一道對(duì)數(shù)函數(shù)題目的變式探究

■胡 磊 魏 偉

題目 已知函數(shù)f（x）=|lnx|，若存在兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿足f（a）=f（b），則

分析：設(shè)a＜b，由函數(shù)f（x）=|lnx|去絕對(duì)值，即可求解。

解：由函數(shù)f（x）=|lnx|=可作出此函數(shù)的圖像，如圖1所示。

圖1

由圖像可知，若存在兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿足f（a）=f（b），設(shè)a＜b，則0＜a＜1，b＞1，可得-lna=lnb，即lna+lnb=0，也即lna b=0，故a b=1。

評(píng)析：解答本題需要畫(huà)出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可直觀求解。

變式1：已知函數(shù)f（x）=|log4x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區(qū)間[m5，n]上的最大值為5，求m，n的值。

提示：由f（m）=f（n），根據(jù)上面題目可得因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n滿足m＜n，所以0＜m＜1＜n，可得0＜m5＜m＜1＜n。結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知函數(shù)f（x）=|log4x|在區(qū)間[m5，n]上的最大值為f（m5）=，解得

注意：解答本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)在區(qū)間[m5，n]上的最大值是f（m5）。

變式2：已知函數(shù)f（x）=|log3x|，正實(shí)數(shù)a，b滿足a＜b，且f（a）=f（b），若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a2，b]上的最大值為2，則ab=

提示：由于函數(shù)f（x）=|log3x|，正實(shí)數(shù)a，b滿足a＜b，且f（a）=f（b），所以0＜a＜1＜b，可得-log3a=log3b，即易知0＜a2＜1＜b，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[a2，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，b]上單調(diào)遞增，可知當(dāng)x∈[a2，b]時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a2處取得最大值。由f（a2）=|log3a2|=2|log3a|，可得f（a2）=2|log3a|=-2 log3a=2，解得a=，從而可得故

變式3：已知函數(shù)f（x）=|log3（x+1）|，實(shí)數(shù)m，n滿足-1＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m2，n]上的最大值為2，則

提示：結(jié)合函數(shù)f（x）=|log3（x+1）|的圖像（圖略）求解。由f（x）=|log3（x+1）|，且f（m）=f（n），可得（m+1）（n+1）=1。若f（x）在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2（f（x）在[m2，n]上單調(diào)遞增），則log3（n+1）=2，可得n=8，從而可得故應(yīng)選C。

變式4：已知函數(shù)f（x）=|l g（x-2）|，若存在互不相等的實(shí)數(shù)a，b，使得f（a）=f（b），則的最小值為

提示：若存在互不相等的實(shí)數(shù)a，b，使得f（a）=f（b），則|l g（a-2）|=|l g（b-2）|，即l g（a-2）+l g（b-2）=0，可得（a-2）（b-2）=1，所以由a＞2，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值為