基于響應(yīng)面的三自由度超聲電機(jī)定子設(shè)計(jì)優(yōu)化*

牛子杰， 孫志峻， 崔永杰

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)械與電子工程學(xué)院 西安，712100) (2.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

引 言

隨著機(jī)器人技術(shù)的不斷發(fā)展，傳統(tǒng)的單自由度電機(jī)很難滿足行業(yè)對(duì)電機(jī)設(shè)備的要求，而多自由度(multi-degree of freedom,簡(jiǎn)稱M-DOF)電磁電機(jī)制造和控制難度大，成本高，傳動(dòng)裝置復(fù)雜[1-2]。超聲電機(jī)是利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)，將彈性材料的微觀形變轉(zhuǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)子的宏觀運(yùn)動(dòng)的換能元件。其具有速度快、轉(zhuǎn)矩大、響應(yīng)快、分辨率高、功率密度高、無(wú)電磁干擾[3-4]等特點(diǎn)。因此，超聲電機(jī)在實(shí)際應(yīng)用中可以替代一些低功率電磁電動(dòng)機(jī)，同時(shí)其靈活多變的設(shè)計(jì)形式可以滿足不同工程對(duì)M-DOF電機(jī)的實(shí)際需求，具有廣闊的應(yīng)用前景[5]。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的專家在M-DOF超聲電機(jī)設(shè)計(jì)方面提出了大量的方案，主要分為組合式和多模態(tài)式兩大類。組合式是多個(gè)獨(dú)立的超聲電機(jī)定子并聯(lián)驅(qū)動(dòng)同一個(gè)球轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)。Masahiko等[6]將M-DOF超聲電機(jī)應(yīng)用于內(nèi)窺鏡攝像機(jī)鏡頭轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)。采用3個(gè)行波超聲電機(jī)定子并聯(lián)的形式共同驅(qū)動(dòng)球轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)位置精度誤差在2°以內(nèi)。Nishizawa等[7]將M-DOF超聲電機(jī)應(yīng)用于空間衛(wèi)星，解決衛(wèi)星碎片清除問(wèn)題。通過(guò)4個(gè)行波超聲電機(jī)定子并聯(lián)的形式驅(qū)動(dòng)球轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)，分別測(cè)試了電機(jī)的耐久性和壽命，以達(dá)到衛(wèi)星對(duì)電機(jī)耐久性的要求。Zhang等[8]提出了利用3個(gè)直線超聲電機(jī)并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)械手，實(shí)現(xiàn)宏觀與微觀控制。宏觀粗定位誤差在2 mm以內(nèi)，微觀精細(xì)定位誤差在1 μm以內(nèi)。Wang等[9]研究了3行波環(huán)形定子組成的2-DOF超聲電機(jī)的摩擦特性以及最優(yōu)控制策略，得到電機(jī)的最大空載轉(zhuǎn)速和堵轉(zhuǎn)扭矩分別為92 r/min和90 mN·m。

多模態(tài)式M-DOF超聲電機(jī)主要是依靠定子的多種共振模態(tài)疊加和組合實(shí)現(xiàn)球轉(zhuǎn)子的M-DOF轉(zhuǎn)動(dòng)。Yan等[10]采用4個(gè)壓電陶瓷片和一個(gè)帶凸緣的金屬底座通過(guò)粘接組合為一個(gè)多自由度定子，利用縱向模式和彎曲模式兩種模態(tài)的疊加實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)足的三自由度運(yùn)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)并測(cè)試得到驅(qū)動(dòng)足的輸出速度達(dá)到327 r/min。Zhang等[11]提出了一種基于3-DOF超聲電機(jī)的機(jī)器人手指關(guān)節(jié)，電機(jī)采用夾心式的振動(dòng)器，在電壓作用下實(shí)現(xiàn)縱振和彎振的組合，最終獲得最大輸出扭矩約23.5 mN·m。Zhou等[12]提出一種新的2自由度平面直線超聲電機(jī)，電機(jī)由兩個(gè)換能器和兩個(gè)等腰三角形構(gòu)成，通過(guò)彎曲振動(dòng)模態(tài)和縱向振動(dòng)模態(tài)疊加生成驅(qū)動(dòng)足的橢圓運(yùn)動(dòng)，在400 V的激勵(lì)電壓作用下，實(shí)現(xiàn)最大推力為3.15 N。Takemura等[13]將3-DOF超聲電機(jī)應(yīng)用于微創(chuàng)手術(shù)機(jī)械手腕關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，利用圓柱狀定子的3種固有振動(dòng)模式實(shí)現(xiàn)球轉(zhuǎn)子的3-DOF運(yùn)動(dòng)，最終設(shè)計(jì)并加工了手術(shù)鉗的腕關(guān)節(jié)。

