細(xì)節(jié)重建，讓數(shù)學(xué)思維可視化

瞿芬

[摘? 要] 當(dāng)代數(shù)學(xué)家R.柯朗認(rèn)為數(shù)學(xué)是對思想及方法的基本研究，需要學(xué)習(xí)者通過數(shù)學(xué)猜想、演繹操作、思辨交流等形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)。但小學(xué)階段的孩子們，受自身數(shù)學(xué)思維水平的高低所制，學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果往往產(chǎn)生了很大偏差。為緩解這樣的差距產(chǎn)生，在課堂教學(xué)中，設(shè)想借以細(xì)節(jié)重建的方式，突破芥蒂讓學(xué)生將自己在問題解決時看不見的思維路徑、方法及相關(guān)的規(guī)律用圖示或文字描述等形式呈現(xiàn)。文章以“三角形面積的計(jì)算練習(xí)課”為例，從問題解決的思路、方法兩個角度展開論述，闡明了讓數(shù)學(xué)思維可視化、顯現(xiàn)化對學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的必要性。

[關(guān)鍵詞] 細(xì)節(jié)重建;小學(xué)數(shù)學(xué);思維可視化

知識的傳授是一個復(fù)雜、持續(xù)的過程，學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果往往受到自身數(shù)學(xué)思維水平的高低所制，產(chǎn)生很大的偏差。數(shù)學(xué)思維是看不清、摸不著的身體機(jī)能的反映，很難讓教師對學(xué)生學(xué)習(xí)的掌握程度做出一個明確的評判?；诖耍瑢⑺季S可視化的理念引入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，無疑是一個及有意義的實(shí)踐嘗試。何為“數(shù)學(xué)思維可視化”？讓學(xué)生將自己在問題解決時看不見思維路徑、方法及相關(guān)的規(guī)律用圖示或文字描述等形式呈現(xiàn)。思維可視化并非簡單的形式操作，它必須建立在教師對教材文本的精準(zhǔn)研讀、對課堂環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì)、對教學(xué)重難點(diǎn)的細(xì)節(jié)處理，只有在課堂教學(xué)中能發(fā)現(xiàn)和優(yōu)化教學(xué)細(xì)節(jié)，適度地捕捉和利用一些輔助的課堂資源，讓學(xué)生在生動的場景中呈現(xiàn)自己學(xué)習(xí)的全過程，才能讓這樣的學(xué)習(xí)理念落地開花。

■一、改弦易轍，讓隱性的解題思路顯現(xiàn)化

當(dāng)代數(shù)學(xué)家R.柯朗認(rèn)為數(shù)學(xué)是對思想及方法的基本研究，需要學(xué)習(xí)者通過數(shù)學(xué)猜想、演繹操作、思辨交流等形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)。因此，讓學(xué)生掌握知識內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域的相連點(diǎn)，必須在深度挖掘知識的豐富內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，跨越知識表層的學(xué)習(xí)，建立數(shù)學(xué)思維活動新模式，進(jìn)而凸顯最高級的學(xué)習(xí)價值，使常態(tài)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具備可期、動態(tài)、延續(xù)等特性。為此，教師對教學(xué)細(xì)節(jié)進(jìn)行重建、對學(xué)習(xí)媒介進(jìn)行充分的運(yùn)用，能在很大程度上讓學(xué)生數(shù)學(xué)的思維“動”起來、“說”出來，突破轄制的空間將問題解決的思維路徑、規(guī)律呈現(xiàn)出來。

1. 設(shè)計(jì)“靜”到“動”的路徑，突破變與不變的局限

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的基本要素，是一種靜態(tài)的資源呈現(xiàn)，為了能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識意義，主動探索、發(fā)現(xiàn)知識的聯(lián)系，必須讓其經(jīng)歷從不平衡到平衡、變與不變中不斷反復(fù)應(yīng)變的過程，才能理解概念并加以靈活地運(yùn)用。特別是在小學(xué)數(shù)學(xué)高段的學(xué)習(xí)中，更應(yīng)注重學(xué)生綜合應(yīng)用多個概念的融合處解決問題能力的培養(yǎng)。因此，設(shè)計(jì)好從“靜”到“動”的路徑，無疑能使概念的形成達(dá)到“水到渠成”之境，更能讓學(xué)生在“畫面感”中得到意向的同化。

