板中Lamb波激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算方法*

許西寧， 余祖俊,2， 邢 博， 朱力強(qiáng),2

(1.北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院 北京，100044) (2.北京交通大學(xué)載運(yùn)工具先進(jìn)制造與測控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，100044)

引 言

傳播超聲導(dǎo)波[1-3]的波導(dǎo)介質(zhì)一般具有以下特點(diǎn)，縱向長度很長、橫截面形狀一致，如薄板、桿、管道和鋼軌等[4-6]。超聲導(dǎo)波在波導(dǎo)介質(zhì)中傳播時(shí)可以覆蓋整個(gè)介質(zhì)的橫截面，且傳播距離遠(yuǎn)，因此超聲導(dǎo)波是一種非常有前景的監(jiān)測手段?；诔晫?dǎo)波，可以有效定位結(jié)構(gòu)損傷的位置、程度[7-8]和類型。

在平板中傳播的Lamb波[9-11]是導(dǎo)波的一種，近年來被廣泛應(yīng)用于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)[12-13]的無損檢測[14-17]中。頻散、多模態(tài)是導(dǎo)波的基本特性，在同一頻率下有多個(gè)可傳播的導(dǎo)波模態(tài)，在采用Lamb波檢測薄板材料內(nèi)部缺陷時(shí)，需要研究各個(gè)模態(tài)的激勵(lì)方法及傳播規(guī)律。采用計(jì)算機(jī)仿真研究方法可以節(jié)省大量的時(shí)間和資源，三維有限元仿真是最常用的方法，且有比較成熟的商業(yè)軟件，如ANSYS等。激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算方法是研究Lamb波傳播特性的另一途徑，基于半解析有限元方法[18-19]，對于薄板介質(zhì)，在橫截面作一維有限元離散，當(dāng)仿真較遠(yuǎn)距離、三維離散單元非常密集時(shí)，采用激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算方法可以節(jié)省大量的計(jì)算量、時(shí)間和內(nèi)存。

在激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算時(shí)，首先基于半解析有限元方法建立薄板中Lamb波的一般均質(zhì)波動方程，通過求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題提取薄板中導(dǎo)波的模態(tài)數(shù)據(jù)，建立系統(tǒng)函數(shù)模型。通過傅里葉變換得到施加激勵(lì)信號的頻域值，將頻域值代入系統(tǒng)函數(shù)模型，進(jìn)行加權(quán)求和，計(jì)算得到頻率-波數(shù)域中的激勵(lì)響應(yīng)。應(yīng)用傅里葉逆變換，將系統(tǒng)頻率響應(yīng)從頻域轉(zhuǎn)換成時(shí)域，得到遠(yuǎn)離波源位置處的瞬態(tài)響應(yīng)結(jié)果。激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算方法可以求解任意橫截面波導(dǎo)介質(zhì)的時(shí)間瞬態(tài)響應(yīng)，該方法可推廣用于計(jì)算導(dǎo)波在鋼軌或管道中的傳播過程，具有較好的通用性。

1 模型定義

在計(jì)算薄板中Lamb波的激勵(lì)響應(yīng)時(shí)，首先要建立薄板的系統(tǒng)函數(shù)模型，這里定義薄板的橫截面為y-z坐標(biāo)平面，Lamb波傳播方向?yàn)閤方向，如圖1所示。

圖1 薄板中Lamb波傳播的半解析有限元模型Fig.1 Semi-analytical finite element model of Lamb wave propagation in a plate

用式(1)來表示薄板的系統(tǒng)函數(shù)模型[4]

(1)

(2)

(3)

其中：K1,K3,M為Lamb波一般均質(zhì)波動方程中的剛度矩陣。

對激勵(lì)信號F(t)作傅里葉變換

(4)

經(jīng)卷積計(jì)算，可以得到V(y,z,f)為

(5)

對V(y,z,f)作傅里葉反變換，可以得到激勵(lì)信號的響應(yīng)結(jié)果。

2 建立系統(tǒng)函數(shù)模型

薄板中Lamb波激勵(lì)響應(yīng)的時(shí)域波形是通過頻域計(jì)算結(jié)果的反傅里葉變換獲得的，在計(jì)算頻域的激勵(lì)響應(yīng)結(jié)果時(shí)，首先要建立薄板的系統(tǒng)函數(shù)模型。該模型是由所有在薄板中可傳播的Lamb模態(tài)組合構(gòu)建的，如式(1)所示，其中主要用到了波動方程的剛度矩陣和各模態(tài)的振型數(shù)據(jù)。通過半解析有限元方法可以建立薄板中Lamb波的一般均質(zhì)波動方程，獲得剛度矩陣，求解波動方程可以進(jìn)一步得到Lamb波各傳播模態(tài)的振型數(shù)據(jù)，由剛度矩陣和振型數(shù)據(jù)可以建立薄板的系統(tǒng)函數(shù)模型。