以筆者在文獻(xiàn)[14]中提出的一種基于球面接觸副的超聲電機(jī)驅(qū)動(dòng)的多自由度關(guān)節(jié)為研究對(duì)象，提出了一種基于響應(yīng)面模型的3-DOF超聲電機(jī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化策略。對(duì)3-DOF超聲電機(jī)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析建模，通過(guò)負(fù)載模型分析得到電機(jī)最佳驅(qū)動(dòng)頻率范圍，用響應(yīng)面法對(duì)定子最佳頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)和優(yōu)化，得到滿足設(shè)計(jì)要求的3-DOF超聲電機(jī)。

1 3-DOF超聲電機(jī)結(jié)構(gòu)和優(yōu)化策略

1.1 3-DOF超聲電機(jī)結(jié)構(gòu)和工作原理

文獻(xiàn)[14]中提出的3-DOF超聲電機(jī)其基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。該電機(jī)包含3個(gè)環(huán)形定子，3個(gè)柔性底座，1個(gè)支架和1個(gè)球轉(zhuǎn)子。定子背面通過(guò)環(huán)氧膠粘接固化了環(huán)形壓電陶瓷片，壓電陶瓷片采用環(huán)形超聲電機(jī)B05模態(tài)的分區(qū)極化[15]。3個(gè)定子中心線交于一點(diǎn)，呈120°夾角分布。定子表面有齒狀結(jié)構(gòu)，同時(shí)齒面形貌是和球轉(zhuǎn)子表面同曲率半徑的圓弧，保證球轉(zhuǎn)子和定子能夠緊密貼合。每個(gè)柔性底座都有彈性結(jié)構(gòu)，保證電機(jī)在裝配完成后球轉(zhuǎn)子和定子之間具有一定的預(yù)緊力。

圖1 3-DOF超聲電機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of 3-DOF ultrasonic motor

根據(jù)文獻(xiàn)[16]考慮電機(jī)結(jié)構(gòu)結(jié)合系統(tǒng)辨識(shí)方法提出了該電機(jī)的力學(xué)模型。在該模型中引入理想轉(zhuǎn)速ωid，理想轉(zhuǎn)速是定轉(zhuǎn)子之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的電機(jī)轉(zhuǎn)速，理想轉(zhuǎn)速的表達(dá)式如式(1)所示

(1)

其中：k為定子一周中的波長(zhǎng)個(gè)數(shù)；b為定子直徑；h為定子的有效厚度。

可以看到通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)電壓的頻率可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速的控制。電機(jī)實(shí)際工作中由于定轉(zhuǎn)子的機(jī)械摩擦驅(qū)動(dòng)特性，電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速ω并不等同于理想轉(zhuǎn)速ωid。通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法，描繪具有相同共振頻率，不同理想轉(zhuǎn)速(不同尺寸)的定子裝配得到的電機(jī)扭矩-轉(zhuǎn)速特性特性曲線。根據(jù)曲線可發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)(轉(zhuǎn)速)的截距與電機(jī)理想轉(zhuǎn)速相同，曲線斜率與定子共振頻率相同。由此可得電機(jī)的輸出扭矩[16]為

Td=f0(ωid-ω)

(2)

其中：f0為電機(jī)的共振頻率，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)合系統(tǒng)辨識(shí)得到。

