運(yùn)用合情推理，建構(gòu)知識(shí)體系

顧新佳

【摘要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出要重視學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展。本文通過對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的教學(xué)，通過類比、猜想、驗(yàn)證等合情推理活動(dòng)，使學(xué)生明晰求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少可以用乘法計(jì)算的合理性，并且通過類比、操作等活動(dòng)幫助學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)乘法的知識(shí)模型，有效促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】推理 推理能力 合情推理 類比推理

新課程標(biāo)準(zhǔn)在“課程設(shè)計(jì)思路”部分明確指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。”推理一般包括合情推理和演繹推理。“合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。合情推理又有歸納推理、類比推理等形式?！惫P者在執(zhí)教蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”一課時(shí)，充分運(yùn)用合情推理，幫助學(xué)生理解“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”可以用乘法計(jì)算的合理性，并通過類比分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算，幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)乘法的知識(shí)模型。

一、運(yùn)用合情推理，完善數(shù)量關(guān)系認(rèn)識(shí)

“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的實(shí)際問題，是對(duì)乘法運(yùn)算意義的一次重要擴(kuò)展，同時(shí)也是后面分析并解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的前提，是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及其運(yùn)算內(nèi)容中的核心知識(shí)。筆者在幾次試上的過程中，發(fā)現(xiàn)教材在引導(dǎo)學(xué)生用整數(shù)乘、除法算出紅花有多少朵后，教材直接出示：“求10朵的1/2是多少，可以用乘法計(jì)算?！睂?duì)于這樣的直接告知，學(xué)生普遍表示不大理解。于是，筆者運(yùn)用合情推理中的類比推理，由求“倍數(shù)”類推到求“幾分之幾”也可以用乘法來計(jì)算。課始，筆者出示三道復(fù)習(xí)題：

（1）合唱隊(duì)有女生16人，男生8人，女生人數(shù)是男生的幾倍？

（2）圖書館有科技書80本，文藝書70本，科技書本數(shù)是文藝書的幾倍？

（3）李伯伯家養(yǎng)了4只母雞，5只公雞，母雞只數(shù)是公雞只數(shù)的幾分之幾？

學(xué)生答完題后，問：這三道題有什么相同的地方？

生1：這三道題，都是求幾倍的。

生2：我補(bǔ)充一下，這三道題，有的是求誰是誰的幾倍，有的是求誰是誰的幾分之幾。

生3：老師，我再補(bǔ)充一下，其實(shí)不管是求誰是誰的幾倍，還是求誰是誰的幾分之幾，都是在求數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

師：幾分之幾也可以表示倍數(shù)關(guān)系嗎？

生3：我覺得可以，只不過因?yàn)槭菐追种畮?，說明前一個(gè)數(shù)量比后一個(gè)數(shù)量小了，我們一般不說“倍”了。

小結(jié)：嗯，總結(jié)得真好，不管是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，還是幾分之幾，都表示求數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

《現(xiàn)代漢語詞典》中對(duì)“倍數(shù)”的解釋是：“倍數(shù)，表示一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)的商?！蓖瑯?，幾分之幾，也是表示一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)的商。兩者在意義上是相同的。合情推理的本質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)—猜想”，本環(huán)節(jié)從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察題組的相同點(diǎn)，讓學(xué)生類比出不管是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍還是幾分之幾，都表示倍數(shù)關(guān)系，使得學(xué)生完善了對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

二、運(yùn)用合情推理，明晰計(jì)算方法

三組復(fù)習(xí)題過后，學(xué)生心中已經(jīng)建立了對(duì)倍數(shù)關(guān)系的完整認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上，我們繼續(xù)設(shè)計(jì)題組訓(xùn)練，通過類比推理，幫助學(xué)生明晰計(jì)算方法。

1.題組類比：幫助學(xué)生理解算法的合理性

課件出示三道練習(xí)題：

⑴學(xué)校田徑隊(duì)有20人，跳繩隊(duì)人數(shù)是田徑隊(duì)人數(shù)的3倍，跳繩隊(duì)有多少人？

⑵水果店運(yùn)進(jìn)梨30箱，蘋果是梨的4/3倍，蘋果有多少箱？

⑶小明有郵票40張，小紅的郵票是小明郵票的1/4，小紅有郵票多少張？

前兩題，學(xué)生很快根據(jù)數(shù)量關(guān)系，分別用乘法算出了結(jié)果。第三題，學(xué)生出現(xiàn)了兩種不同的方法：（1）運(yùn)用整數(shù)乘、除法計(jì)算;（2）直接用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算。

所謂類比推理，是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象在一系列屬性上是相同或相似的，而且已知其中的一個(gè)或一類對(duì)象還具有其他的屬性，從而推出另一個(gè)或另一類對(duì)象也具有同樣的其他屬性的推理。求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，可以用乘法計(jì)算這個(gè)道理我們沒有選擇直接告知學(xué)生，而是通過題組訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生類比推理，得到三題都是研究數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系，從而順利推出：“求小紅郵票多少張，也可以直接用40×（1/4）來計(jì)算?！?/p>

但是，類推到這一步并未結(jié)束，而是通過學(xué)生呈現(xiàn)的兩種算法的進(jìn)一步對(duì)比，通過演繹推理，證明用乘法計(jì)算的合理性，從而幫助學(xué)生順利完成對(duì)算法合理性的把握。

2.題組類比：引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論的正確性

通過三道例題的類比，學(xué)生得到了“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”可以直接用乘法計(jì)算，雖然學(xué)生也經(jīng)歷了演繹推理的證明，但畢竟學(xué)生是初次接觸類似的算法，要想在學(xué)生腦海中建立完整清晰的計(jì)算方法模型，就必須強(qiáng)化訓(xùn)練。于是，筆者繼續(xù)出了一組題：