半解析有限元方法可用于建立任意橫截面波導(dǎo)介質(zhì)中導(dǎo)波的傳播模型，對于薄板結(jié)構(gòu)而言，只需在橫截面作一維有限元離散，沿Lamb波傳播方向質(zhì)點(diǎn)的位移則用簡諧波指數(shù)方程的形式表示，通過標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以獲得板中Lamb波的一般均質(zhì)方程。

圖1為無限寬自由薄板的模型，導(dǎo)波沿x方向傳播，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移用u表示，應(yīng)力和應(yīng)變分別用σ，ε表示。

(6)

應(yīng)變與位移的關(guān)系可用式(7)表示為

(7)

其中

薄板中坐標(biāo)為(x,y,z)的任意質(zhì)點(diǎn)，其隨時(shí)間變化的位移值，可以用簡諧波時(shí)空域的函數(shù)表示[6]為

(8)

其中：eiξx為空間域的值；ξ為波數(shù)；eiωt為時(shí)間域的值；ω為頻率。

在有限元離散時(shí)，將薄板的橫截面等效為無限寬，僅在z方向作一維有限元離散，如圖2所示。3個(gè)節(jié)點(diǎn)組成一個(gè)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含x,y,z三個(gè)自由度。

圖2 節(jié)點(diǎn)單元Fig.2 Node element

對于離散后的單元，其內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移可以表示[6]為

N(y,z)q(e)ei(ξx-ωt)

(9)

其中：N(y,z)為形函數(shù)矩陣；q(e)為節(jié)點(diǎn)位移矢量。

經(jīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和推導(dǎo)，最終可得到以下一般均質(zhì)波動方程[20]為

[K1+iξK2+ξ2K3-ω2M]MU=0

(10)

其中：下標(biāo)M代表系統(tǒng)的自由度數(shù)；U為振型矢量；K1,K3,M為剛度矩陣。

求解式(10)可以得到波數(shù)ξ、頻率ω的值，從而繪制Lamb波相速度頻散曲線，如圖3所示。橫軸為頻厚積，縱軸為相速度。頻厚積即頻率與平板厚度的乘積，Lamb波在不同頻厚積平板中的傳播特性是不同的。

圖3 相速度頻散曲線Fig.3 Phase velocity dispersion curves

由式(11) 可求出Lamb波群速度值，并繪制頻散曲線，如圖4所示。

(11)

圖4 群速度頻散曲線Fig.4 Group velocity dispersion curves

求解式(10)，可得到振型矢量U，以及剛度矩陣K1,K3,M，代入式(3)中，可得到B矩陣，將U,B代入式(1)中，可得到系統(tǒng)函數(shù)模型H。

3 激勵(lì)響應(yīng)求解

以2.5 mm厚鋁板為例，求解激勵(lì)響應(yīng)結(jié)果。在鋁板左側(cè)中心點(diǎn)沿x方向施加激勵(lì)信號，分別計(jì)算距離施加點(diǎn)100和200 mm位置的響應(yīng)信號，如圖5所示。

圖5 激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算布置圖Fig.5 Layout of excitation response calculation

激勵(lì)源為三角波信號，如圖6所示。三角波信號頻譜較寬，通過分析響應(yīng)信號可以得到多個(gè)頻率點(diǎn)的群速度，進(jìn)而和群速度頻散曲線進(jìn)行比對驗(yàn)證。

圖6 激勵(lì)信號Fig.6 Exciting signal

首先對該激勵(lì)信號進(jìn)行傅里葉變換，得到三角波信號的頻譜，如圖7所示。

圖7 三角波信號頻譜Fig.7 Spectrum of triangular wave

圖8 激勵(lì)信號響應(yīng)計(jì)算結(jié)果Fig.8 Response of exciting signal

由圖可見，Lamb波在傳播過程中波包變寬，出現(xiàn)了頻散現(xiàn)象。以上求解采用半解析有限元方法，共耗時(shí)約175 s。采用有限元分析軟件同樣可以進(jìn)行激勵(lì)響應(yīng)分析，如用ANSYS軟件，針對300 mm長，200 mm寬，厚度為2.5 mm的鋁板，網(wǎng)格大小設(shè)為0.125 mm×0.125 mm×10 mm，求解過程需耗時(shí)28 h 17 min。由此可見，采用半解析有限元方法可以大大節(jié)約計(jì)算時(shí)間。

對圖8中的激勵(lì)響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行小波分析，得到小波時(shí)頻圖，如圖9所示。

