捕捉生成：開放式教學(xué)的課堂關(guān)鍵
——以拋物線背景下的專題復(fù)習(xí)課為例

江蘇省泗陽(yáng)縣眾興中學(xué) 周同虎

中考復(fù)習(xí)階段，以二次函數(shù)的圖像（拋物線）為背景的綜合題困擾著很多學(xué)生，也是專題復(fù)習(xí)的一個(gè)熱點(diǎn)課題.本文整理近期開設(shè)的一節(jié)以拋物線為背景的綜合題專題復(fù)習(xí)課，記錄課例的打磨過(guò)程，并跟進(jìn)反思，供研討.

一、以拋物線為背景的專題復(fù)習(xí)課例概述

說(shuō)明：為了有助于更多年輕教師看到課例的原貌與打磨后的課堂記錄，我們將一些備課初稿一并呈現(xiàn)，并簡(jiǎn)述組內(nèi)打磨意見，再記錄課堂生成的一些片段.

問(wèn)題1：如圖1，已知直線與拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn).求：

圖1

（1）x1x2；

（2）y1y2.

組內(nèi)打磨：這是封閉式問(wèn)題，可以改為開放式問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們提出兩個(gè)問(wèn)題，并解答；然后小組內(nèi)交流，再全班匯報(bào).教師要充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能提出的問(wèn)題，不只是“（1）x1x2；（2）y1y2”，如果學(xué)生沒(méi)有提到這兩個(gè)乘積式，教師可通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生得出這兩個(gè)乘積式.這個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)計(jì)學(xué)生獨(dú)立思考3分鐘，小組交流2分鐘，全班匯報(bào)，教師追問(wèn)或點(diǎn)評(píng)5～8分鐘，預(yù)計(jì)13分鐘以內(nèi).

打磨后課堂實(shí)錄：

師：同學(xué)們根據(jù)問(wèn)題1的“題干”，能設(shè)計(jì)出哪些題目？請(qǐng)以小組為單位，看哪個(gè)小組設(shè)計(jì)得又多又好，并能說(shuō)出其解法.

教師查看每個(gè)小組的活動(dòng)情況，并由學(xué)生將小組內(nèi)不同的問(wèn)題呈現(xiàn)到黑板上.

生1：①求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；②求AB的長(zhǎng)；③求S△ABO；④求∠AOB的度數(shù).

師：很好，請(qǐng)同學(xué)們分別說(shuō)出這些問(wèn)題的解決方法.

生2：對(duì)于①，聯(lián)立方程得一元二次方程.求出點(diǎn)A（3，1）、B（-27，81）.對(duì)于②，用距離公式求出AB的長(zhǎng).對(duì)于③，用割補(bǔ)法，可以用鉛直高乘水平寬，或者補(bǔ)成梯形，用梯形面積減去兩個(gè)直角三角形的面積.對(duì)于④，∠AOB的度數(shù)為90°，由點(diǎn)A（3，1）、B（-27，81）可以求出OB2、OA2、AB2，則OB2＋OA2=AB2，從而得到∠AOB=90°.

師：同學(xué)們回答得都很好，老師這兒有兩個(gè)問(wèn)題：求x1x2和y1y2，同學(xué)們能求出來(lái)嗎？

生3：可以將求得的x1、x2的值直接代入求值，再將其值代入求出y1、y2的值.

生4：可以用整體思想，聯(lián)立方程得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2的值為-81，然后代入拋物線方程求得y1y2=

師：請(qǐng)一名學(xué)生重復(fù)剛才的思路.同學(xué)們可以思考一下：能否將x1、x2代入直線，求得y1y2？同學(xué)們下課后可以試試.現(xiàn)在我們將其一般化，過(guò)渡到“問(wèn)題2”，請(qǐng)同學(xué)們觀察問(wèn)題2與問(wèn)題1的不同.

問(wèn)題2：直線y=-kx＋9與拋物線y=相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn).求y1y2.

組內(nèi)打磨：?jiǎn)栴}2的設(shè)問(wèn)是“封閉式”，仍然可以將“求y1y2”刪去，繼續(xù)改為開放式問(wèn)題，追求開放的數(shù)學(xué)教學(xué).

刪減問(wèn)題后，課堂記錄如下：

師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比下，問(wèn)題2與問(wèn)題1有什么不同？

生：（齊）問(wèn)題1中直線的斜率k確定，而問(wèn)題2中直線的斜率k不確定.

師：同學(xué)們剛才基于“問(wèn)題1”提出的一些問(wèn)題還能解決嗎？說(shuō)出理由.

生1：①不能，因?yàn)椴恢纊的值，聯(lián)立的一元二次方程不可以求解.②不能.③不可以，因?yàn)槊娣e等于鉛直高乘水平寬，鉛直高定，水平寬不定.④可以，同樣可以用勾股定理的逆定理得到∠AOB為90°.

