拓展性練習活動：助力數(shù)學思維發(fā)展的有效路徑

王軍

摘要：拓展性練習活動是促進學生數(shù)學思維發(fā)展的重要載體。在支點式學習理念的指引下，教師應根據(jù)課堂教學和學生的實際情況，對練習素材采取相應的策略進行改編、擴充、整合、延伸，并通過“眾籌認知”“悅納共存”“拓寬路徑”“反芻推進”的方式在課堂中有效實施拓展性練習活動，從而幫助學生達成優(yōu)質(zhì)的數(shù)學學習。

關鍵詞：支點式學習;拓展性練習活動;數(shù)學思維

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）09A-0057-04

支點式學習下的數(shù)學課堂是指學生在教師的指引下，選取適合自己的學習方式，通過自主學習和探索開展學習活動。因而在支點式學習理念的引領下，教師需要根據(jù)課堂教學和學生的實際情況，對練習素材采取相應的策略進行改編、擴充、整合、延伸，并在課堂教學中通過創(chuàng)設挑戰(zhàn)性和綜合性的拓展性練習活動，開放問題空間，引導不同層次的學生都能在獨立思考、動手操作、合作探究中有所突破和發(fā)現(xiàn)，從而推動學生問題解決能力的提升和對數(shù)學思想方法的理解和感悟，掌握數(shù)學學習的方法，達成優(yōu)質(zhì)的學習效果。

一、意義探尋：小學數(shù)學拓展性練習活動價值詮釋

1.重構(gòu)數(shù)學練習活動的意義與價值

支點式學習中的小學數(shù)學拓展性練習活動應能使學生充分經(jīng)歷觀察、實驗、分析、綜合、猜想、證明、判斷、推理、驗證等過程，發(fā)展學生的數(shù)學思維。這種拓展性的練習活動改變了以往為考而練的練習活動的功利性取向。它旨在激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和需求，使學生在數(shù)學活動中體驗探索與創(chuàng)造的過程，感受數(shù)學與生活及其他學科之間的相互作用和相互聯(lián)系，促進學生數(shù)學思維方式和學習方法的養(yǎng)成，逐步學會學習。

2.助力學生達成優(yōu)質(zhì)的數(shù)學學習效果

學習內(nèi)容的單一性與學生求知欲望和發(fā)展?jié)撃艿臒o限性之間存在著一定的矛盾和落差。根據(jù)當下課堂練習活動內(nèi)容及形式枯燥無趣的現(xiàn)狀，教師應采取相應的策略將教材中的練習素材進行開發(fā)設計，并適當融入一些拓展性內(nèi)容，如思維游戲、數(shù)學小課題、數(shù)學童話、數(shù)學小實驗、實踐活動、項目學習等。這些必然會為學生提供豐富的學習內(nèi)容、研究素材，讓學生體會到數(shù)學學習和探索過程的樂趣，并在潛移默化的過程中全面提升學生的學習力，從而豐富他們的數(shù)學素養(yǎng)，促進數(shù)學思維的發(fā)展，實現(xiàn)從“有知識的人”走向“有智慧的人”。

3.指引提升教學能力的新路徑

高效課堂教學的實現(xiàn)有賴于教師能夠創(chuàng)造性地使用教材、重組教材和拓展教材。小學數(shù)學拓展性練習活動的設計和使用無疑是為構(gòu)建高效課堂提供了新的思路。在支點式學習理念的引領下，教師投入大量時間與精力開發(fā)設計學習素材以及在廣泛實踐中開展拓展性練習活動，并提煉總結(jié)出科學系統(tǒng)的設計策略，將會為數(shù)學課堂教學注入新的活力，同時也為教師提升教材處理能力和教學設計能力提供了契機，促進教師從教書匠到研究型教師的轉(zhuǎn)變。

二、視野聚焦：拓展性練習活動的設計思路探究

支點式學習中數(shù)學拓展性練習活動的設計開發(fā)需要教師投入相當?shù)木退伎?，在課堂中創(chuàng)設以“學”為中心的數(shù)學練習活動，幫助學生尋找適合的學習方法和路徑，突破知識內(nèi)容的重難點，從而達到對知識和學習方法的通透理解。