小星做了10朵綢花，其中1/2是紅花，2/5是綠花。

（1）紅花有多少朵？

（2）綠花有多少朵？

師：求紅花多少朵，就是求什么？求綠花呢？

生：求紅花多少朵就是求10朵綢花的1/2是多少朵，求綠花多少朵就是求10朵綢花的2/5是多少朵。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)，大約有超過93%的學(xué)生選擇直接用乘法計(jì)算，并且學(xué)生對(duì)選用乘法計(jì)算的道理講得也非常清晰。

通過上述題組的訓(xùn)練，學(xué)生再一次經(jīng)歷了求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，進(jìn)一步鞏固了可以直接用乘法計(jì)算結(jié)論的正確性。

三、運(yùn)用合情推理，建構(gòu)知識(shí)體系

1.對(duì)比練習(xí)，清晰分?jǐn)?shù)乘法意義的結(jié)構(gòu)

從運(yùn)算的意義來說，分?jǐn)?shù)乘法有兩種意義，既可以表示幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)連加的和，也可以表示“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。為了幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)乘法的意義，我們?cè)O(shè)計(jì)了一組對(duì)比題。

（1）水果店運(yùn)來12筐蘋果，運(yùn)來的橘子是蘋果的3/4。橘子有多少筐？

（2）做一個(gè)中國(guó)結(jié)用3/4米彩繩，小英做了12個(gè)，一共用彩繩多少米？

學(xué)生獨(dú)立地做題。

師：兩道題都可以用算式12×（3/4） 來計(jì)算，它們表示的意義一樣嗎？為什么？

生1：我認(rèn)為是不一樣的。第一小題表示求12的 3/4是多少，第二小題表示求12個(gè)3/4的和是多少。

師：也就是說12×? 既可以表示12的3/4是多少，也可以表示求12個(gè)3/4的和是多少。

師：這兩道題有什么相同的地方嗎？

生2：都是有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，都可以用乘法計(jì)算。

2.獨(dú)立編題，豐富分?jǐn)?shù)乘法意義的認(rèn)識(shí)

學(xué)生通過上述兩道題的類比推理后，加強(qiáng)了對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的認(rèn)識(shí)。這時(shí)，筆者趁熱打鐵，要求學(xué)生編寫一道用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算的實(shí)際問題。學(xué)生根據(jù)對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，創(chuàng)造性地編寫出了許多符合要求且有價(jià)值的實(shí)際問題。（如圖1、圖2、圖3和圖4、）

通過題組對(duì)比和編題訓(xùn)練，將第一課時(shí)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”意義與本節(jié)課學(xué)習(xí)的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的意義相勾連，學(xué)生能夠從對(duì)比分析中，感受到分?jǐn)?shù)乘法的意義，幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)乘法意義的知識(shí)體系。

四、差異對(duì)比，強(qiáng)化對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的理解

在幫助學(xué)生鞏固了對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的清晰認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步通過類比推理的訓(xùn)練，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義模型的深刻理解。

（1）一堆沙，每次運(yùn)走1/8噸，4次共運(yùn)走多少噸？

（2）學(xué)校有72個(gè)籃球，六（3）班分得這批籃球的2/3，六（3）班分得多少個(gè)籃球？

（3）一塊3米長(zhǎng)的布，剪去3/5米，還剩多少米？

師：為什么前兩題可以用乘法計(jì)算？

生1：第一小題是求4個(gè)1/8噸是多少，可以用乘法計(jì)算;第二小題是求72的2/3是多少，也可以用乘法計(jì)算。

師：為什么第三小題你們用了減法。

生2：因?yàn)榧羧チ?/5米，是實(shí)際數(shù)量，要用3米剪去3/5米才能算出還剩多少米。

師：做完這三道題，你有什么想說的嗎？

生3：有的分?jǐn)?shù)問題是可以用乘法計(jì)算的，有的分?jǐn)?shù)問題是可以用減法計(jì)算的。

生4：并不是所有題目都可以用乘法計(jì)算的，要看清楚數(shù)量關(guān)系再計(jì)算。

生5：只有當(dāng)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少或者幾個(gè)相同的分?jǐn)?shù)連加的時(shí)候才能用分?jǐn)?shù)乘法。

生6：老師，我還想到一道題，就是“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是4米，寬是3/4米，求長(zhǎng)方形的面積是多少”。這也可以用乘法計(jì)算，但是它不屬于我們今天學(xué)習(xí)的情況。

學(xué)生通過差異化問題的對(duì)比分析，進(jìn)一步鞏固了對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義模型的認(rèn)識(shí)，將學(xué)生腦海中的新舊知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來，形成了完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

能力的發(fā)展絕不等同于知識(shí)與技能的獲得，能力的獲得是一個(gè)緩慢吸收內(nèi)化的過程，有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律。合情推理能力的發(fā)展同樣具有其特點(diǎn)和規(guī)律，需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中加強(qiáng)研究。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，學(xué)生如何將自己通過做題和觀察所得的“發(fā)現(xiàn)”表達(dá)出來是形成推理能力的重要表現(xiàn)。幾何直觀可以幫助學(xué)生清晰地表達(dá)自己的推理過程。如在執(zhí)教蘇教數(shù)學(xué)版六年級(jí)上冊(cè)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”一課時(shí)，我們給出了圖例，并引導(dǎo)學(xué)生在圖上畫一畫，通過畫圖將算理和算法講清楚。

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“教師要重視學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展，使學(xué)生能有條理地思考問題?！痹谄綍r(shí)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)有效運(yùn)用合情推理，有助于提升學(xué)生的推理能力和對(duì)知識(shí)體系的理解。

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