師：證明直角還有其他方法嗎？

生2：還可以作垂直，構(gòu)造相似.

生3：可以利用整體思想求得k1k2=-1，從而得到∠AOB=90°.

師：那如何求y1y2呢？

生4：可以用整體思想，聯(lián)立方程得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2的值為-81，然后代入拋物線方程求得

生5復(fù)述步驟.

師：通過(guò)剛才“問(wèn)題1”“問(wèn)題2”的研究，同學(xué)們思考一下：直線y=kx+b和拋物線y=ax2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1、y2的積y1y2有什么特點(diǎn).

生：y1y2的值只與直線y=kx+b和拋物線y=ax2中的b和a有關(guān).

師：很好，同學(xué)們課后還可繼續(xù)深入探究：a、b之間會(huì)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？我們繼續(xù)研究下面的“問(wèn)題3”.

問(wèn)題3：如圖2，直線y=kx＋8與拋物線y=x2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn).

（1）小智同學(xué)認(rèn)為點(diǎn)（y1，y2）一定在反比例函數(shù)的圖像上.你覺(jué)得小智正確嗎？為什么？

圖2

（2）求證：x1·OB＋y2·OA=0.

生1：聯(lián)立方程得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2的值為-64，然后代入拋物線方程求得y1y2=說(shuō)明小智的發(fā)現(xiàn)是正確的.

師：回答得很好，大家獨(dú)立挑戰(zhàn)第（2）問(wèn).

教師在巡視過(guò)程中找到學(xué)生的如下解法（如圖3），講評(píng)時(shí)先投影這種解法，再請(qǐng)這個(gè)學(xué)生講解他的思路.

圖3

師：他的方法有問(wèn)題嗎？你們有沒(méi)有看懂？

生：（多名學(xué)生）不對(duì).

師：錯(cuò)在哪兒？如何改正？

生2：默認(rèn)了∠AOB，必須證明∠AOB=90°.

師：證明直角可以用哪些方法？

生3：勾股定理的逆定理，構(gòu)造相似（一線三垂直），k1k2=-1.

師：（板書）好，哪名同學(xué)來(lái)講解這道題的具體思路？

生4：由x1x2=-64，y1y2=64，得x1x2=-y1y2，將數(shù)值轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度可得：OM·ON=AM·BN，即.又∠AMO=∠ONB=90°，則即OM·OB=BN·AO，則-x1·OB=y2·OA，即x1·OB＋y2·OA=0.

師：很好.布置一道課后作業(yè)，請(qǐng)同學(xué)們練習(xí)今天復(fù)習(xí)內(nèi)容的變式問(wèn)題.

變式再練：如圖4，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx＋2028與頂點(diǎn)為C的拋物線＋2019相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn).

圖4

（1）求證：點(diǎn)（y1-2019，y2-2019）在反比例函數(shù)y=的圖像上；

（2）小慧提出問(wèn)題：若等式x1BC＋y2AC=mAC恒成立，則實(shí)數(shù)m的值為2019，請(qǐng)通過(guò)演算分析小慧提出的問(wèn)題是否正確.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.精心留白設(shè)問(wèn)，從封閉走向開放

從上面整理的課例看出，我們對(duì)問(wèn)題1、問(wèn)題2原有設(shè)問(wèn)都進(jìn)行了留白式設(shè)計(jì)，使得上課時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，學(xué)生從問(wèn)題條件出發(fā)，進(jìn)行了有深度的探究、組內(nèi)交流研究、大組匯報(bào)展示.這樣的解題教學(xué)就從封閉式走向了開放式，學(xué)生的參與熱情得到激發(fā)，思維也更多地被卷入數(shù)學(xué)問(wèn)題之中.這事實(shí)上也就是鄭毓信教授倡導(dǎo)的用開放題驅(qū)動(dòng)開放式教學(xué)的一次積極實(shí)踐.

2.重視生成資源，引導(dǎo)辨析與究錯(cuò)

由于問(wèn)題開放，學(xué)生在課堂上的精彩生成也就多了，這時(shí)教師作為學(xué)程的組織者，要善于駕馭課堂，及時(shí)捕捉生成性資源，并用好這些生成性資源，讓更多的學(xué)生參與辨析與究錯(cuò).比如，上面課例中，我們就在巡視過(guò)程中收集了一種學(xué)生的典型錯(cuò)誤解法，投影展示之后讓學(xué)生參與究錯(cuò)，找出“想當(dāng)然”的一種錯(cuò)誤，使得學(xué)生的錯(cuò)誤資源成為教學(xué)素材，當(dāng)然，這也正是小學(xué)數(shù)學(xué)著名特級(jí)教師華應(yīng)龍老師倡導(dǎo)的“化錯(cuò)教育”.