由式(2)可知設(shè)計(jì)初期，電機(jī)的輸出扭矩與電機(jī)的共振頻率成比例關(guān)系，因此要在設(shè)計(jì)初期引入對(duì)電機(jī)輸出扭矩的設(shè)計(jì)，就對(duì)應(yīng)于對(duì)電機(jī)共振頻率的設(shè)計(jì)。在確定的共振頻率點(diǎn)附近對(duì)電機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，就是保證了電機(jī)共振頻率的值不變，從而保證了電機(jī)輸出扭矩不變。但是圍繞共振頻率點(diǎn)附近對(duì)定子進(jìn)行優(yōu)化，保證定子共振頻率值不變則需要解決如下問(wèn)題：a.定子設(shè)計(jì)模態(tài)與干擾模態(tài)分離不徹底；b.定子在相同電壓下振動(dòng)幅度偏小；c.定子內(nèi)應(yīng)力較大，超過(guò)了材料的許用應(yīng)力。

1.2 3-DOF超聲電機(jī)定子設(shè)計(jì)與優(yōu)化策略

該電機(jī)使用的定子所利用的模態(tài)為金屬圓環(huán)面外正交模態(tài)，如圖2所示。在定子背面粘接的壓電陶瓷通高頻電壓信號(hào)后，壓電陶瓷由于逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生高頻伸縮效應(yīng)，該高頻伸縮效應(yīng)以激勵(lì)源的形式誘發(fā)定子圓環(huán)產(chǎn)生一對(duì)正交的振動(dòng)模態(tài)記為B05。這兩種模態(tài)均在定子表面產(chǎn)生機(jī)械駐波，而兩相機(jī)械駐波的疊加則在定子表面產(chǎn)生了行波。

圖2 3-DOF超聲電機(jī)定子的工作模態(tài)Fig.2 3-DOF working mode of the stator

由圓環(huán)形定子的工作原理可知，該電機(jī)的定子利用兩相正交模態(tài)疊加的形式產(chǎn)生行波，因此設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)首先要考慮有效模態(tài)與干擾模態(tài)的分離問(wèn)題；同時(shí)電機(jī)輸出高扭矩和高轉(zhuǎn)速的前提是定子振幅要大；最后定子在振動(dòng)過(guò)程中內(nèi)應(yīng)力不能過(guò)大，應(yīng)該小于材料的屈服極限。要同時(shí)滿足這些設(shè)計(jì)要求，則需要解決多目標(biāo)優(yōu)化的問(wèn)題。筆者依靠響應(yīng)面近似模型和試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)3-DOF超聲電機(jī)定子設(shè)計(jì)與優(yōu)化。具體的做法是選取適當(dāng)?shù)亩ㄗ咏Y(jié)構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，利用拉丁超立方抽樣方法在變量空間選擇樣本點(diǎn)，針對(duì)不同樣本點(diǎn)的組合，利用(ANSYS parametric design language，簡(jiǎn)稱APDL)建立有限元模型并對(duì)定子進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，得到對(duì)應(yīng)各樣本點(diǎn)的響應(yīng)值(包括前相頻率和后相頻率、定子表面振幅和定子內(nèi)應(yīng)力等)，利用樣本點(diǎn)和響應(yīng)值建立定子優(yōu)化的響應(yīng)面模型，再以遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，具體流程如圖3所示。

圖3 3-DOF超聲電機(jī)定子優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.3 Optimal design flow of 3-DOF ultrasonic motor stator

2 電機(jī)定子響應(yīng)面模型

2.1 數(shù)值建模

圖4為3-DOF超聲電機(jī)定子的結(jié)構(gòu)尺寸簡(jiǎn)圖，其涉及到的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)總共13個(gè)，其中變化尺寸參數(shù)共5個(gè)，主要包括：本設(shè)計(jì)提到的在水平方向和豎直方向影響電機(jī)振動(dòng)特性的主要尺寸,為P3,P7,P8,P10,P12；固定尺寸8個(gè)，包括電機(jī)定子滿足結(jié)構(gòu)需求的基本尺寸,為P1,P2,P4,P5,P9，P11,P13；元器件供應(yīng)商所決定的尺寸；以及由尺寸鏈可以換算得到的尺寸。表1為定子變化尺寸及其設(shè)計(jì)空間。為了獲得較大的振幅，定子采用QSn6.5磷青銅材料，彈性模量為92 GPa，密度為8 500 kg/m3，泊松比為0.33；壓電陶瓷材料采用PZT-8,密度為7 500 kg/m3, 剛度矩陣cE、壓電矩陣e和介電常數(shù)矩陣εs分別如式(3)～(5)所示。