1.整合求聯(lián)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學知識之間存在著密切的聯(lián)系，而這些聯(lián)系，恰恰是構(gòu)成知識結(jié)構(gòu)的重要線索。教師可以在深入研究課本練習題的功能和編寫意圖的基礎上，針對教學重點和學生認知難點進行二次設計，將相同類型知識點或相同解決方法的練習題整合在一起，引導學生通過恰當?shù)姆治龊屯评斫⑼暾闹R結(jié)構(gòu)和模型。這樣的知識聯(lián)網(wǎng)過程，會使學生養(yǎng)成歸納建模的解決策略和以不變應萬變的問題解決智慧，從而促進學生綜合能力的逐步提高[1]。

例如在蘇教版五下數(shù)學和六下數(shù)學課本中有如下的習題，這三道習題所處年段不同，但是只要深入研究就會它們在本質(zhì)上的內(nèi)涵是相通的。

筆者在將這三道題進行整合，設計了“探究神奇的面積比”的教學活動，讓學生經(jīng)歷一系列的計算操作和推理驗證的過程，知道只要在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，對這樣的基本圖形無論是進行圖形變換，還是將組合圖形進行同比放大或者同比縮小，圖形的面積比始終是保持不變的。在這個學習的過程中，學生不僅習得了知識，更多的是對數(shù)學知識之間的聯(lián)系以及對“變與不變”思想的感悟。

一個孤立的知識是不可能深刻表達知識的本質(zhì)內(nèi)涵的。真正深刻的表達，應該依靠整合和結(jié)構(gòu)的力量。這種整合，是指如何去建構(gòu)這個知識在整個知識體系中的相互“聯(lián)系”，在這種“聯(lián)系”里去呈現(xiàn)深刻。

2.滲透思想，激發(fā)數(shù)學思考

數(shù)學思想方法的體悟和具體應用對學生學習具有重要的價值，作為一線數(shù)學教師，需要從不同的視角對學習素材的內(nèi)在價值及時有效地予以捕捉、放大和適度地加工整合，創(chuàng)造性地拓展延伸，并使附著在典型問題上的數(shù)學思想在學生學習和思考的過程中顯現(xiàn)出來[2]，幫助學生在積累學習經(jīng)驗及經(jīng)歷深度的實踐體驗的過程中充分感悟到所遇到問題的類型不斷變化，而解決這些問題的數(shù)學思想方法卻始終如一。

如題4，求1元硬幣的體積問題。如果直接呈現(xiàn)問題讓學生計算就會失去這道問題的真正價值。從問題的表達意圖可以知道，這個問題是為了滲透累加計算的極限思想。在這里不妨開放問題的空間，讓學生自主探索如何求出1元硬幣的體積。學生往往就出現(xiàn)排水法轉(zhuǎn)化硬幣體積以及以大算小、積少成多的極限思想算法等。在這種開放性的數(shù)學活動中激發(fā)學生的數(shù)學思考，學生就能更加清楚地體會到數(shù)學思想方法在解決問題時的優(yōu)勢和應用價值。

值得注意的是，數(shù)學思想的培育應當是長期逐步滲透進行的。教師在課堂教學中應根據(jù)學生的認知特點及時地、有意識地多次鋪墊滲透，加強學生對數(shù)學思想的感悟。

3.創(chuàng)編改造，關注學習興趣

要想達成有效的教學，就必須要考慮學生的心理特點和年齡特征，學生年齡小，容易受到情緒的影響。充滿趣味和挑戰(zhàn)的練習活動容易激發(fā)學生產(chǎn)生積極的思維，主動地參與到練習活動中來，從而達到事半功倍的效果。

對于低年級學生要多從形式上下功夫，可以通過數(shù)學游戲或者動手操作的方式將練習活動呈現(xiàn)出來。而高年級則可以在挑戰(zhàn)性和解決方法的巧妙上做文章，通過將知識整合成綜合性的開放問題或者數(shù)學小研究等形式讓學生解決問題。

