借助幾何直觀，發(fā)展空間觀念

謝華英

摘 要：文章分析了學(xué)生應(yīng)如何借助幾何直觀，發(fā)展空間觀念。教師應(yīng)從抽象概念入手，幫助學(xué)生形成空間意識;動靜結(jié)合，發(fā)展學(xué)生空間觀念;培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，運用數(shù)形結(jié)合，促進空間觀念的形成;操作和想象并行，充分感知，促進空間觀念的深化;由直觀到抽象，動靜結(jié)合，促進空間觀念的提升。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;空間觀念;圖形轉(zhuǎn)換

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，空間觀念是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中通過幾何學(xué)習(xí)和圖形學(xué)習(xí)實現(xiàn)的目標(biāo)，其目標(biāo)包括分析、抽象、觀察、綜合、比較、想象的過程。融入幾何和圖形學(xué)習(xí)的整個過程，在圖形認識、圖形位置、圖形運動中都蘊含著學(xué)生發(fā)展空間觀念的任務(wù)。幾何直觀是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要指標(biāo)，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。教師應(yīng)該在教學(xué)過程中多創(chuàng)造機會，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，發(fā)展學(xué)生空間觀念，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、創(chuàng)造機會，形成空間意識

（一）從抽象概念入手，幫助學(xué)生理解概念

數(shù)學(xué)概念的理解，對學(xué)生空間觀念的發(fā)展十分重要。教學(xué)時教師可以利用多種措施加深學(xué)生對概念的理解，學(xué)生先要進行直觀認識，隨后創(chuàng)建表象，再到抽象總結(jié)、理解事物本質(zhì)，最終展開想象。在觀察物體的過程中，需要先把初始形狀和事物具體某一面有機聯(lián)系起來，隨后掌握形狀的一般概念，再到不需要參考具體事物便可以辨別圖形。在認識位置和方向的過程中，應(yīng)該從實踐性角度入手，辨認實際方向，隨后進行想象，通過參照物來辨別具體位置，了解方向的相對性特征。在認識圖形的過程中，應(yīng)該是先對圖形進行直觀辨認，隨后通過語言描述具體特征。在學(xué)習(xí)圖形運動的過程中，應(yīng)該從現(xiàn)實情境中感知圖形運動變化。

例如，在“線”的學(xué)習(xí)過程中，教材給出了生活中的一種繃緊的常見弦和一個拽緊的線，指出可以將兩者都看作是線段。將琴弦或線畫到紙上便是線段，而線段的兩端是線的端點，因為在日常生活中無法找出直線的原型，所以教材中提出將線段向兩端進行無限延伸便可以得到直線。在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考無限延長的意義，想象直線到底多長，是否可以測量直線的長度。隨后引出射線的概念，從生活中尋找射線的原型。最終在對圖形中的線段、射線和直線進行認識后，可以思考其中的差異和相同點。

（二）從抽象概念入手，掌握圖形變換

圖形運動與幾何變換是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，是形成數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)方法和學(xué)習(xí)的主要對象。因此在教學(xué)過程中，學(xué)習(xí)平面圖形時不僅要掌握標(biāo)準(zhǔn)圖形，同時還需要了解轉(zhuǎn)換方位后的圖形。比如，在構(gòu)建體積、面積公式的過程中，應(yīng)該通過形狀變化掌握哪些發(fā)生改變，而哪些沒有變化，通過現(xiàn)有知識進行推導(dǎo)，并得出體積公式和面積公式，在遇到一些比較復(fù)雜的問題時，可以通過等積替換法、轉(zhuǎn)化法、割補法、平移法等方法來實現(xiàn)圖形的變換。

教師在練習(xí)設(shè)計中，應(yīng)該適當(dāng)添加各種圖形變化方法習(xí)題，如兩個相同的長方形，長是20厘米，寬是2厘米，將其中一個順著長邊平均分成五等分，隨后將其拼接在一起，試問該圖形的整體周長。具體如圖1所示。

二、動靜結(jié)合，發(fā)展空間觀念

空間觀念的培養(yǎng)需要以事物的想象和觀察為基礎(chǔ)，學(xué)生經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)已經(jīng)具備了分析、想象和觀察的基礎(chǔ)。為此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師可以結(jié)合學(xué)生所了解的現(xiàn)實問題，設(shè)置教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生利用自身經(jīng)驗進行觀察、描述、分析、畫圖和想象，促使學(xué)生逐漸形成空間觀念。

（一）養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，數(shù)形結(jié)合，促進空間觀念的形成

數(shù)形結(jié)合是對相關(guān)技能和知識的貫通式理解，逐漸形成的一種數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化意識，這種運用能力和認識能力是教學(xué)過程中所需要的。為此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生樹立畫圖觀念，將需要解決的問題圖形化，使計算和問題更加直觀，促進形象思維的有效展開。

比如，在“數(shù)對”教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)對和方格紙中的點聯(lián)系起來，并形成一種對應(yīng)關(guān)系，用數(shù)對的形式來代表方格中的點，或是通過方格中的點來表示數(shù)對。在學(xué)習(xí)分數(shù)和小數(shù)的過程中，學(xué)生可以用直線中的刻度點設(shè)置對應(yīng)關(guān)系，通過直線中的點顯示數(shù)，或用數(shù)字來表示具體的點。在“正負數(shù)”學(xué)習(xí)內(nèi)容中，可以在數(shù)軸中尋找對應(yīng)點，用正負數(shù)表示兩種意義相反的數(shù)量，掌握其中一點的正數(shù)便表示可以找到另一個負數(shù)點。

