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    淺談高中立體幾何解題

    2019-11-12 07:39:12周根旺
    關(guān)鍵詞:立體幾何讀題解題

    周根旺

    [摘 ? 要]立體幾何解答題是歷年高考必考的熱點(diǎn),對部分學(xué)生來說是一大難點(diǎn),他們往往找不到解題的突破口.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是讀好題.讀題有明確的思維步驟,讀題時可按照“初讀[→]聯(lián)想讀題[→]結(jié)合問題讀題[→]回顧”的步驟進(jìn)行.

    [關(guān)鍵詞]立體幾何;讀題;解題

    [中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058(2019)26-0023-01

    立體幾何抽象、邏輯性強(qiáng),學(xué)生覺得難學(xué)不易掌握.其解答題更是學(xué)生的一大難點(diǎn),學(xué)生往往找不到解題的突破口.對于立體幾何問題,讀題是解決問題的關(guān)鍵,讀題需要有明確的思維步驟.

    第一步,初讀——數(shù)形結(jié)合.

    閱讀時全局把握,將信息在圖中對應(yīng)勾畫,把數(shù)與形結(jié)合起來;明確題目中的面面、線面、線線之間的關(guān)系.重點(diǎn)留意圖形中的面面垂直、線面垂直、線線平行、線面平行等關(guān)系;挖掘幾何體中的隱含條件,弄清問題的類型;對照圖形將已知條件回顧一遍,避免解題時將條件漏掉,導(dǎo)致問題無法解答.

    第二步,聯(lián)想讀題——條件轉(zhuǎn)化.

    認(rèn)真分析已知條件,展開聯(lián)想,進(jìn)行推理,將每一個條件細(xì)化和衍生.其實(shí),就是對已知條件的再加工.有時,需先研究清楚空間幾何體的某一個面.當(dāng)題中某一個面中關(guān)系較多時,可將此面單獨(dú)畫出來,以便于充分利用圖形提供的信息解決問題.有時,也可通過作截面將三維問題二維化.有的問題,條件是以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中,審題時要善于觀察圖形,挖掘圖形中所隱含的特殊關(guān)系.條件給出具體數(shù)據(jù)較多時,可以通過數(shù)值計(jì)算得出一些位置關(guān)系.

    第三步,結(jié)合問題讀題——尋找結(jié)論成立的充分條件.

    從問題本身出發(fā),聯(lián)想常規(guī)解決模式,思考問題解決途徑,尋找所需要的條件.把握已知與未知間的聯(lián)系,并及時提取記憶中的有關(guān)信息,構(gòu)思解決方案.如果這些條件題目中沒有直接給出,可尋找與之接近的條件或結(jié)合第二步“聯(lián)想讀題”轉(zhuǎn)化所得的條件.通常,第二步中對某一平面的研究會發(fā)現(xiàn)解決問題的許多條件,應(yīng)加以重視.

    第四步,回顧——查漏補(bǔ)缺.

    解題后還需要回顧,觀察已知條件有沒有用到位、是否有疏漏,角度范圍是否合理,求解過程與求解結(jié)果是否統(tǒng)一,解答過程是否規(guī)范.

    [例題](2016·天津卷)如圖1所示,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=[6],DE=3,∠BAD=60°,G為BC的中點(diǎn).

    (1)求證:FG∥平面BED;

    (2)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

    讀題第二步:

    ①[四邊形ABCD是平行四邊形?]AB[∥]CD,BC[∥]AD;

    ②EF∥AB [?] EF∥面ABCD,EF∥CD;

    [③ ? ? ? ? ? AB=2BC=AD=1∠BAD=60°?BD⊥AD ? ? ? ? ? ? ? 面AED⊥面ABCD][?BD⊥面AED?面BDE⊥面ADE;]

    ④由“G為BC的中點(diǎn)”通常會聯(lián)想到“三線合一”“中位線”“直角三角形中線性質(zhì)”.

    讀題第三步:

    (1)求證FG∥平面BED聯(lián)想常用方法:

    ①線面平行的判定,線線平行(在面BED中找一線與FG平行),通常尋找中位線或構(gòu)造平行四邊形.

    ②面面平行的性質(zhì)定理,[過FG的一個平面]∥面BEG.

    ③定義,線面無交點(diǎn)(反證法).

    本題在面BED中尋找與線BD平行的線,根據(jù)前面的分析,取BD的 中點(diǎn)為O,抓住中位線.當(dāng)然,有時也可讓學(xué)生直觀觀察線的大體位置,形成直觀感覺,再到線,然后加以證明.OG∥DC且OG=DC=1.又因?yàn)镋F∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FG∥OE.

    (2) 求直線EF與平面BED所成角的正弦值常用方法:

    ①作線面角:作(找)面的垂線,找斜線的射影,斜線與射影所成角即線面角.

    ②線面角不好作時,可計(jì)算斜線上一點(diǎn)到面的距離(即垂線段長度),通??捎玫润w積法、對稱點(diǎn)法或平行線轉(zhuǎn)化法.垂線段的長除以斜線段的長即為線面角的正弦值.

    ③平行線轉(zhuǎn)化,兩條平行線與同一平面所成角相等.本題EF∥AB,所以直線EF與平面BED所成的角,即為直線AB與平面BED所成的角.過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H,連接BH.又平面BED ∩平面AED =ED,由(2)知平面BED⊥平面AED,所以AH⊥平面BED,所以直線AB與平面BED所成的角即為∠ABH.

    通過以上讀題,問題基本得到解決,部分學(xué)生如果在解題過程中被卡住,建議再次審題,從已知條件出發(fā)檢查是否有信息漏掉.

    (責(zé)任編輯 黃春香)

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