基于LHS冷卻塔敏感性分析及頻率估算*

柯世堂， 徐 璐,2

(1.南京航空航天大學(xué)土木工程系 南京,210016) (2.中國能源建設(shè)集團(tuán)廣東省電力設(shè)計(jì)研究院有限公司 廣州,510700)

引 言

自振頻率是決定著結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變形和受力的關(guān)鍵因素，現(xiàn)有冷卻塔結(jié)構(gòu)自振頻率主要通過有限元計(jì)算或現(xiàn)場實(shí)測來獲取，計(jì)算過程復(fù)雜、耗時(shí)長且方法單一，缺乏簡單有效的冷卻塔自振頻率估算公式。而現(xiàn)階段國內(nèi)外研究成果[1-3]和規(guī)范[4-6]中鮮有給出簡單快捷的冷卻塔自振頻率估算公式；此外，冷卻塔基頻對何種結(jié)構(gòu)參數(shù)較為敏感也尚未得出一致結(jié)論。文獻(xiàn)[7-8]給出了多參數(shù)下自振頻率的擬合公式，然而并未對其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。因此探究不同參數(shù)下動(dòng)力特性的敏感性，通過附加敏感因子權(quán)重值擬合出自振頻率的估算公式，并進(jìn)行精細(xì)化驗(yàn)證具有重要的理論和工程意義。

針對結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的敏感性分析，主要集中在大跨度橋梁和屋蓋，文獻(xiàn)[9-10]提出了基于高斯過程模型的全局靈敏度分析方法，分析了實(shí)橋動(dòng)力特性不確定性的靈敏度。文獻(xiàn)[11]針對某大跨屋蓋采用擾動(dòng)法和拉丁超立方抽樣法進(jìn)行多參數(shù)下結(jié)構(gòu)自振頻率的敏感性分析。文獻(xiàn)[12-13]采用擾動(dòng)法進(jìn)行了剛性懸索加勁鋼桁梁橋結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性分析和矢跨比等參數(shù)對輻射式張弦梁結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的敏感度分析。此外，針對大型冷卻塔動(dòng)力特性的研究，文獻(xiàn)[14]基于現(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)對冷卻塔動(dòng)力特性進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[15]發(fā)現(xiàn)冷卻塔低階頻率主要受環(huán)向剛度控制，子午線型與結(jié)構(gòu)整體抗傾覆彎矩有關(guān)。文獻(xiàn)[16]通過建立與渡橋電廠冷卻塔相同壁厚、高度、筒底直徑和人字柱等參數(shù)的冷卻塔，分析兩者動(dòng)力特性和風(fēng)致響應(yīng)的差異，結(jié)果表明塔型不合理是渡橋電廠冷卻塔倒塌的重要原因之一。文獻(xiàn)[8,17]對3種不同特征尺寸的冷卻塔進(jìn)行了動(dòng)力特性分析，研究發(fā)現(xiàn)基頻較低的冷卻塔共振響應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位，隨基頻的降低風(fēng)振響應(yīng)的動(dòng)力放大作用愈加顯著。已有研究均未涉及參數(shù)的敏感性分析，這也成為設(shè)計(jì)人員在進(jìn)行塔型優(yōu)化過程中的瓶頸問題。

鑒于此，以國內(nèi)某179 m高的大型冷卻塔為基準(zhǔn)塔，首先，通過改變模型典型結(jié)構(gòu)參數(shù)獲得基準(zhǔn)塔38個(gè)模型的動(dòng)力特性，提煉出基頻和傾覆頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律；然后，采用擾動(dòng)法和拉丁超立方抽樣兩種方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)自振頻率參數(shù)的敏感性分析，獲取了不同階數(shù)下各結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感因子，在此基礎(chǔ)上首次擬合出考慮敏感因子權(quán)重值的多參數(shù)基頻和傾覆頻率的實(shí)用估算公式；最后，選取課題組已有研究的冷卻塔進(jìn)行估算公式的誤差分析，進(jìn)而驗(yàn)證了筆者提出的自振頻率估算公式精度高、穩(wěn)定性好。

