讓理論落地：計算錯誤成因分析及“理錯教學(xué)”的實施策略

黃蓉蓉

摘 ?要：課堂教學(xué)中，教師要及時“理睬”學(xué)生的差錯資源，讓學(xué)生“理會”差錯資源的來龍去脈，通過教師的“理答”，引導(dǎo)學(xué)生將差錯“理整”，建構(gòu)自己的知識體系，進(jìn)而讓學(xué)生“理解”差錯，實現(xiàn)少錯乃至不錯的目的?？梢姡谶@一系列的過程中，“理錯教學(xué)”要求教師既要理解、關(guān)注學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，更要洞察錯誤背后的“真相”，引導(dǎo)學(xué)生注重反思和整理，實現(xiàn)知識的自然生長。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);錯誤成因分析;理錯教學(xué);實施策略

小學(xué)階段，學(xué)生的運(yùn)算能力在諸多能力中有著不可動搖的地位，其“實用價值”與“基礎(chǔ)學(xué)力價值”是成為“不倒翁”的原因。但是學(xué)生在進(jìn)入高段學(xué)習(xí)之后，計算水平的差異性越來越明顯，特別是五年級上冊小數(shù)的乘除法計算，無論是口算還是豎式計算，都一直困擾著教師和學(xué)生。因此，教師如何直面紛擾、追根溯源、深入分析，進(jìn)行理錯教學(xué)，便成為教師研究的方向。

一、小數(shù)乘除法計算錯誤的成因分析

1. 知識性問題

（1）新舊知識間的相互抑制

學(xué)生的運(yùn)算能力具有層次性、發(fā)展性。因此之前存儲于大腦中的運(yùn)算知識和方法，其掌握的熟練和理解程度直接影響著后續(xù)的學(xué)習(xí)，即前攝抑制。如小數(shù)加法計算，小數(shù)點對齊，即數(shù)位對齊，而小數(shù)乘法教學(xué)時，學(xué)生易將此方法遷移，很難理解為什么末尾對齊。當(dāng)然，新的信息存儲重新構(gòu)成新的知識框架，也會對學(xué)生之前的學(xué)習(xí)產(chǎn)生倒攝抑制。如小數(shù)乘法的口算學(xué)習(xí)對小數(shù)加減法的影響。

（2）計算教學(xué)結(jié)構(gòu)的單一化

教師雖比較關(guān)注計算能力的基本功訓(xùn)練，但是“過渡訓(xùn)練、創(chuàng)新不足”是大家面臨的現(xiàn)實問題。曹培英老師刻畫出運(yùn)算能力的四面體結(jié)構(gòu)模型：基本口算、算法掌握、算理理解、運(yùn)算策略，該模型從四大要素的角度試圖揭示運(yùn)算能力的正確培養(yǎng)方式。可見 ，基本運(yùn)算只是計算教學(xué)的一小部分。而算法、算理共同構(gòu)成了運(yùn)算的奠基石，它們相輔相成。運(yùn)算策略是衡量學(xué)生運(yùn)算能力的核心因素，它包含對運(yùn)算信息的運(yùn)用處理、運(yùn)算方法的選擇、運(yùn)算過程的簡化及其自我評價。綜上所述，計算教學(xué)內(nèi)容是豐富的、形式是多樣的、目標(biāo)應(yīng)是多維的。

2. 心理因素的干擾

（1）注意力較低對知識聯(lián)結(jié)點的偏差

小學(xué)生注意的廣度和深度都處在發(fā)展階段，極易受到復(fù)雜信息的干擾。在進(jìn)行小數(shù)乘、除法豎式計算時，要進(jìn)行多次計算步驟，學(xué)生往往顧此失彼。如小數(shù)乘法中“積的小數(shù)位數(shù)”是學(xué)習(xí)的難點，最后這點睛一筆，極其容易出錯。具體原因是多樣的，教師要因人而異、因題而異，精確“理答”。

（2）感知發(fā)展水平對算式特征把握的偏差

計算過程中，學(xué)生通過感受器官把數(shù)據(jù)和符號傳入到大腦皮層，再經(jīng)過大腦組織解釋之后輸出相應(yīng)的結(jié)果，而調(diào)查表明，小學(xué)生的感知發(fā)展水平并不完善。如：學(xué)生計算0.2×0.4時，容易錯算成0.8;0.49÷7算成0.7……可見，學(xué)生在計算時往往是選擇性地感知問題，因而忽略某些數(shù)和算式的特征。在空間知覺中，學(xué)生遇到形態(tài)相似的數(shù)字時容易產(chǎn)生錯覺，如運(yùn)算7.8+3.02時，學(xué)生很容易因誤看成2和8合起來是10導(dǎo)致數(shù)位不對齊而口算出錯。

二、理錯教學(xué)的實施策略

結(jié)合計算錯誤成因分析，筆者根據(jù)“理錯教學(xué)”的實施過程，從數(shù)學(xué)知識和兒童心理兩個視角對課堂教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)，提出一些可實施的策略，藝術(shù)地處理學(xué)生生成的差錯、巧妙地彰顯差錯的寶貴價值，促進(jìn)學(xué)生真正參與到創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動中。

