三種設(shè)計(jì)，各美其美
——一次“余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角”同課異構(gòu)活動(dòng)引發(fā)的思考

☉江蘇省濱?？h第一初級(jí)中學(xué) 陳月玲

近期，在一次市級(jí)同課異構(gòu)活動(dòng)中，筆者有幸聆聽了三節(jié)“余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角”第1課時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)課，聽后受益匪淺.下面就三位老師針對(duì)對(duì)頂角和互余（互補(bǔ)）的性質(zhì)所做的設(shè)計(jì)進(jìn)行簡單介紹，并給出自己的思考，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

一、三種設(shè)計(jì)

1.第一位教師的設(shè)計(jì)

第一位教師雖然按照教材進(jìn)行設(shè)計(jì)，但是對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了大膽取舍和改進(jìn)，具體如下：

首先，讓學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)生活中的一組圖片，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的余角、補(bǔ)角的關(guān)系，然后啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中更多的類似的實(shí)物，進(jìn)而得出余角和補(bǔ)角的概念.在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和探究對(duì)頂角的概念和性質(zhì).

圖1

問題1：∠1和∠2的頂點(diǎn)和兩邊有什么位置關(guān)系？

問題2：∠1和∠2有什么數(shù)量關(guān)系？如果將直線AB繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，上述關(guān)系還成立嗎？∠3和∠4呢？

問題3：∠1和∠3有什么數(shù)量關(guān)系？還有其他成對(duì)的角有這樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

在處理余角（補(bǔ)角）的性質(zhì)時(shí)，將教材提供的情境以動(dòng)態(tài)的形式呈現(xiàn)，并在教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單改編，具體設(shè)計(jì)如下：

圖2

圖3

將圖2簡化為圖3，ON與CD相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2.

問題1：有哪些角互為余角？∠3和∠4有什么關(guān)系？為什么？

問題2：有哪些角互為補(bǔ)角？∠AOC和∠BOD有什么關(guān)系？為什么？

2.第二位教師的設(shè)計(jì)

第二位教師在處理“對(duì)頂角”時(shí)基本采用了教材呈現(xiàn)的方式：

將剪刀的構(gòu)造看作兩條相交直線（如圖1），進(jìn)而提問：

問題1：∠1和∠3有怎樣的位置關(guān)系？∠1和∠2呢？

問題2：分別量一下角數(shù)，∠1和∠3的度數(shù)有什么關(guān)系？∠1和∠2呢？在剪刀剪東西的過程中，這個(gè)關(guān)系還保持嗎？為什么？

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生得出對(duì)頂角的概念和性質(zhì).

在處理余角（補(bǔ)角）的性質(zhì)時(shí)，也沒有采用教材呈現(xiàn)的方式，而是先以一個(gè)微課的形式向?qū)W生介紹了“入射光線、反射光線和法線”的相關(guān)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)了與教材提供材料的“異曲同工”.具體設(shè)計(jì)如下：

圖4

圖5

將圖4簡化為圖5，ON與CD相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2.

問題1：圖中哪些角互為余角？

問題2：∠3和∠4有什么關(guān)系？為什么？

問題3：圖中哪些角互為補(bǔ)角？

問題4：∠AOD和∠BOC有什么關(guān)系？為什么？

3.第三位教師的設(shè)計(jì)

第三位教師則采用了一種全新的處理方式，將“畫圖”貫穿于課堂教學(xué)的整個(gè)過程，給人一種耳目一新的感覺.

畫圖1：（1）畫直線AB，（2）畫直線CD，（3）假設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，（4）將形成的四個(gè)夾角分別表示為∠1、∠2、∠3和∠4（如圖1）.

在畫圖1的基礎(chǔ)上，采用與第一位教師或第二位教師類似的方法引導(dǎo)學(xué)生自主探究對(duì)頂角的定義和性質(zhì).在得出互余和互補(bǔ)的概念后，再次引導(dǎo)學(xué)生畫圖.