1 基準(zhǔn)塔有限元建模及動(dòng)力特性分析

1.1 有限元建模

基準(zhǔn)塔塔高為179 m，喉部直徑為98.6 m，進(jìn)風(fēng)口高度為27.8 m。采用大型通用軟件ANSYS建立基準(zhǔn)塔模型，圖1給出了冷卻塔的主要構(gòu)件：剛性環(huán)、塔筒、支柱和地基。塔筒采用Shell63單元，環(huán)向和子午向分別劃分192和118個(gè)單元。環(huán)基及與環(huán)基連接的48對X型柱均采用Beam188單元。

圖1 冷卻塔有限元建模示意圖Fig.1 Sketch map of finite element modeling of cooling tower

X型支柱與塔筒下部連接采用節(jié)點(diǎn)自由度耦合的方式，每個(gè)環(huán)基下部采用Combin14單元，每根樁基均采用3個(gè)力彈簧單元和3個(gè)力矩彈簧單元分別模擬樁沿豎向、環(huán)向、徑向、繞豎向、繞環(huán)向和繞徑向的作用，彈簧單元一端與環(huán)基剛性連接，另一端固結(jié)約束。

1.2 自振特性分析

采用Block Lanczos方法求解基準(zhǔn)塔的自振頻率和振型，圖2和表1分別為冷卻塔前10階自振頻率分布曲線和典型振型列表。該基準(zhǔn)塔的基頻為0.678 Hz，前10階頻率均小于1.0 Hz。結(jié)構(gòu)振型復(fù)雜且具有明顯的三維特征，具體表現(xiàn)為：子午向均存在至少2個(gè)諧波，隨階數(shù)增加底部諧波所處高度逐漸降低，且環(huán)向諧波數(shù)隨階數(shù)增加而增大。

圖2 冷卻塔自振頻率分布示意圖Fig.2 Distribution of natural frequency of cooling tower

表1 冷卻塔前10階固有頻率和振型列表

2 自振頻率的參數(shù)分析

冷卻塔作為雙曲薄殼結(jié)構(gòu)，主要結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)包括塔度、喉部直徑、進(jìn)風(fēng)口位置、支柱截面積和地基剛度。建模過程中一般采用彈簧單元模擬真實(shí)結(jié)構(gòu)與土之間的相互作用，研究[18-19]表明，彈簧剛度對結(jié)構(gòu)基頻存在影響，在一定范圍內(nèi)隨剛度增加自振頻率增大，當(dāng)增至一定限度后自振頻率出現(xiàn)減小的趨勢。冷卻塔地基彈簧剛度一般采用經(jīng)驗(yàn)公式[15,20]計(jì)算

(1)

其中:D為地基周長；Li(i=1,2,3)分別為地基彈簧沿豎向、徑向和環(huán)向長度；K為基床系數(shù)；Ni(i=1,2,3)為繞豎向、繞環(huán)向和繞徑向單元個(gè)數(shù)。

由式(1)可知，彈簧剛度由多參數(shù)決定，其中包括基床系數(shù)(主要與結(jié)構(gòu)所處土質(zhì)有關(guān))、有限元建模時(shí)基礎(chǔ)單元數(shù)量、地基周長和地基的尺度等參數(shù)。經(jīng)驗(yàn)公式中彈簧剛度計(jì)算的參數(shù)存在較多不確定性，如基礎(chǔ)單元的數(shù)量，因此在變量設(shè)置后得出的估算公式將與實(shí)際存在較大偏差。本研究未考慮彈簧剛度對冷卻塔頻率的影響，而將其他關(guān)鍵參數(shù)均考慮在內(nèi)，文獻(xiàn)[15-16,20]針對少部分結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行探討，但未針對以上全部關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行研究，更未涉及結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性分析。

為研究塔高、喉部高度、喉部直徑、進(jìn)風(fēng)口高度和支柱截面對冷卻塔自振特性的敏感性，以基準(zhǔn)塔為例，在保持其他參數(shù)不變并控制單一變量的前提下，對各個(gè)模型進(jìn)行動(dòng)力特性分析，具體參數(shù)分析如表2所示。