【教學(xué)片段回放一】

任務(wù)驅(qū)動，感知“等底等高、面積相等”。

出示任務(wù)一：以BC為底，畫出與△ABC面積相等的三角形（見圖1）。

學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)一。

出示學(xué)生的作品（略）并反饋交流。

師：這些三角形的面積都相等嗎？為什么？

生1：這些三角形的面積都相等，因?yàn)槠叫芯€之間的距離處處相等，高就相等，再加上都是以BC為底，所以面積都相等。

師：像這樣的三角形還有嗎？

生2：有，很多。

（教師借用幾何畫板，在平行線上移動點(diǎn)“A”得出多個面積相等的三角形）

師：我們可以移動點(diǎn)A在這里，還可以在這里，還可以在哪里？想象一下，這里可以嗎？

師：如果這個A點(diǎn)移動到右邊呢，想象一下，會是怎么樣的？

師：依照這樣的移動軌跡，你覺得A點(diǎn)要符合什么條件？

生3：一定要在平行線上就可以。

師：同學(xué)們想象一下這樣的三角形你可以怎么畫，畫出的圖可能會怎么樣？

……

師：同學(xué)們，剛才我們在頭腦里畫了這么多面積相等的三角形，你有什么體會？

生4：可以畫出無數(shù)個形狀完全不同，但面積相等的三角形。

生5：這些三角形的底和高相等，面積也相等。

小結(jié)：形狀各異的三角形只要等底等高，面積就相等。

……

學(xué)生頭腦中的圖像基本上是片段式、靜態(tài)存在的，受自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的限制對一些幾何形體的理解就愈發(fā)覺得困難。在本課的這個環(huán)節(jié)回放中我們可以清晰地感受到教師并不拘于單純表象的建立，將學(xué)習(xí)的任務(wù)就簡單地停滯在判斷三個三角形的面積是不是相等。而是善于捕捉住課堂教學(xué)的每個細(xì)節(jié)，通過設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)問題展示學(xué)習(xí)的路徑，借用幾何畫板的動態(tài)演示促使學(xué)生頭腦中的片段融會貫通，讓點(diǎn)A成為一個“動點(diǎn)”，通過移一移、想一想、議一議有意識地讓比較抽象、靜態(tài)、不易理解的“等底等高，形狀不同，面積卻相等的三角形”這個知識點(diǎn)在“靜動融合、數(shù)形聯(lián)系”的方式下，尋找到數(shù)學(xué)知識“變”與“不變”的立意之處，即兼顧學(xué)生的體會，又能在頭腦中很鮮明地構(gòu)建這樣的一個空間感，讓學(xué)生的思維動起來、活起來，在想象中成形，真正做到從小入手，見微知著。

2. 確立“分”到“合”的路徑，感悟同與不同的縝密

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個獲取數(shù)學(xué)思想、掌握學(xué)習(xí)方法、歸結(jié)方法步驟的過程，學(xué)生在經(jīng)歷大量的實(shí)踐活動中，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，突破認(rèn)知的轄制進(jìn)而獲得新知。但在實(shí)際的課堂教學(xué)中教師會以最后的學(xué)習(xí)結(jié)論為依據(jù)，忽視學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的建立。如何將無形的數(shù)學(xué)思想得以完整地構(gòu)建，感悟到解數(shù)學(xué)思想的精髓，進(jìn)行知識的有效遷移，就需要教師舒展教學(xué)細(xì)節(jié)，關(guān)注動態(tài)建構(gòu)，讓學(xué)生在同與不同的辨析中感悟所學(xué)。

