幾何教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生提升學(xué)習(xí)的深度

任青

【摘 要】“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，沒有落到實(shí)處的學(xué)習(xí)效果是膚淺的，兩者相結(jié)合的方式才能有效地提升學(xué)習(xí)的深度，達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生提升學(xué)習(xí)的深度，是教師們孜孜不倦的追求。

【關(guān)鍵詞】幾何教學(xué);引導(dǎo);提升;學(xué)習(xí)的深度

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0186-03

在幾何教學(xué)中，浮于表面，缺乏深度的學(xué)習(xí)，會導(dǎo)致不理想的學(xué)習(xí)效果。筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從以下幾個(gè)角度，談?wù)勗趲缀谓虒W(xué)中教師如何去引導(dǎo)學(xué)生提升學(xué)習(xí)的深度。（文中例題以筆者目前教學(xué)中的七下幾何題為例）

1? ?準(zhǔn)確審題，把握概念的內(nèi)涵與外延

中華文字博大精深，在審題中涉及到概念性的詞語時(shí)，要注意咬文嚼字，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵與外延，注重審題的準(zhǔn)確性，提升學(xué)習(xí)的深度。

例1? 如圖1，張華與李兵玩蹺蹺板游戲。如果蹺蹺板的支點(diǎn)O（即蹺蹺板的中點(diǎn)）至地面的距離是60cm，當(dāng)李兵從水平位置CD下降30cm時(shí)，這時(shí)張華離地面的高度是____。

1.1? 教學(xué)反思

平時(shí)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生解題時(shí)讀不懂題或者會錯(cuò)了意，這就需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生咬文嚼字，準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵與外延。

1.2? 審題解析

注意引導(dǎo)學(xué)生對“距離”、“下降”、“高度”這幾個(gè)詞的準(zhǔn)確理解，本質(zhì)上指的是點(diǎn)到線的距離（點(diǎn)到線的垂線段的長度），尤其是“當(dāng)小敏從水平位置CD下降30cm時(shí)”，這句話中的“下降30cm”，指的是垂線段HG的長度，但學(xué)生往往容易理解為斜線段DG的長度！又比如，畫一個(gè)鈍角三角形鈍角邊的高時(shí)，有的學(xué)生從小學(xué)到初中，就是畫不對，究其原因，就是沒有從本質(zhì)上把握三角形某條邊的高的定義。為了解決這種概念吃不透的現(xiàn)象，在平時(shí)的幾何概念教學(xué)中，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過動手畫圖，用數(shù)形結(jié)合這種直觀形象的方式，準(zhǔn)確理解和把握幾何概念的內(nèi)涵與外延。

2? ?深入探究，知其然更要知其所以然

分析解決問題的過程中切忌似懂非懂，要深挖根本原理，理清解法的來龍去脈，從本質(zhì)上理解并掌握解題方法，提升學(xué)習(xí)的深度。

例2? 如圖2，直線l是一條公路，A、B是兩個(gè)工廠 。欲在l上的某處修建一個(gè)變電站P，從P向A、B兩個(gè)工廠鋪設(shè)電纜，請?jiān)趫D中作出變電站P的位置，使得所需電纜AP+BP的長度最短。

2.1? 考點(diǎn)分析

本題考查的是利用軸對稱求最短路線問題，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵。

2.2? 教學(xué)反思

本題考查的是軸對稱求最短路線問題，在教學(xué)中學(xué)生可能了解了怎么作圖，但對于為什么要這樣作圖卻往往不求甚解，導(dǎo)致一遇到靈活一點(diǎn)的同類題，可能就會束手無策，亂做一氣。在教學(xué)中，教師在備課中應(yīng)做好教學(xué)預(yù)期，并在教學(xué)引導(dǎo)上注意深挖細(xì)究，采取分解動作、逐層鋪墊的方式，讓學(xué)生從本質(zhì)上掌握作法的來龍去脈與根本原理。

2.3? 教學(xué)中采取逐層鋪墊方式

（1）填空：兩點(diǎn)之間，____最短。圖3中，A′、B兩點(diǎn)之間，____最短。

（2）如圖3，欲在直線l上的某處修建一個(gè)變電站P，向A′、B兩個(gè)工廠供電，作出變電站P的位置，使所需電纜A′P+BP的長度最短。

分析：因?yàn)锳′、B兩點(diǎn)之間____最短，所以連接A′、B交直線l于點(diǎn)P（如圖4），則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)。

（3）說說軸對稱的性質(zhì)。請?jiān)趫D2中作出點(diǎn)A′關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，線段AP與A′P有何位置與數(shù)量關(guān)系？

（4）回到本題，你會解決了嗎？（學(xué)生獨(dú)立思考后可小組內(nèi)交流討論，然后嘗試自主作圖）請說出你的解題依據(jù)和作圖步驟。

解法：如圖5，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)。

（5）如圖6，當(dāng)變電站建在直線l上其它位置（如P′）時(shí)，求證此時(shí)必有AP′+BP′>AP+BP

證明：∵點(diǎn)A與A′關(guān)于直線L對稱，∴AP=A′P，AP′=A′P′，

∴AP+BP=A′B，AP′+BP′=A′P′+BP′，在△A′P′B中，∵A′P′+BP′>A′B

∴AP′+BP′>AP+BP，故點(diǎn)P為最佳位置。

本人在教學(xué)中通過以上五個(gè)步驟，層層鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上掌握解法的來龍去脈與根本原理，能夠有效引導(dǎo)學(xué)生知其然更要知其所以然。