當然，在創(chuàng)編改造練習活動的過程中，無論是增加趣味性還是增加思維的挑戰(zhàn)性，其核心都是為了吸引學生主動地參與到拓展性練習活動中來。

4.多維變式，豐富內(nèi)涵理解

教師可對同一練習活動從不同層面、不同角度、不同的呈現(xiàn)方式和不同習題的同一表達方式這兩個角度出發(fā)進行綜合性的變式設計，以問題為載體，核心問題為引領，分析研究為方式，探究活動為平臺，幫助學生經(jīng)歷從簡單到復雜、一維到多維、單一到豐富、動靜結(jié)合的思考過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，豐富對問題本質(zhì)內(nèi)涵的認識和理解[3]，并在這樣的過程中提煉出解決問題的一般思路，有助于學生達成良好的數(shù)學思考模式。

三、實踐突破：小學數(shù)學拓展性練習活動的運用路徑

教學現(xiàn)場，尤其是在進行拓展性練習活動時，充滿了很多影響課堂教學效果的因素，教師的設計有時并不能按照預設的情況進行。因此教師還需要運用教學智慧，巧妙提問，幫助學生尋找適宜的學習支點，指導學生學會學習。

1.眾籌認知，給思維表達以交流的空間

支點式學習中拓展性練習活動的定位不應是基礎知識或基本技能在低水平上的重復操練，而是學生認知水平和學習視野拓展和延伸、實踐創(chuàng)造能力得到提升的過程。因此我們應當在課堂中設置“低起點，高落點”的問題，開放問題的思維空間。這樣的問題不僅讓所有的學生都能參與到學習的過程中，也能讓學生的思維有不同程度的發(fā)展。

例如在《圓柱和圓錐》單元中，教材提供了形式豐富多樣的練習，如果機械地呈現(xiàn)，使用齊步走的方式，這樣既不能發(fā)展學生的思維能力，也讓學生陷入繁雜冗長的計算，覺得枯燥無聊。因此筆者將課本習題進行了高度整合，提出了如下問題：給你一個半徑2厘米，高10厘米的圓柱，現(xiàn)在請你給這個圓柱加上一個“動作”，再提出一個數(shù)學問題。學生的思維一下炸開了鍋，想出了各種的問題：（1）把這個圓柱滾3周，滾過的面積是多少？（2）把這個圓柱沿著高平行于底面切3刀，表面積增加了多少？（3）將這個圓柱熔鑄成一個等底的圓錐，這個圓錐的高是多少？（4）將這個圓柱削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少？等等。

在這樣開放性的問題中，所有不同能力水平的學生都能參與提出問題和交流解決問題的過程中，此時的課堂才真正屬于每一位學生。

2.悅納共存，巧用思維碰撞的生成資源

由于學生認知水平的差異，學生面對相同的學習材料往往會出現(xiàn)不同層次的認識。因此教師要根據(jù)課堂的實際情況對練習活動進行動態(tài)調(diào)整。教師要從學生的視角出發(fā)，當學生的認知出現(xiàn)錯誤時，不能草率地否定學生的“突兀之想”，應當首先保護學生的積極性，并運用教育機智，從學生的錯誤中挖掘可以利用的資源[4]。例如教學《分數(shù)的初步認識（二）》的練習時，學生出現(xiàn)了把8個蘋果平均分成4份，取其中的一份，到底該用八分之二來表示還是用四分之一來表示這種疑問。這時教師應當引導學生進行爭辯和糾錯，發(fā)展其正確思維，從而將學生的錯誤轉(zhuǎn)化為啟迪思維的催化劑。

有的學生往往有出人意料的“驚人想法”，在課堂上這種見解常常不那么容易讓其他同學接受。面對這種情況，教師應當保護學生的思維積極性，將學生推向前臺，讓學生用自身特有的方式來講解，學生共同討論研究。同時教師在一旁加以點撥補充，順勢將課本習題進行相應地深化拓展，加深學生的理解和認識。