【教學(xué)片段回放二】

運(yùn)用“等積變形”，化“未知”為“已知”。

出示任務(wù)二：求出△ABD的面積（見圖2）。

反饋交流：

師：你遇到了什么困難？

生1：△ABD的底和高不知道，沒辦法求出它的面積。

師：誰有好建議嗎？

生2：我覺得△ABD的面積可以通過△ABC求得。

師：說說你是怎樣想的。

生3：從圖上可以看出，△ABD和△ABC是等底等高的。

師：你們同意他的想法嗎？誰看出來了，能上來在圖上指一指，為什么等底、為什么等高？

生4：△ABD和△ABC有一條共同的底AB，且點(diǎn)C和D都在同一條平行線上，如果移動C到D，他們就完全重合了，如果移動D到C，他們也完全重合，所以△ABD和△ABC的面積相等，如果利用△ABC的已知條件求出面積，那么△ABD的面積也就知道啦。

師：你覺得他的想法有道理嗎？我們也來移一移。

（教師利用幾何畫板動態(tài)演示）

師：我們剛才是怎么求出底和高都不知道的兩個三角形的面積的？

師：是的，利用“等底等高的三角形的面積相等”這個規(guī)律，我們可以把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題。

……

把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，是學(xué)生所要理解和掌握的一個學(xué)習(xí)方法。在本環(huán)節(jié)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)“盲區(qū)”出現(xiàn)的時候，教師既不是置之不理，也不是簡單化處理——將答案直接告訴學(xué)生，而是敏銳地捕捉學(xué)生解題思路的價值，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，巧妙地利用媒介，將知識和技能的“學(xué)”提升到思想與方法的“悟”。抓住教育時機(jī)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用“等底等高的三角形的面積相等”這個規(guī)律，通過幾何畫板進(jìn)行新知的巧妙引導(dǎo)，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維暴露在眾人的面前，通過相互的交流、爭辯，將問題解決的思路清晰顯現(xiàn)、引向深入，讓整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、探究的路徑清晰明朗，讓學(xué)生感受三角形形狀之“不同”與計(jì)算方法“同”之間的聯(lián)系，達(dá)到內(nèi)化提升之效。

■二、優(yōu)化序列，讓顯性的解題方法系統(tǒng)化

因?yàn)槿狈ψ銐虻谋硐鬄橹?，小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時往往會呈現(xiàn)出一種很茫然的狀態(tài)，特別對于一些有一定學(xué)習(xí)困難的孩子，他們更渴望能有一個學(xué)習(xí)的支撐點(diǎn)，幫助他們在抽象與形象的知識間做一個簡單的搭建，處理好問題想象、數(shù)學(xué)思維展開的特殊關(guān)系。基于這樣的考量就需要教師有一種優(yōu)化序列的解題意識，讓學(xué)生的思維相互碰撞，讓解題方法呈現(xiàn)系統(tǒng)化，映襯古人所說的“聚沙成堆，匯水成淵”之理。

1. 架構(gòu)“難”到“易”的路徑，建立具象與抽象的鏈接

將“雙基”延伸至“四基”，“雙能”拓展到“四能”，是2013年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個重大變革，這一個變革也讓每位教師更理性地審視自己的課堂教學(xué)，用全新的教育教學(xué)理念去設(shè)計(jì)教學(xué)，做一個學(xué)生學(xué)習(xí)之路真正的“引路人”。只有尊重和遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以展示思維全過程為目標(biāo)，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，做好“難”到“易”的自然過渡，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在具象和抽象中自由穿梭，并獲得數(shù)學(xué)思考與情感態(tài)度的不同體驗(yàn)與拓展。

【教學(xué)片段回放三】

運(yùn)用“等積變形”，化“復(fù)雜”為“簡單”。

出示任務(wù)三（見圖3）：

（1）求梯形ABCD中涂色部分的面積。

（2）求四邊形ABCD的面積。

學(xué)生獨(dú)立完成，分析交流。

分析第一題：

方法①：7×4÷2+3×4÷2=20（cm2）。

方法②：（7+3）×4÷2=20（cm2）。

師：你能讀懂第二種方法的解題思路嗎？

生1：我明白了，大家可以想象一下，如果把A點(diǎn)移至D點(diǎn)，也就是連接B、D兩點(diǎn)，那么就會得到一個大的△BCD。同理，如果把D點(diǎn)移至A點(diǎn)，就是連接A、C兩點(diǎn)，那么就會得到一個大的△ABC，這樣就能簡單算出這個圖像涂色部分的面積了。

