所謂“以數(shù)馭形”.

    案例5:“銳角三角函數(shù)”遇上“特殊直角三角形”

    初中階段三角函數(shù)安排在最后一學(xué)期才接觸,并且只是涉及非常簡(jiǎn)單的銳角三角函數(shù),又是基于直角三角形進(jìn)行定義和研究的,初中階段對(duì)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)與研究非常依賴特殊直角三角形,比如含30°或含45°的直角三角形,也就是學(xué)生畫圖工具中的一個(gè)三角尺形狀的三角形.另外,還有一些特殊形狀的直角三角形(如兩條直角邊之比是1∶2,或兩條直角邊之比是1∶3,還有兩條直角邊之比是3∶4等)也值得重視.教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此前已接觸的一些特殊直角三角形,從三角函數(shù)的邊角關(guān)系的視角出發(fā)進(jìn)行研究和理解.從目前應(yīng)試指導(dǎo)的現(xiàn)實(shí)考慮,要引導(dǎo)優(yōu)秀學(xué)生擺脫過分依賴勾股定理求邊長(zhǎng)的方法,而要善于基于銳角三角函數(shù)的角度利用邊角關(guān)系直接“看”或“讀”出這些特殊直角三角形中相關(guān)線段的長(zhǎng).

    三、結(jié)束語

    李大潛院士曾說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要讓學(xué)生感受到一種愉悅感,并且認(rèn)為這種愉悅感應(yīng)該來自數(shù)學(xué)在發(fā)展過程中對(duì)之前一些疑惑問題的釋然.比如,小學(xué)階段用算術(shù)解法處理雞兔同籠問題是“超級(jí)難題”,但是到了初中七年級(jí)運(yùn)用一元一次方程可輕松解決,可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其中的愉悅感,感受到數(shù)學(xué)發(fā)展、工具引入的優(yōu)越感.我們?cè)谏厦嬗蓪W(xué)生的一篇習(xí)作出發(fā),思考了初中階段一些新知“遇上”舊知的案例,并不全面,也不一定準(zhǔn)確,敬請(qǐng)批評(píng)指正.

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