圖3和4給出了不同高度、喉高比、喉部直徑、進(jìn)風(fēng)口高度和支柱截面積下冷卻塔的基頻和傾覆頻率結(jié)果，在此基礎(chǔ)上擬合出基頻隨各參數(shù)變化的分布曲線。由圖可知:a.基頻隨冷卻塔高度增加逐漸減小，最大減幅為55%，說明塔高與自振頻率呈負(fù)相關(guān)關(guān)系且相關(guān)性較強(qiáng)；傾覆頻率也隨塔高的增加逐漸減小;b.隨喉高比的增大結(jié)構(gòu)基頻大致呈下降趨勢，喉高比與結(jié)構(gòu)自振頻率呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，在0.76～0.79范圍內(nèi)出現(xiàn)了平緩區(qū)；傾覆頻率隨喉高

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)列表

比的增大呈先增后趨于平緩再減的趨勢，在0.76～0.79范圍內(nèi)出現(xiàn)了平緩區(qū);c.隨喉部直徑的增大基頻逐漸增大，喉部直徑與結(jié)構(gòu)自振頻率呈正相關(guān)關(guān)系，但結(jié)構(gòu)傾覆頻率隨喉部直徑的增大逐漸減小;d.進(jìn)風(fēng)口高度的增加使得結(jié)構(gòu)基頻呈非線性增加的趨勢，最大增幅僅為6%，進(jìn)風(fēng)口高度與基頻呈正相關(guān)關(guān)系；此外，傾覆頻率隨進(jìn)風(fēng)口高度的增加逐漸減小，但最大減幅僅在2%左右;e.支柱截面積與結(jié)構(gòu)自振頻率呈對數(shù)律分布，當(dāng)截面積增大至一定數(shù)值(2 m2)，結(jié)構(gòu)基頻增長趨勢變緩，最大增幅為9.8%，與塔高相比，自振頻率與支柱截面積相關(guān)性較弱。

圖3 冷卻塔各參數(shù)與基頻的關(guān)系曲線Fig.3 The relative curve between each parameter of cooling tower and the natural frequency of vibration

圖4 冷卻塔各參數(shù)與傾覆頻率的關(guān)系曲線Fig.4 The relative curve between each parameter of cooling tower and the natural frequency of vibration

3 自振頻率參數(shù)的敏感性分析

3.1 擾動(dòng)法

(2)

其中:ffem為求解函數(shù)；H為塔高；B為喉高比；R為喉部直徑；J為進(jìn)風(fēng)口高度；A為支柱截面積。

擾動(dòng)法計(jì)算各模態(tài)靈敏度的公式為

(3)

其中：λj為p=p0時(shí)的自振頻率；λj′為保持其他參數(shù)不變，令p=p0+Δp時(shí)算出的自振頻率;p為各種設(shè)計(jì)參數(shù)。

通過式(3)求得的靈敏度無量綱化如下

(4)

無量綱化的靈敏度稱為相對靈敏度。本研究將其作為衡量各參數(shù)敏感度的指標(biāo)，分析5種設(shè)計(jì)參數(shù)對冷卻塔自振頻率的敏感度，分別用|H|，|J|，|R|，|B|和|A|來表示。

冷卻塔結(jié)構(gòu)具有軸對稱性，其奇數(shù)和偶數(shù)階頻率一致，因此圖5以奇數(shù)階為例給出了5種設(shè)計(jì)參數(shù)對前10階自振頻率的相對靈敏度柱狀圖。分析表明：a.塔高和喉部高度對模型自振頻率的敏感因子均為負(fù)值，表明其與結(jié)構(gòu)的自振頻率呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；喉部直徑、進(jìn)風(fēng)口高度和支柱截面積的敏感因子為正值，表明其與自振頻率呈正相關(guān)關(guān)系；b.冷卻塔高度對結(jié)構(gòu)自振頻率的敏感度較大，敏感因子均在-1.5～-2.0之間，喉部高度、喉部直徑和支柱截面積的敏感因子均較小，在±0.0上下波動(dòng)，而對于進(jìn)風(fēng)口高度，在低階敏感因子較小，高階敏感因子增大，最大可至0.5左右；c.各設(shè)計(jì)參數(shù)對結(jié)構(gòu)自振頻率的敏感度按從小到大的排列順序|H|>|J|>|B|>|A|>|R|。

圖5 各設(shè)計(jì)參數(shù)的相對靈敏度曲線圖Fig.5 Relative sensitivity curve of design parameters

3.2 拉丁超立方抽樣法

圖6 各參數(shù)變量的等概率區(qū)間劃分Fig.6 Equal probability interval division for parametric variables

