幾何體外接球問題的求解策略

■葛建生

在立體幾何問題中，對球的組合體的考查，尤其是多面體的外接球問題，是高考的?？键c(diǎn)，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。此類問題實(shí)質(zhì)上是解決球的半徑長度或確定球心的位置，其中確定球心的位置是關(guān)鍵。下面具體剖析幾種確定球心的位置的求解策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

一、由球的定義確定球心

在空間中，如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡單多面體的外接球的球心。由此定義，可以得到確定簡單多面體外接球的球心的如下五個(gè)結(jié)論。

結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點(diǎn)。

結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)。

結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)。

結(jié)論4：正棱錐的外接球的球心在其高線上，其具體位置可通過計(jì)算找到。

結(jié)論5：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。

例1如圖1，在四棱錐E-A B C D中，正方形A B C D的邊長為2，△A B E是E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，平面A B E⊥平面A B C D，則該幾何體外接球的表面積為（ ）。

圖1

解：取A B的中點(diǎn)為G，則G為△A E B的外心，連接A C，B D，G E。

設(shè)A C∩B D=O，連接O G，則O G⊥平面A E B。利用勾股定理易知O為四棱錐E-A B C D外接球的球心，則外接球的半徑為

評析：本題主要考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法。解答本題的關(guān)鍵是確定外接球的球心位置。

例2底面邊長為側(cè)棱長為2的正三棱錐（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心）的外接球的表面積為（ ）。

解：由題意畫出正三棱錐P-A B C，如圖2所示。

圖2

正三棱錐P-A B C的底面邊長為設(shè)底面三角形A B C的中心為G，則A G=因?yàn)閭?cè)棱長P A=2，所以三棱錐的高設(shè)正三棱錐的外接球的球心為O，連接O A。在+12，解得

故外接球的表面積為4 πR2=4 π×O A2應(yīng)選A。

評析：本題主要考查多面體的外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法。解答本題的關(guān)鍵是求出外接球的半徑。

二、構(gòu)造正方體或長方體確定球心

長方體或正方體的外接球的球心是體對角線的中點(diǎn)。以下是常見的、基本的幾何體補(bǔ)成正方體或長方體的途徑與方法。

途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，都可構(gòu)造正方體。

途徑2：同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐，都可構(gòu)造長方體或正方體。

途徑3：已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體。

途徑4：三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體。

例3中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。圖3為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知P A⊥平面A B C E，四邊形A B C D為正方形，A D=2，E D=1，若鱉臑P-A D E的體積為1，則陽馬P-A B C D的外接球的表面積等于（ ）。

圖3

解：由P A⊥平面A B C D，可得VP-A E D=解得P A=3，而陽馬P-A B C D的外接球的直徑是以A D，A B，A P為寬，長，高的長方體的體對角線的長，所以（2R）2=A D2+A B2+A P2=4+4+9=17，即4R2=17。

故陽馬P-A B C D的外接球的表面積為4 πR2=17 π。應(yīng)選 A。

評析：本題的解法為構(gòu)造法，即構(gòu)造一個(gè)長方體，根據(jù)長方體的體對角線長就是球的直徑來求解問題。

例4已知四面體A B C D的四個(gè)面都為直角三角形，且A B⊥平面B C D，A B=B D=C D=2，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（ ）。

解：由題意可將四個(gè)面都為直角三角形的四面體放到正方體中，如圖4所示。

圖4

據(jù)此可知，A B⊥平面B C D，A B=B D=C D=2，所以正方體的體對角線長為

故球O的半徑，可得球O的表面積S=4 πR2=12 π。應(yīng)選D。

評析：本題的解法為補(bǔ)形法，這種解法尋找球心（或直徑）省時(shí)省力，值得同學(xué)們重視。