圖9 小波分析結(jié)果及峰值點(diǎn)Fig.9 Wavelet analysis results and peak points

圖9(a)，(b)分別是0.1，0.2 m處激勵(lì)響應(yīng)信號的小波分析結(jié)果，在圖中用星號標(biāo)注了不同頻率的峰值點(diǎn)，根據(jù)圖9(a)，(b)中峰值點(diǎn)的時(shí)刻，可以計(jì)算出不同頻率下的Lamb波群速度值，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 不同頻率下的群速度值

激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算共求解得到11個(gè)群速度值，在Lamb波群速度頻散曲線上疊加繪制了這11個(gè)群速度值，在圖10中用圓圈繪出。從圖中可以看出，11個(gè)群速度值均在S0模態(tài)的群速度頻散曲線附近，在2.5 mm厚鋁板中心施加三角波激勵(lì)信號，可以激勵(lì)出對稱模態(tài)的Lamb波。

圖10 激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算得到的群速度值Fig.10 Group velocities calculated by excitation response

4 實(shí)驗(yàn)分析

下面將通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果。實(shí)驗(yàn)時(shí)選用2.5 mm厚的1060工業(yè)純鋁板，鋁含量為99.6%，采用汕頭超聲公司的1 MHz超聲波斜探頭作為Lamb波的發(fā)射、接收探頭，探頭入射角為45°，型號為1P13*13 K1。探頭采用耦合劑粘在鋁板上，探頭布置如圖11所示。

圖11 實(shí)驗(yàn)布置圖Fig.11 Experimental layout

在發(fā)射探頭T1施加高壓脈沖信號，激勵(lì)Lamb波在鋁板中傳播，接收探頭R1,R2采集的波形如圖12所示。上圖為距離T1發(fā)射探頭40 mm位置處，探頭R1接收到的波形，下圖為探頭R2接收的波形圖，R2距離T1發(fā)射探頭80 mm。

圖12 接收信號波形Fig.12 Receive signal waveform

對接收信號做小波變化，可以得到R1，R2探頭接收信號的時(shí)頻圖，其信號峰值的時(shí)刻分別為17.64，40.04 μs，接收探頭間距40 mm，群速度值為1 785.7 m/s。

下面進(jìn)行激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算分析，在鋁板表面，平行鋁板方向施加激勵(lì)信號，鋁板厚度為2.5 mm，激勵(lì)信號中心頻率為1 MHz，如圖13所示。

圖13 激勵(lì)信號Fig.13 Exciting signal

激勵(lì)響應(yīng)結(jié)果的計(jì)算點(diǎn)分別距離激勵(lì)點(diǎn)位置80，120 mm，如圖14所示。

圖14 激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算布置圖Fig.14 Layout of excitation response calculation

激勵(lì)信號頻譜如圖15所示。

圖15 激勵(lì)信號頻譜Fig.15 Spectrum of exciting signal

圖16 激勵(lì)信號響應(yīng)計(jì)算結(jié)果Fig.16 Response of excitation signal

將圖16中激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算獲取的波形，進(jìn)行小波分析，結(jié)果如圖17所示，圖17(a)，(b)分別為圖16(a)，(b)信號的小波分析結(jié)果。

圖17 小波分析結(jié)果Fig.17 Wavelet analysis results

由圖17所示，距離激勵(lì)位置0.08，0.12 mm處的響應(yīng)波形的峰值點(diǎn)時(shí)間分別為47.85，70.1 μs，信號采樣點(diǎn)間距0.04 m，時(shí)間差22.25 μs，可求得群速度為1 797 m/s。將此群速度值和群速度頻散曲線對比，如圖18所示。在圖中頻厚積為2.5 MHz·mm位置查找群速度頻散曲線，與響應(yīng)結(jié)果最相近的群速度值為1 776 m/s，為對稱模態(tài)的Lamb波。

圖18 激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算得到的群速度值Fig.18 Group velocities calculated by excitation response

實(shí)驗(yàn)測量群速度值為1 785.7 m/s，激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算群速度為1 797 m/s。實(shí)驗(yàn)和激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果一致性較好，采用1 MHz斜探頭，在2.5 mm厚的鋁板上可以激勵(lì)出S0對稱模態(tài)的Lamb波信號。

5 結(jié)束語

通過半解析有限元方法求解薄板中Lamb波的一般均質(zhì)方程，進(jìn)而建立求解激勵(lì)響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)模型，基于頻譜疊加原理，可以計(jì)算薄板中Lamb波激勵(lì)響應(yīng)結(jié)果。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很好的一致性，兩種方法獲取的數(shù)據(jù)，模態(tài)分析結(jié)論一致。激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算方法是仿真分析波導(dǎo)介質(zhì)中導(dǎo)波傳播規(guī)律的一種數(shù)值計(jì)算方法，可以取代反復(fù)的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，節(jié)省硬件成本，提高效率。該方法還可以仿真計(jì)算任意截面波導(dǎo)介質(zhì)中導(dǎo)波的傳播過程，具有較好的通用性。