畫圖2：（1）先畫銳角∠AOB，（2）作CO⊥OB，垂足為點(diǎn)O，（3）作DO⊥OA，垂足為點(diǎn)O（如圖6）.

圖6

圖7

問題1：圖中哪些角互為余角？

問題2：∠1和∠2有什么關(guān)系？為什么？

問題3：你能得出什么結(jié)論？

通過上述三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生得出：同角的余角相等，然后拋出問題4：

問題4：等角的余角有什么關(guān)系呢？你能用畫圖的方式進(jìn)行說明嗎？

畫圖3：（1）畫∠AOB，（2）反向延長OB到點(diǎn)C，（3）反向延長OA到點(diǎn)D（如圖7）.

問題1：圖中哪些角互為補(bǔ)角？

問題2：∠3和∠4有什么關(guān)系？為什么？

問題3：你能得出什么結(jié)論？

通過上述三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生得出：同角的補(bǔ)角相等，然后拋出問題4：

問題4：等角的補(bǔ)角有什么關(guān)系呢？你能用畫圖的方式進(jìn)行說明嗎？

二、各美其美

1.貫徹課標(biāo)，落實(shí)理念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：情境的創(chuàng)設(shè)可從生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)或其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)進(jìn)行，上述三位教師的設(shè)計(jì)可以說是對(duì)上述理念的積極踐行.

第一位教師采用了學(xué)生熟悉的給人以平行或相交感覺的大量實(shí)物得出平行線和相交線的定義，在研究余角（補(bǔ)角）的性質(zhì)時(shí)則采用了學(xué)生熟悉的“臺(tái)球游戲”，以上所選情境貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，可以說是一種很好的從“生活現(xiàn)實(shí)”創(chuàng)設(shè)情境的嘗試.

第二位教師除了與第一位教師類似，以生活現(xiàn)實(shí)的形式引出平行線和相交線，在后續(xù)教學(xué)中還采用微課的形式向?qū)W生介紹“入射光線、反射光線、法線”的相關(guān)知識(shí)，這是一種“其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)”，可以看出與第一位教師的設(shè)計(jì)異曲同工.

第三位教師則完全以作圖的形式貫穿整節(jié)課，這是一種從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而提出問題和解決問題的方式，這是一種典型的以數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)情境的有益嘗試.

2.源于教材，用教材教

教材是專家和一線教師集體智慧的結(jié)晶.

本節(jié)課主要涉及對(duì)頂角的概念和性質(zhì)、互余（互補(bǔ)）的概念及性質(zhì)，可以看出本節(jié)課的課時(shí)容量非常大，基本上融合了教材兩個(gè)課時(shí)的內(nèi)容.但是，執(zhí)教教師并沒有畏難情緒，而是迎難而上，結(jié)合教材的設(shè)計(jì)特點(diǎn)設(shè)計(jì)出了三節(jié)“源于教材，用教材教”的優(yōu)秀課例.

三、實(shí)踐跟進(jìn)

同課異構(gòu)活動(dòng)結(jié)束后，筆者所任教的班級(jí)也要上這節(jié)課，此時(shí)在綜合上述三節(jié)課例優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，筆者給出了另外一種設(shè)計(jì)，教學(xué)中重在培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)和類比的數(shù)學(xué)思想，在學(xué)生剛剛接觸幾何學(xué)習(xí)的開端“埋下一粒種子”，傾心澆灌，靜待花開.

如圖1，所形成的四個(gè)角中，兩兩之間有什么關(guān)系？（提示：可以從數(shù)量和位置關(guān)系兩個(gè)角度回答）

顯然，這是一種開放性的設(shè)問，可以很好地鍛煉學(xué)生的思維能力，更有利于培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，而且在教學(xué)中也收到了意想不到的教學(xué)效果.

期待更多的一線教師加入進(jìn)來，針對(duì)本節(jié)課設(shè)計(jì)出更多優(yōu)秀的案例，為實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的百花齊放貢獻(xiàn)一份自己的力量.