師：你知道他解題的依據(jù)是什么嗎？

生2：等底等高的三角形的面積相等。

分析第二題：4×10÷2=20（cm2）。

師：你看懂了嗎？

生3：很簡單，延長CD這條邊，將A點(diǎn)沿著平行的方向移動，相交到延長的這條直線上得到新的一個點(diǎn)E，那么就把△ABD轉(zhuǎn)化成新的△ABE，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，就能算出啦。

師：通過這兩個問題的解決，你有什么想和大家分享的？

生4：任何一個復(fù)雜的圖形都可以利用等積變形的數(shù)學(xué)思想變得簡單。

生5：等底等高的三角形的面積相等的規(guī)律，可以讓復(fù)雜問題變得簡單。

……

在本環(huán)節(jié)的教學(xué)中，我們可以感受到當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)觸角已經(jīng)突破教材的邊界，并匯聚了足夠的學(xué)習(xí)驅(qū)動力時，教師就可以順勢而為，在知識、方法、思想與觀念上進(jìn)行向外拓延，突破思維的局限，將學(xué)生從單一的思維中解放出來。透過多種解題方法的展示、分析、比較，學(xué)生就能真正地感悟“等積變形”的這種數(shù)學(xué)思想在實(shí)際的問題解決中的重要作用。在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維經(jīng)歷從具象到抽象的回歸，抽象到具象的模式建立，讓學(xué)生的思維得以真正地打開，并能靈活運(yùn)用相應(yīng)的方法解決問題。

2. 把控“度”到“渡”的路徑，拓展回顧與反思的邊界

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個不斷發(fā)現(xiàn)問題、辨析跟進(jìn)，不斷提煉歸納的過程。小學(xué)階段的學(xué)生到中高年級都具備一定的歸納、概括和策略反思的能力，并能運(yùn)用這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為一種解題策略為自己所用。為了能讓學(xué)生進(jìn)一步加深學(xué)習(xí)印象，形成較為完整的知識鏈，使思維得到進(jìn)一步的發(fā)展，就要讓每個孩子經(jīng)歷回顧與探討、分析與總結(jié)的階段。問題解決的最后階段不應(yīng)該是簡單的結(jié)果呈現(xiàn)，而應(yīng)該是對思路的梳理、方法的提煉。因?yàn)檫@樣一來能在很大程度上讓教師觸碰到學(xué)生思維的最深處，也影響到學(xué)生后期方法的運(yùn)用和知識的積累。

在本課的最后回顧溝通階段，教師有目的地出示了這樣兩個問題：求這三個圖形的面積，解決過程中有什么相同的地方？回憶一下，我們研究這些復(fù)雜的圖形都是怎么做的？

學(xué)生通過比較再次對解題的策略和方法進(jìn)行了一個縱向、橫向的聯(lián)系與歸結(jié)，得出了“等底等高的三角形的面積相等”這一個特定的知識點(diǎn)，讓學(xué)生真正認(rèn)識到等底等高的三角形，雖然形狀不一定相同，但面積一定相等的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。同時通過回顧、辨析、討論，讓學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)我們需要解決一些不規(guī)則的平面圖形的面積時，可以利用“等積變形”的數(shù)學(xué)思想將未知轉(zhuǎn)化成已知。根據(jù)“等底等高的三角形的面積相等”這一規(guī)律，通過想一想、畫一畫等方式打破自己的定式思維，選求最便捷的問題解決方式讓難題迎刃而解。

思維的破冰，才能帶來學(xué)生學(xué)習(xí)行動的破局。數(shù)學(xué)教學(xué)是一個需要教師不斷做出專業(yè)判斷與相應(yīng)構(gòu)思的過程，它不僅建立在教師對教材的深度研讀，更需要教師對學(xué)生的知識起點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律有一個完整的認(rèn)識。只要我們“立足于教材，對話于教材”“走近教材，理解教材”，通過細(xì)節(jié)重構(gòu)的方式，突破自己教學(xué)的“瓶頸”，就能幫助學(xué)生在比較和活動參與之中獲得數(shù)學(xué)感受，與新知深層地交流、對話，到達(dá)思維可視化之境。