3? ?合理聯(lián)想，尋找解題的突破口

利用已知條件或結(jié)論進(jìn)行恰當(dāng)?shù)闹R點(diǎn)與解法的合理聯(lián)想，尋找解題的突破口促進(jìn)順向或逆向思維發(fā)展，提升學(xué)習(xí)的深度。

例3? 如圖7，已知∠A=∠D=90°，E是AD的中點(diǎn)，CE平分∠DCB。求證：（1）BE平分∠ABC;（2）BE⊥CE。

問題解析：

方法1：（執(zhí)因索果）由已知CE平分∠DCB，∠D=90°，聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)定理，過點(diǎn)E作EN⊥BC，垂足為N，先說明EN=DE，再說明EN=EA，由角平分線的判定定理證得BE平分∠ABC;再利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠2+∠3=90°，故∠BEC=90°，得證BE⊥CE。

方法2：（執(zhí)果索因）從要證的結(jié)論出發(fā)逆向思維，聯(lián)想到“三線合一”，那么線段BE應(yīng)該是某個(gè)等腰三角形底邊上的中線，由解題模型“平行線加角平分線可證得等腰三角形”，故延長CE與BA，交于點(diǎn)F，證得BC=BF，再證△DCE≌△AFE（ASA），得CE=EF，由等腰三角形三線合一，得證BE平分∠ABC且BE⊥CE。

特別地，執(zhí)果索因這種逆向思維方式在幾何題的證明中卓有成效，有助于快而準(zhǔn)地破題。

4? ?化繁為簡，對圖形進(jìn)行合理的分解與組裝

對于復(fù)雜的圖形，仔細(xì)觀察分析，學(xué)會抽絲剝繭，善于從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，用基本圖形蘊(yùn)含的規(guī)律解決復(fù)雜圖形的問題，培養(yǎng)學(xué)生對問題的分解與組合的能力，提升學(xué)習(xí)的深度。

例4? 如圖8，BE、CF分別平分∠ABD與∠ACD，BE與CF交于G，若∠BDC=130°，∠BGC=100°，求∠A的大小。

問題解析：

本題解法不唯一，這里介紹一種引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)雜圖形作解剖，從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，用基本圖形蘊(yùn)含的規(guī)律去解決復(fù)雜圖形問題的方法。

（1）探究基本圖形中∠1、∠2、∠3、∠4的數(shù)量

關(guān)系：

（2）拆分圖形，按規(guī)律計(jì)算：

圖9中，∠BDC=∠BGC+∠GBC+∠GCD，130°=100°+∠GBD+∠GCD，得∠GBD+∠GCD=30°，由BE是∠ABD的平分線.CF是∠ACD的平分線，得∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=60°

圖10中，∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+60°，130°=∠A+60°，故∠A=70°

在幾何教學(xué)中，應(yīng)多多訓(xùn)練學(xué)生對復(fù)雜的圖形進(jìn)行合理的分解與組裝，提高識圖、解圖的能力。

5? ?善于建模，探究模型規(guī)律解決圖形的遞變問題

在各種題型中，“一圖多變”這種題型能夠很好地考察學(xué)生的遷移和歸納能力。在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生在圖形的各種變式中（從特殊到一般）抓住解決問題的相同關(guān)鍵點(diǎn)深入探究，從中找出解決各個(gè)變式圖形的通法，提升學(xué)習(xí)的深度。

例5 （1）已知，如圖11，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E，求證：DE=BD+CE。

（2）如圖12，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=γ，（γ為任意鈍角），請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明;若不成立，請說明理由。當(dāng)γ為銳角時(shí)，結(jié)論DE=BD+CE還成立嗎？

5.1? 建立模型

“一線三等角”模型，當(dāng)一組等角所對的邊相等時(shí)可證全等

5.2? 圖形遞變

一圖多變，由特殊（一線三直角）到一般（一線三鈍角或一線三銳角）

5.3? 破題關(guān)鍵

找出解決各圖問題的相同關(guān)鍵點(diǎn)：兩個(gè)三角形一邊等一角等，要證全等，由條件知應(yīng)再證明一組角相等。

5.4? 證法探究

如何證明∠1=∠3？? ? ? ? ? 在圖中，

方法1：由∠BAC=∠AEC=90°，得∠1+∠2=

∠2+∠3=90°，得∠1=∠3（同角的余角相等）

方法2：由∠BAC=∠AEC，平角∠DAE=180°，△AEC內(nèi)角和180°，可得∠1=∠3

方法3：用三角形外角的性質(zhì)，∠DAC=∠3+∠AEC，即∠1+∠BAC=∠3+∠AEC，

由∠BAC=∠AEC，可得∠1=∠3

5.5? 解法總結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，上述3種方法的本質(zhì)相同，而要由（1）問的特殊情況到（2）問的一般情況，對于“一線三等角”這種模型，方法2、方法3是通法，其中方法3更為簡潔。證明∠1=∠3是解決各個(gè)變式圖形的共同關(guān)鍵點(diǎn)，再證明△ADB≌△CEA（AAS），即可得出結(jié)論DE=BD+CE。

在幾何教學(xué)中，例習(xí)題是各個(gè)知識點(diǎn)的組裝體和學(xué)生思維訓(xùn)練的承載體，教師應(yīng)精選精研例習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生從審題、探源、拆圖、破題、建模等多個(gè)角度去養(yǎng)成幾何認(rèn)識論與方法論的綜合性思維，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的深度。