3.拓寬路徑，提供激活思維的探索平臺

在平常的練習活動中，學生探索的空間較為狹窄，不利于學生思維能力的發(fā)展。因此開發(fā)后的課本習題，要能讓學生從情境出發(fā)，通過操作與觀察、比較和整理、討論和交流等一系列活動，在解決具有開放性和探索性問題的過程中不斷激活思維。

如題5是一道關于圓柱體積的問題，在以往的教學中，教師往往只是讓學生經(jīng)歷簡單的計算過程，并沒有深入地去挖掘這道問題的價值。而筆者在處理這道問題時，先讓學生看圖估一估，哪一杯的飲料體積最多，哪一杯最少，再經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)實現(xiàn)與估計的結(jié)果不符合，激發(fā)了學生的認知沖突，并以此展開探索，尋找估計錯誤的原因，從而形成關于圓柱體積估計的完整思考的方法。

因此，教師提供給學生的拓展性練習活動材料要體現(xiàn)探索性和開放性，充分激活學生的思維，并在思維交流的過程完善知識的結(jié)構(gòu)和形成解決問題的新思路。

4.反芻推進，把握思維聯(lián)網(wǎng)的有效時機

新知的建構(gòu)有賴于學習原有知識經(jīng)驗的延伸和拓展，并在學習的過程中形成特有的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡。但在教學時，教師往往將舊知的作用定位于復習，以此來導入新知。這固然是一種學習方式，但對于學生的探索能力的發(fā)展而言是有限的。在這種教育模式下，學生遇到新的問題往往不能有效地聯(lián)系舊知。因此筆者以為數(shù)學課堂教學中的學習不應當只關注知識的學習，也應加強學生對于探索經(jīng)歷的回顧與反思，形成知識聯(lián)網(wǎng)，從而讓學生真正學會解決新問題的一般方式與方法。

例如在教學完平均數(shù)的相關知識后，筆者設置了一個總結(jié)性練習環(huán)節(jié)引導學生聯(lián)系課始比大小和比總數(shù)的兩種方法，讓學生意識到，這兩種方法其實也是在比平均數(shù)。這樣平均數(shù)的概念就不僅充分地將舊知囊括進來，也豐富了學生解決問題的探索經(jīng)歷。這樣當學生遇到新問題時，會自然地想到可以運用相關聯(lián)的舊知去解決問題，提升學生對知識本質(zhì)的理解。

總而言之，在支點式學習理念的引領下，教師如果能有效地開發(fā)和利用好拓展性練習活動，不但能培養(yǎng)學生數(shù)學思維，而且能有效地提高課堂效率。需要注意的是，小學數(shù)學拓展性練習活動不是為了開發(fā)而開發(fā)，這只是提升課堂教學效果、培養(yǎng)學生數(shù)學思維的手段，不是目的，我們的課堂終究是為了學生的發(fā)展而服務的。

參考文獻：

[1]王林.小學數(shù)學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社， 2011：226-227，263.

[2]楊國華.小學數(shù)學練習活動設計的探究與實踐[M].桂林：廣西師范大學出版社， 2011：92.

[3]張興華.兒童學習心理與小學數(shù)學教學[M].南京：江蘇教育出版社， 2011：32-33.

[4]斯苗兒.小學數(shù)學教學案例專題研究[M].杭州：浙江教育出版社， 2005：201-204.

責任編輯：趙赟

Abstract： Extensive exercises are the important vehicle to promote students thinking development. Guided by the idea of the fulcrum learning theory， teachers should， according to the reality of classroom teaching and students learning， employ corresponding strategies to adapt， expand， integrate and extend the exercise materials. Meanwhile， teachers may adopt the methods of “crowd-funding cognition”， “happy reception and co-existence”， “expanding paths”， and “regurgitation and promotion” to effectively implement extensive exercises， hoping to help students learn mathematics better.

Key words： fulcrum learning; extensive exercise; mathematics thinking