圖4 3-DOF超聲電機(jī)定子的結(jié)構(gòu)尺寸簡(jiǎn)圖Fig.4 Structure size diagram of the stator of 3-DOF ultrasonic motor

mm

(3)

(4)

(5)

根據(jù)圖4和表1所示的定子結(jié)構(gòu)和相關(guān)尺寸值，以及定子的固定尺寸值，通過(guò)APDL可以建立定子的有限元模型。定子采用8節(jié)點(diǎn)6面體的SOLID45單元，壓電陶瓷材料采用8節(jié)點(diǎn)6面體的SOLID5單元，最終將定子劃分為40 640個(gè)單元，共計(jì)50 120個(gè)節(jié)點(diǎn)，同時(shí)定子為自由邊界條件。定子的有限元模型如圖5所示。通過(guò)模態(tài)置信準(zhǔn)則(modal assurance criteria，簡(jiǎn)稱MAC)方法。對(duì)定子模態(tài)進(jìn)行自動(dòng)識(shí)別時(shí)需要選取參考振型[17]，參考振型選取的參考節(jié)點(diǎn)為定子齒面最外圈的節(jié)點(diǎn)，如圖5所示。圖6為初始尺寸模態(tài)計(jì)算得到的定子兩相模態(tài)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)機(jī)械波長(zhǎng)參考節(jié)點(diǎn)振動(dòng)特征。

圖5 定子有限元模型Fig.5 Structure size diagram

圖6 參考節(jié)點(diǎn)振動(dòng)特征Fig.6 Vibration characteristics of reference nodes

2.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)確定

關(guān)于3-DOF超聲電機(jī)定子的優(yōu)化涉及到多方面的要求，這些設(shè)計(jì)要求必須在優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)中得到體現(xiàn)。每個(gè)目標(biāo)函數(shù)是對(duì)實(shí)際設(shè)計(jì)要求的數(shù)學(xué)描述，反映定子的某個(gè)(或某些)特性。根據(jù)結(jié)構(gòu)及振型調(diào)整的要求及超聲電機(jī)設(shè)計(jì)的一般準(zhǔn)則，定子部分所涉及的所有設(shè)計(jì)要求(優(yōu)化目標(biāo))可以概括為4個(gè)目標(biāo)函數(shù)。

1) 前相干擾模態(tài)頻率遠(yuǎn)離工作模態(tài)頻率。比定子工作模態(tài)頻率低的頻率有很多，如果這些頻率與工作模態(tài)頻率相近，會(huì)導(dǎo)致定子產(chǎn)生不需要的振動(dòng)位移，從而使得電機(jī)輸出性能下降。為了保證電機(jī)的性能，要求電機(jī)的工作模態(tài)頻率盡可能大于這些干擾頻率，差值越大越好。同時(shí)為了數(shù)據(jù)處理方便和目標(biāo)函數(shù)的收斂特性，采用兩者差值的倒數(shù)作為優(yōu)化函數(shù)，如式(6)所示

(6)

其中：FAB為定子工作模態(tài)對(duì)應(yīng)的共振頻率；FF為前相共振模態(tài)對(duì)應(yīng)的共振頻率。

2) 后相干擾模態(tài)頻率遠(yuǎn)離工作模態(tài)頻率。與前相干擾模態(tài)一樣，后相干擾頻率也很多，如果這些頻率與工作模態(tài)頻率相近，會(huì)導(dǎo)致定子產(chǎn)生不需要的振動(dòng)位移，使得電機(jī)輸出性能下降。為了保證電機(jī)的性能，要求電機(jī)的工作模態(tài)頻率盡可能小于這些干擾頻率，差值越大越好。優(yōu)化函數(shù)為

(7)

其中：FL為后相共振模態(tài)對(duì)應(yīng)的共振頻率。

3) 定子齒面振幅。超聲電機(jī)運(yùn)動(dòng)的原理決定了定子齒面振幅對(duì)電機(jī)性能的影響很大。振幅在一定范圍內(nèi)越大性能越好。因此定子齒面質(zhì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)模態(tài)下沿著振動(dòng)方向的振幅值也作為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。考慮到函數(shù)歸一化處理和收斂性要求，取定子齒面振幅的倒數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，如式(8)所示