運(yùn)算次數(shù)H/mBR/mJ/mA/m2121364263251336415414526545132652643

自振頻率的計(jì)算參數(shù)x1,x2,…及頻率的相關(guān)矩陣為

(5)

其中：C為各計(jì)算參數(shù)x1,x2…及因變量f的相關(guān)矩陣；rij為簡單相關(guān)系數(shù)。

對式(3)求逆矩陣得

(6)

則偏相關(guān)系數(shù)為

(7)

圖7為拉丁超立方抽樣方法求得的各種設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感因子。對比可知：采用LHS法得出的設(shè)計(jì)參數(shù)敏感度排列順序如下：a.塔高和喉部高度與結(jié)構(gòu)自振頻率呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；喉部直徑、進(jìn)風(fēng)口高度和支柱截面積與自振頻率呈正相關(guān)關(guān)系；b.冷卻塔高度對結(jié)構(gòu)自振頻率的敏感度較大，敏感因子均在-1.5～-2.0之間，喉部高度、喉部直徑和支柱截面積的敏感因子均較小，在±0.0上下波動(dòng)；c.各設(shè)計(jì)參數(shù)對結(jié)構(gòu)自振頻率的敏感度按從小到大的排列順序|H|>|B|>|A|>|R|>|J|。

圖7 各設(shè)計(jì)參數(shù)的相對靈敏度曲線圖Fig.7 Relative sensitivity curve of design parameters

3.3 自振頻率的實(shí)用估算公式

以上分析表明：基頻和傾覆頻率與塔高呈反比，與支柱截面積呈對數(shù)律形式增長，而與喉高比和進(jìn)風(fēng)口高度呈非線性關(guān)系?；诙囗?xiàng)式擬合原理，以塔高、喉高比、喉部直徑、進(jìn)風(fēng)口高度和支柱截面積為目標(biāo)函數(shù)，筆者擬合給出超大型冷卻塔基頻和傾覆頻率實(shí)用估算方式。其中，基頻擬合公式為

(8)

傾覆頻率擬合公式為

(9)

3.4 誤差分析

為驗(yàn)證擬合公式的有效性，采用課題組已有研究的冷卻塔進(jìn)行驗(yàn)證。文獻(xiàn)[14,23]中冷卻塔結(jié)構(gòu)基本參數(shù)如表4所示。

表4 試驗(yàn)塔結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

表5為3個(gè)算例塔基頻和傾覆頻率有限元計(jì)算值和擬合值。對比發(fā)現(xiàn)：基頻擬合結(jié)果誤差值大于傾覆頻率的誤差，其中塔B基頻誤差最大，為1.95%，塔A傾覆頻率誤差最小，為0.33%。可見文中的基頻和傾覆頻率擬合公式在估算自振頻率方面具有較高的可信度。

表5 冷卻塔自振頻率結(jié)果驗(yàn)證

Tab.5 The result verification of natural frequency for cooling tower

Hz

4 結(jié) 論

1) 冷卻塔基頻隨總高度和喉部高度的增加逐漸減小，而隨喉部直徑、進(jìn)風(fēng)口高度和支柱截面積的增加逐漸增大；以塔高為目標(biāo)計(jì)算所得的敏感因子顯著大于其他4個(gè)參數(shù)的敏感因子，精度較高的拉丁超立方抽樣法獲取的敏感因子大小排序?yàn)閨H|>|B|>|A|>|R|>|J|。

2) 冷卻塔自振頻率與塔高呈線性反比關(guān)系，與支柱截面積呈對數(shù)律形式增長，而與喉部高度、喉部直徑和進(jìn)風(fēng)口高度呈非線性關(guān)系?；诙囗?xiàng)式擬合原理，創(chuàng)新性地提出考慮敏感因子權(quán)重值的多參數(shù)基頻和傾覆頻率的實(shí)用估算公式。

3) 3個(gè)算例冷卻塔基頻擬合結(jié)果誤差值大于傾覆頻率的誤差，其中，塔B基頻誤差最大，為1.95%，塔A傾覆頻率誤差最小，為0.33%?？梢娢闹械幕l和傾覆頻率擬合公式在估算自振頻率方面具有較高的可信度。