又如，從一個長為12厘米、寬為8厘米的長方形中，剪下一個正方形，而正方形的邊長是5厘米，剩下的圖形周長最長是多少厘米？這道題單純通過想象很難解決問題，在這種狀況下通過畫圖的方法，可以使整個計算過程更加簡單。通過畫圖，學(xué)生可以很清楚地知道，第一種剪法，圖形周長和原來相等，而第二種剪法，周長比原來增加了10厘米。具體如圖2所示。

（二）操作和想象并行，充分感知，促進空間觀念的深化

皮亞杰曾說：“空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動手做的過程。”兒童的智慧集中在手指尖上，指尖上的數(shù)學(xué)如何更具智慧性，筆者認為想象與操作的相結(jié)合是一種行之有效的方法。這樣既能避免表面化的操作，又能使操作活動更具數(shù)學(xué)化、思維化，更能在想象的過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

例如，教學(xué)“長方體的認識”時，筆者為各小組準(zhǔn)備了一些不同顏色的小棒和接口，讓學(xué)生通過小組合作選取材料來搭一個長方體，在選材料的過程中，學(xué)生其實是在頭腦中“搭”，接著再動手驗證“搭”，這樣既理解了長方體的基本特征，又初步建立起立體的三維表象，加深了對長方體的空間感知，空間觀念得到發(fā)展。接著，筆者讓學(xué)生想象：“如果把搭好的長方體拆掉1條棱，你還能想象出它的形狀嗎？想一想，最少剩下幾條棱時，這個長方體的形狀還是確定的？”

一開始減少1、2根棱的時候，對學(xué)生的空間想象力的要求比較低，學(xué)生很容易就能想象出來。當(dāng)棱越來越少的時候，對空間想象力的要求也在逐漸增大，學(xué)生的空間想象能力實現(xiàn)了有層次性的培養(yǎng)、提升。當(dāng)棱的數(shù)量減少到下面只剩長、寬的時候，大部分學(xué)生想象不出來了，有部分學(xué)生仍然可以想象出幾種可能性：有可能垂直于底面的棱比較長，這個長方體比較高（課件顯示比較高的長方體配合學(xué)生想象）;還有可能垂直于底面的棱比較短，這個長方體比較矮（課件演示）。

在師生、生生互動交流中，師生共同確定相交于一個頂點的三條棱可以確定長方體的形狀、大小，從而揭示出“長、寬、高”的定義，接下來進行一系列的面、體的轉(zhuǎn)換想象練習(xí)。借助三條棱這個中介，通過空間想象，在實際物體、幾何圖形與特征描述之間建立了可逆的聯(lián)系，縮短了二維空間與三維空間的距離。

（三）由直觀到抽象，動靜結(jié)合，促進空間觀念的提升

小學(xué)生的思維方式還處于從形象思維向抽象思維發(fā)展過渡的階段，這就決定了其空間想象能力的培養(yǎng)必須從觀察入手，動靜結(jié)合。

在教學(xué)“探索圖形”這課時，筆者充分運用多媒體技術(shù)，實現(xiàn)了對學(xué)生的空間想象能力有層次性的培養(yǎng)、提升。 課上，筆者出示用27小正方體拼成的表面涂色的大正方體，并有意把它打亂，順勢引出：“你們能幫老師還原這個大正方體嗎？”這時的學(xué)生自信滿滿，認為只是小菜一碟。但是過了兩分鐘，大部分小組卻無法還原，這引發(fā)了學(xué)生的思考，學(xué)生們就七嘴八舌地說開了，有的學(xué)生說：“這事看著簡單，沒想到做起來還挺難的?！庇械膶W(xué)生說：“位置老放不對?！边€有的學(xué)生說：“小正方體涂色情況有很多種，容易亂。”

這時，教師從中提取以下3個問題。

問題一：小正方體涂色的面有哪幾種情況？

問題二：每種情況分別有多少塊？

問題三：每種情況分別在什么位置上？

教師提問：“你們心中想的是這些問題嗎？請你們認真觀察手中的黃色正方體（不能拆開），并思考大屏幕上的問題，把你的想法以算式的形式表示出來?！?/p>

這時，熱鬧的課堂頓時安靜下來了，學(xué)生通過幾分鐘的靜靜思考，很快得出答案。接著，教師通過多媒體課件的變色處理，讓學(xué)生很直觀地觀察到每種正方體的位置規(guī)律：3面涂色的位置就在頂點上，2面涂色的小正方體在棱中，而1面涂色的就在面中，沒有涂色的包在體中。

而在探索棱長為4厘米的正方體時，教師不再提供實物，而只提供平面圖讓學(xué)生在腦海中找出位置并算出各種情況的塊數(shù)。當(dāng)學(xué)生匯報答案時，對沒涂色的正方體到底有幾塊產(chǎn)生了爭議，此時教師利用課件的動態(tài)演示，把正方體一層一層拆解，讓學(xué)生將看到的與自己剛才的想象進行對比，不斷深化空間想象能力。對于棱長為5厘米、6厘米的正方體，教師則放手讓學(xué)生通過想象、推理、探索得出答案，并引導(dǎo)學(xué)生觀察，最終總結(jié)出規(guī)律。

通過觸覺、運動覺與視覺的協(xié)同活動，動靜結(jié)合，學(xué)生空間觀念發(fā)展得到有力支撐，這個形不僅印在學(xué)生的眼中，還深深地刻在學(xué)生的腦中。

綜上所述，學(xué)生空間觀念的發(fā)展并不是一蹴而就的。學(xué)生生活經(jīng)驗越豐富，空間觀念的形成就越快。無論是觀察、畫圖、演示還是操作、想象，其核心都是借助幾何直觀，以便幫助學(xué)生循序漸進地逐步脫離具體的形象，從而走向幾何的抽象;以提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，促進其空間觀念的形成。

參考文獻：

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