(8)

其中：ZA為A相激勵(lì)時(shí)定子齒面的振幅；ZB為A相激勵(lì)時(shí)定子齒面的振幅。

4) 定子安裝部位內(nèi)應(yīng)力。超聲電機(jī)運(yùn)動(dòng)主要依靠定子的振動(dòng)將壓電陶瓷的變形放大。對(duì)于定子最內(nèi)圈的安裝部位應(yīng)該保證變形越小越好，即該部位內(nèi)應(yīng)力越小越好。因此安裝部位的內(nèi)應(yīng)力作為目標(biāo)函數(shù)如式(9)所示

F4=σ

(9)

其中：σ為定子安裝部位的內(nèi)應(yīng)力。

由以上分析可知，3-DOF超聲電機(jī)定子的優(yōu)化為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，直接針對(duì)多個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化很難得到好的最優(yōu)結(jié)果。為了便于尋找最優(yōu)解，本研究采用“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”法。首先，將各目標(biāo)函數(shù)都轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱的值，并將其限定在[0,1]范圍內(nèi)，即根據(jù)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，給各目標(biāo)函數(shù)加權(quán)因子；然后將各目標(biāo)函數(shù)與各自加權(quán)因子的乘積求和作為最終的目標(biāo)函數(shù)。具體如式(10)所示。

(10)

其中:βi為各目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)；Fi為各子目標(biāo)函數(shù)。

本實(shí)驗(yàn)中加權(quán)系數(shù)共取βa,βb,βc,βd4組，如式(11)所示。

(11)

2.3 優(yōu)化子目標(biāo)響應(yīng)面函數(shù)的確定

表1中的P3,P7,P8,P10,P12為可變參數(shù)，選擇5個(gè)尺寸作為設(shè)計(jì)變量，則實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)變量如式(12)所示。

(12)

同時(shí)采用拉丁超立方抽樣實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，進(jìn)行5因素設(shè)計(jì)。本研究所取得變化尺寸均是直接影響到定子振動(dòng)特性的尺寸。在選取變化尺寸的時(shí)候主要考慮半徑方向，厚度方向相互獨(dú)立的尺寸，即一個(gè)尺寸的改變不會(huì)影響其他尺寸的變化，從而保證了變量間的獨(dú)立性，為拉丁超立方抽樣提供了條件。由表1可得初始值為[1.0,1.5,1.2,3.1,1.0]，同時(shí)可得各設(shè)計(jì)變量的取值范圍如式(13)所示。

(13)

通過(guò)多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件Optimus，對(duì)各子目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行拉丁超立方抽樣實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[18]，得到56組數(shù)據(jù)，表2所示的為其中的20組數(shù)據(jù)。其中，x1～x5分別對(duì)應(yīng)可變尺寸P3,P7,P8,P10,P12，為了獲得高質(zhì)量的響應(yīng)面模型，筆者采用二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)可獲得如下子目標(biāo)函數(shù)模型。

表2 拉丁超立方抽樣實(shí)驗(yàn)樣本

Tab.2 Experimental sample of Latin hypercube sampling

序號(hào)P3P7P8P10P12F1(x)F2(x)F3(x)F4(x)x1/mmx2/mmx3/mmx4/mmx5/mm1/Hz1/Hz1/μmPa10.871 20.423 11.158 93.235 90.980 81.64×10-42.10×10-45.73×1052.34×10621.120 90.619 51.269 92.532 20.918 51.10×10-32.45×10-46.32×1053.68×10630.846 00.313 21.105 63.283 40.866 22.80×10-42.48×10-45.47×1052.17×10641.175 80.487 91.192 12.675 30.835 85.66×10-42.78×10-45.51×1053.97×10650.938 30.344 01.059 13.203 31.174 22.89×10-42.75×10-45.52×1052.07×10660.878 80.404 71.098 43.356 00.877 71.55×10-42.68×10-45.58×1052.30×10671.083 70.727 11.386 52.506 90.815 82.01×10-32.48×10-41.11×1062.44×10680.846 40.766 41.108 92.521 30.815 06.38×10-42.48×10-46.77×1053.70×10690.905 20.438 81.112 53.148 50.927 31.54×10-42.24×10-45.64×1052.29×106

