物質(zhì)波的波速與頻率公式中的能量

林輝慶

摘 要：高中物理教科書(shū)沒(méi)有明確說(shuō)明物質(zhì)波的頻率公式中的能量是動(dòng)能還是總能量，而由頻率乘以波長(zhǎng)求得的波速大小在中學(xué)均存在疑問(wèn)。本文指出頻率公式中的能量是粒子的總能量mc2，介紹波包、相速度和群速度的概念，解釋物質(zhì)波波速的疑問(wèn)。

關(guān)鍵詞：物質(zhì)波；能量；波速；波包；相速度；群速度

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2018）10-0057-3

1 物質(zhì)波的波長(zhǎng)、頻率與波速

高中物理在光的波粒二象性之后學(xué)習(xí)了德布羅意的物質(zhì)波概念。即任何實(shí)物粒子（下面簡(jiǎn)稱(chēng)粒子）都具有波動(dòng)性，每一個(gè)運(yùn)動(dòng)的粒子都與一個(gè)對(duì)應(yīng)的波相聯(lián)系。粒子的動(dòng)量p跟它所對(duì)應(yīng)的波的波長(zhǎng)λ的關(guān)系是

2 頻率公式中的能量與波速的疑問(wèn)

物質(zhì)波波長(zhǎng)公式中的動(dòng)量p=mv，m是粒子的質(zhì)量，v是粒子的速度。問(wèn)題是物質(zhì)波頻率公式中的能量E是什么？是粒子的動(dòng)能還是總能量？對(duì)此，上述兩種版本的教科書(shū)都沒(méi)有明確的說(shuō)明。不過(guò)司南版教科書(shū)編有下面的例題及解答，涉及到運(yùn)動(dòng)粒子的能量。

例題 求動(dòng)能Ek=100 eV的自由電子的物質(zhì)波波長(zhǎng)[2]。

其他各種版本的教科書(shū)也都有類(lèi)似的例題或課后練習(xí)，這對(duì)學(xué)生造成了這樣的暗示：運(yùn)動(dòng)粒子的能量指的是它的動(dòng)能。

如果E是粒子的動(dòng)能，則波速

物質(zhì)波的波速只有粒子運(yùn)動(dòng)速度的一半，它又怎么能與粒子相聯(lián)系呢？所以，頻率公式中的能量不可能是粒子的動(dòng)能。

查閱大學(xué)物理教科書(shū)知道，物質(zhì)波的頻率公式中的能量E是運(yùn)動(dòng)粒子的總能量，大小為E=mc2，c是光速，m是粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)量[3]。在相對(duì)論中，動(dòng)量仍定義為p=mv。把動(dòng)量p和總能量E的表達(dá)式代入（3）式，得到波速

粒子的運(yùn)動(dòng)速度v一定小于光速c，由（4）式可見(jiàn)波速vb大于光速c。波的傳播速度大于光速是否與任何物質(zhì)的速度都不超過(guò)光速的結(jié)論相矛盾？

要解決這個(gè)問(wèn)題，需要了解波包及其傳播速度的知識(shí)。

3 波包與相速度和群速度

3.1 簡(jiǎn)諧波與波包

典型的波包及其傳播可以作如圖1所示的直觀理解。手拉緊一根均質(zhì)的輕繩使其處于水平狀態(tài)，手突然上下抖動(dòng)幾次之后又歸于靜止，一個(gè)凸凹相間的有限長(zhǎng)度的波列——波包就沿繩子向右勻速傳出。

在數(shù)學(xué)上，利用傅里葉分解可以將任何波包分解為許多不同頻率、振幅和相位的簡(jiǎn)諧波的疊加。

3.2 相速度與群速度

包絡(luò)的移動(dòng)速度vg叫做調(diào)幅波ψ（x，t）的群速度[4]。

對(duì)于經(jīng)典的機(jī)械波和電磁波，能量密度正比于振幅的平方，所以調(diào)幅波中振幅最大的位置正是能量密度最大的地方，它的移動(dòng)速度（即群速度）應(yīng)是能量的傳播速度。對(duì)于物質(zhì)波，粒子在空間各處出現(xiàn)的概率正比于振幅的平方，群速度應(yīng)是微觀粒子的運(yùn)動(dòng)速度。

4 物質(zhì)波的相速度和群速度

4.1 與運(yùn)動(dòng)粒子相聯(lián)系的波包

與運(yùn)動(dòng)粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波并不是具有確定的動(dòng)量和能量的無(wú)限長(zhǎng)平面簡(jiǎn)諧波。因?yàn)檫@種理想的簡(jiǎn)諧波在空間各點(diǎn)的振幅相等，表示粒子在空間各處出現(xiàn)的概率相等，或者說(shuō)粒子處于空間坐標(biāo)完全不確定的狀態(tài)。

實(shí)際上，由于測(cè)量的誤差以及粒子運(yùn)動(dòng)本身具有的不確定性，粒子的能量E、動(dòng)量p等總是只能在一定的范圍內(nèi)被確定。相對(duì)應(yīng)地，與粒子聯(lián)系的物質(zhì)波的頻率v、波長(zhǎng)λ、角頻率ω和角波數(shù)k也只能在一定范圍內(nèi)被確定。設(shè)與粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波的角頻率的不確定度為Δω（Δω<<ω），那么描述這個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)波，是角頻率在ω-Δω～ω+Δω之間的許多簡(jiǎn)諧波疊加而成的波包[5]。

圖3是一個(gè)沿x軸運(yùn)動(dòng)的粒子的波包示意圖，任一時(shí)刻粒子可能出現(xiàn)在該時(shí)刻波包區(qū)域內(nèi)的任一位置，在波函數(shù)振幅最大的位置出現(xiàn)的概率最大。粒子可能出現(xiàn)的空間區(qū)域隨著波包的移動(dòng)而移動(dòng)，移動(dòng)速度就是波包的群速度vg。

4.2 物質(zhì)波的相速度和群速度

這就定量地證明了物質(zhì)波波包的群速度就是粒子的運(yùn)動(dòng)速度。

通過(guò)上面的分析知道，與運(yùn)動(dòng)粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波是由許多頻率相近的簡(jiǎn)諧波疊加而成的波包。描述波包傳播的速度有相速度和群速度。相速度是波包中各相近的頻率成分的簡(jiǎn)諧波恒定相位點(diǎn)的移動(dòng)速度，群速度是波包包絡(luò)的移動(dòng)速度。群速度等于粒子的運(yùn)動(dòng)速度，而相速度并非粒子的運(yùn)動(dòng)速度，它只有數(shù)學(xué)描述上的意義，因此相速度大于光速與任何物質(zhì)的速度都不超過(guò)光速的結(jié)論并不矛盾。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)物理（選修3-5）[M].北京：人民教育出版社，2010：37.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)物理（選修3-5）[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2007：92.

[3]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程量子物理[M].北京：高等教育出版社，2008：20.

[4]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004：284-285.

[5]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程量子物理[M].北京：高等教育出版社，2008：28-29.