1) 子目標(biāo)函數(shù)F1的響應(yīng)面模型如式(14)所示，其中a0～a20分別為各項(xiàng)的系數(shù)。

(14)

由表2數(shù)據(jù)結(jié)合Optimus可得a0～a20的值分別見(jiàn)表3所示。同時(shí)得到?jīng)Q定系數(shù)R2=86%。

表3 子目標(biāo)函數(shù)F1的系數(shù)

Tab.3 The coefficient of the objective function F1

a0～a6取值a7～a13取值a14～a20取值a0-6.8×10-3a74.0×10-3a14-4.5×10-3a1-5.3×10-6a82.3×10-3a15-4.9×10-2a2-9.6×10-3a9-1.4×10-2a16-7.8×10-3a3-1.8×10-2a101.0×10-2a17-6.3×10-3a4-3.5×10-3a112.4×10-2a187.9×10-3a5-6.9×10-3a123.4×10-3a194.2×10-3a6-1.9×10-2a13-2.3×10-2a205.1×10-3

2) 子目標(biāo)函數(shù)F2的響應(yīng)面模型如式(15)所示，其中b0～b20分別為各項(xiàng)的系數(shù)。

(15)

可得b0～b20的值分別見(jiàn)表4所示。同時(shí)得到?jīng)Q定系數(shù)R2=86%。

表4 子目標(biāo)函數(shù)F2的系數(shù)

Tab.4 The coefficient of the objective function F2

b0～b6取值b7～b13取值b14～b20取值b0-7.4×10-3b74.3×10-3b14-1.4×10-3b14.3×10-3b82.3×10-3b15-5.7×10-2b2-1.5×10-2b9-1.5×10-2b16-8.1×10-3b3-2.0×10-2b101.2×10-2b17-9.5×10-3b4-2.1×10-3b112.7×10-2b181.1×10-2b5-5.9×10-3b125.9×10-3b196.6×10-3b6-2.2×10-2b13-2.5×10-2b206.4×10-3

3) 子目標(biāo)函數(shù)F3的響應(yīng)面模型如式(16)所示，其中c0～c20分別為各項(xiàng)的系數(shù)。

(16)

可得c0～c20的值分別見(jiàn)表5所示。同時(shí)得到?jīng)Q定系數(shù)R2=88%。

表5 子目標(biāo)函數(shù)F3的系數(shù)

Tab.5 The coefficient of the objective function F3

c0～c6取值c7～c13取值c14～c20取值c0-6.6×105c75.9×105c14-9.4×105c1-4.6×104c84.7×105c15-8.7×106c2-1.7×106c9-2.5×106c16-1.6×106c3-3.2×106c101.9×106c17-1.1×106c4-5.6×105c114.1×106c181.5×106c5-1.3×106c126.9×105c196.8×105c6-3.5×106c13-4.1×106c208.3×105

4) 子目標(biāo)函數(shù)F4的響應(yīng)面模型如式(17)所示，其中d0～d20分別為各項(xiàng)的系數(shù)。

(17)

可得d0～d20的值分別見(jiàn)表6所示。同時(shí)得到?jīng)Q定系數(shù)R2=88%。

表6 子目標(biāo)函數(shù)F4的系數(shù)

Tab.6 The coefficient of the objective function F4

d0～d6取值d7～d13取值d14～d20取值d02.8×106d7-3.7×105d147.6×105d16.7×105d8-2.1×105d151.5×106d2-1.2×105d91.3×106d167.4×105d36.1×105d10-2.4×105d171.2×105d4-1.7×105d11-5.0×105d186.9×104d54.8×105d124.8×105d194.0×105d67.5×105d139.2×105d204.8×105

2.4 響應(yīng)面函數(shù)分析

根據(jù)子目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面表達(dá)式(14)～(17)及子目標(biāo)函數(shù)系數(shù)表3～6的分析可以得到如下結(jié)論：影響子目標(biāo)函數(shù)F1的主要優(yōu)化變量為P3和P8；影響子目標(biāo)函數(shù)F2的主要優(yōu)化變量為P7和P8；影響子目標(biāo)函數(shù)F3的主要優(yōu)化變量為P7和P8；影響子目標(biāo)函數(shù)F4的主要優(yōu)化變量同樣為P7和P8。

3 電機(jī)定子優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 自適應(yīng)遺傳算法

由于本研究涉及到的優(yōu)化參數(shù)較多，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基函數(shù)項(xiàng)也比較多，因此文中采用自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。自適應(yīng)遺傳算法是一種簡(jiǎn)化的模擬生物遺傳和變異過(guò)程的算法。本研究用到的自適應(yīng)遺傳算法是一種基于真實(shí)值的連續(xù)參數(shù)優(yōu)化算法[18-19]，結(jié)合本研究的實(shí)際工程情況，自適應(yīng)遺傳算法主要參數(shù)設(shè)置為：父代數(shù)為20，種群大小為50，步長(zhǎng)突變因子為1.3，停止準(zhǔn)則為1×10-5。

3.2 數(shù)據(jù)分析

根據(jù)式(12)提供的4種加權(quán)系數(shù)的組合，結(jié)合自適應(yīng)遺傳算法，建立各子目標(biāo)函數(shù)與最終的目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系；依靠響應(yīng)面模型對(duì)最終的目標(biāo)函數(shù)Fo bj進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果如表7所示，其中*為最優(yōu)結(jié)果組。

對(duì)比表7中的4種加權(quán)系數(shù)組合得到的優(yōu)化結(jié)果，可以得到第3組的優(yōu)化結(jié)果為最優(yōu)。其中總體優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Fo bj在4個(gè)組合中趨于最小值0.048 8。F1，F(xiàn)3和F43個(gè)子優(yōu)化目標(biāo)的收斂值也是4個(gè)組合中的最小值。子優(yōu)化目標(biāo)F2的收斂值在4個(gè)組合中并非最小值原因在于：根據(jù)式(14～17)得到四個(gè)子優(yōu)化目標(biāo)的主要影響尺寸變量為P7和P8，同時(shí)根據(jù)圖6可以看出這兩個(gè)尺寸在一個(gè)方向上，屬于耦合尺寸，因此想要尋求最優(yōu)解只能在兩個(gè)尺寸之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)，保證多數(shù)優(yōu)化目標(biāo)最優(yōu)的同時(shí)少數(shù)或者單個(gè)優(yōu)化目標(biāo)滿足基本要求。

該組總體優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Fo bj和4個(gè)子優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)F1～F4的收斂情況分別如圖7的(a～e)所示。經(jīng)過(guò)了85次迭代，總體優(yōu)化目標(biāo)和4個(gè)子優(yōu)化目標(biāo)都收斂于固定值。

表7 不同加權(quán)系數(shù)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果

圖7 目標(biāo)函數(shù)收斂情況Fig.7 Convergence of objective function

3.3 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證表7中優(yōu)化結(jié)果的正確性，本研究利用ANSYS軟件對(duì)各組優(yōu)化后的尺寸進(jìn)行了有限元計(jì)算，同時(shí)將優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行反規(guī)格化處理。將有限元計(jì)算的結(jié)果與響應(yīng)面模型優(yōu)化的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析(如表8所示)驗(yàn)證了響應(yīng)面模型優(yōu)化的正確性。

由表8可以看出第3組優(yōu)化結(jié)果：前相干擾頻率與工作模態(tài)頻率之間的差值響應(yīng)面優(yōu)化結(jié)果為3 952 Hz，有限元計(jì)算得到的前相干擾頻率與工作模態(tài)頻率之間的差值為4 018 Hz；后相干擾頻率與工作模態(tài)頻率之間的差值響應(yīng)面結(jié)果為2 824 Hz，有限元計(jì)算得到的前相干擾頻率與工作模態(tài)頻率之間的差值為2 787 Hz；振動(dòng)幅值響應(yīng)面優(yōu)化結(jié)果為1.88 μm，有限元計(jì)算的結(jié)果為1.92 μm；內(nèi)應(yīng)力響應(yīng)面優(yōu)化結(jié)果為2.05×106Pa，有限元計(jì)算的結(jié)果為2.33×106Pa。計(jì)算結(jié)果表明前相干擾頻率差值，后相干擾頻率差值，振動(dòng)幅值和內(nèi)應(yīng)力及實(shí)際計(jì)算一致性較好，同時(shí)均滿足要求，可見(jiàn)采用的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法基本可實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的需求。根據(jù)表7第3組加權(quán)系數(shù)組合得到的優(yōu)化結(jié)果，將尺寸參數(shù)圓整到精度為0.01 mm，利用ANSYS軟件重新計(jì)算，并與定子初始值計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表9所示。

表8 定子優(yōu)化結(jié)果反規(guī)格化數(shù)據(jù)與ANSYS計(jì)算結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

Tab.8 Comparison of inverse optimization data and ANSYS calculation results of stator optimization results

分組序號(hào)結(jié)果分類β1β2β3β41/F1(x)1/F2(x)1/F3(x)F4(x)HzHzμmPa1優(yōu)化結(jié)果ANSYS驗(yàn)證1.0×10-21.0×10-21.0×10-71.0×10-82 9233 2144 1494 0221.841.872.06×1063.68×1062優(yōu)化結(jié)果ANSYS驗(yàn)證5.0×10-35.0×10-32.0×10-82.0×10-92 0702 1085 2365 0871.791.722.12×1062.45×1063優(yōu)化結(jié)果ANSYS驗(yàn)證2.0×10-32.0×10-35.0×10-85.0×10-83 9524 0182 8242 7871.881.922.05×1062.33×1064優(yōu)化結(jié)果ANSYS驗(yàn)證5.0×10-35.0×10-31.0×10-72.0×10-93 4243 4583 5343 5921.811.862.07×1062.24×106

表9 初始值與終止值對(duì)照

Tab.9 Comparison between initial value and

termination value

優(yōu)化相關(guān)變量?jī)?yōu)化前優(yōu)化后優(yōu)化參數(shù)P3/mm1.000.95P7/mm0.500.35P8/mm1.201.02P10/mm3.103.37P12/mm1.000.90優(yōu)化目標(biāo)1/F1(x)/Hz1 0254 0181/F2(x)/Hz1 5322 7871/F3(x)/μm0.971.92F4(x)/MPa5.982.33目標(biāo)頻率/kHz23.6722.88前相干擾頻率/kHz22.6418.87后相干擾頻率/kHz25.2925.67

3.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)采用PSV多普勒激光干涉儀對(duì)根據(jù)優(yōu)化前后尺寸加工得到的定子進(jìn)行掃描和測(cè)振。主要測(cè)量得到定子的共振頻率和共振頻率下定子的振幅，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中定子的激勵(lì)峰值電壓為100 V。由實(shí)驗(yàn)可得定子的振動(dòng)模態(tài)如圖8所示，同時(shí)實(shí)驗(yàn)得到定子振幅如表10所示。

由圖8可得測(cè)試得到的定子振動(dòng)模態(tài)與計(jì)算保持一致。根據(jù)表10的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可得：優(yōu)化后的定子z方向的振幅明顯增大，證明了本研究提出的定子優(yōu)化方案的有效性。

圖8 實(shí)驗(yàn)得到的定子振動(dòng)模態(tài)Fig.8 Vibration mode of the stator obtained from the test

優(yōu)化A相B相FA/kHzzA/μmFB/kHzzB/μm優(yōu)化前23.380.8523.540.90優(yōu)化后22.861.9522.852.00

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)3-DOF超聲電機(jī)定子的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，筆者提出一種基于響應(yīng)面模型的多目標(biāo)優(yōu)化方法，對(duì)定子前相干擾頻率、后相干擾頻率、齒面振幅和內(nèi)應(yīng)力進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后的定子前相干擾頻率與目標(biāo)頻率之間的差值大于3 500 Hz，定子后相頻率與目標(biāo)頻率的差值大于2 500 Hz，定子齒面振幅大于1.9 μm，定子內(nèi)應(yīng)力小于2.5 MPa，均滿足定子設(shè)計(jì)的基本要求。同時(shí)該方法使得普通的有限元計(jì)算中手動(dòng)選擇參數(shù)變?yōu)樽詣?dòng)計(jì)算獲得最優(yōu)解，為更復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了思路，大大縮短了優(yōu)化設(shè)計(jì)的周期。