1. 數(shù)學(xué)知識視角

（1）理清算理是核心

“課標(biāo)2011年版”對運(yùn)算能力的內(nèi)涵進(jìn)行了具體的描述，其包含了運(yùn)算能力的三個主要表現(xiàn)特征：正確運(yùn)算、理解算理、方法合理，其中理解算理處于核心地位。教學(xué)小數(shù)乘整數(shù)時，教材編寫旨在讓學(xué)生在具體情境中理解其運(yùn)算意義，并借助多種方法幫助學(xué)生理解和分析運(yùn)算過程。教學(xué)時，學(xué)生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗探尋出多種方法，如先轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的小數(shù)加法進(jìn)行計算;或通過單位換算成整數(shù)乘法再計算。教師以此為契機(jī)，介紹豎式計算方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察算式中小數(shù)乘整數(shù)積的變化規(guī)律。學(xué)生順勢發(fā)現(xiàn)規(guī)律，新知看似“完美”習(xí)得。但是，教師繼續(xù)追問：“一位小數(shù)乘整數(shù)時，結(jié)果可能是兩位小數(shù)嗎？”大部分學(xué)生卻解釋不清。此時，教師要及時“理睬”學(xué)生的問題，讓學(xué)生“理會”知識的來龍去脈。建議借助直觀圖“理解”算理，讓學(xué)生比較0.8×3與0.08×3的異同：縱向看，都可以先看作整數(shù)乘法8×3來計算，不同的是一個表示的是24個0.1，所以積是一位小數(shù)，另一個表示的是24個0.01，所以積是兩位小數(shù);橫向看，小數(shù)乘整數(shù)，計數(shù)單位不變，改變的只是計數(shù)單位的數(shù)量。在核心問題的探究下，理錯教學(xué)能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效度，引向知識的思維本質(zhì)。

（2）比較辨析強(qiáng)認(rèn)知

數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯性強(qiáng)、嚴(yán)密性高，因此，一味機(jī)械化地訓(xùn)練計算只會是一件耗時長、收效低的方式。教師要選擇合適的題目通過對比、辨析化解學(xué)生的誤會。如上面提到的例子：0.2×0.4，據(jù)了解，這些孩子對小數(shù)乘小數(shù)的口算方法已基本掌握，但是為什么還會出錯？最主要的原因是其誤認(rèn)為是計算0.2×4，也就是小數(shù)乘整數(shù)。教師在教學(xué)時，如何正確地“理答”？同時呈現(xiàn)這兩道算式，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)癥結(jié)所在，兩個算式特征不同、計數(shù)單位不同，所以積也不同。當(dāng)學(xué)生再做到類似題目時，腦海里會自動生成另一道對比題，增強(qiáng)對知識的整體認(rèn)識。

（3）估算檢驗有必要

目前，學(xué)生的運(yùn)算能力的培養(yǎng)重準(zhǔn)確計算、輕估算，估算僅是出現(xiàn)在教材安排的幾個部位，點到為止。實際上學(xué)生在進(jìn)行計算時，估算意識不強(qiáng)，因此明顯的錯誤也沒能糾正。當(dāng)然，還有按題意要求，利用運(yùn)算法則進(jìn)行算式的檢驗也只是流于形式。數(shù)學(xué)計算往往具有一定的規(guī)律，運(yùn)算也具有一定的流程，先估算再計算最后再驗算，以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。如教學(xué)小數(shù)除以小數(shù)的例題：7.98÷4.2，在嘗試列豎式計算前，先估一估結(jié)果是多少，很明顯結(jié)果大于1小于2。學(xué)生在實際計算時，由于第一次學(xué)習(xí)，所以小數(shù)點還不知道如何處理，有不少學(xué)生算出的結(jié)果是0.19，該答案除了與估算結(jié)果不符，也可以通過乘法初步驗算，這里的兩位小數(shù)乘一位小數(shù)其結(jié)果只可能是三位小數(shù)，無法得到被除數(shù)。估算與驗算兩相結(jié)合，即時發(fā)現(xiàn)錯誤，培養(yǎng)數(shù)感，提高計算的正確率。

（4）反思診斷很關(guān)鍵

引導(dǎo)學(xué)生將差錯“理整”，建構(gòu)自己的知識體系，“理解”差錯、不斷反思是一種必不可少的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。學(xué)生的反思水平直接影響著對錯誤的理解程度。但是學(xué)生個體在心理方面和學(xué)習(xí)優(yōu)勢方面均存在差異。對同一題目，反思水平強(qiáng)的學(xué)生能夠借助錯題背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析整理，而反思水平弱的學(xué)生只是對問題進(jìn)行簡單的記錄，未能真正理清緣由，因此重復(fù)做錯的可能性較大。教師通過學(xué)生的反思記錄本判斷學(xué)生的理解程度，并提供合適的幫助，如學(xué)生出現(xiàn)“積的末尾有0時，先劃掉了0，再點小數(shù)點”這類問題，如果其記錄的是“要先寫0，再點小數(shù)點”這般記憶式的反思，那教師就有必要對他進(jìn)行個別指導(dǎo)或全班交流。追問一：末尾的0為什么要添上？追問二：末尾的0為什么又可以劃去？通過恰當(dāng)?shù)靥釂柡颓擅畹匾龑?dǎo)，直面問題的核心。學(xué)生通過錯題的整理與反思，形成錯題資源，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2. 兒童心理視角

（1）激發(fā)運(yùn)算學(xué)習(xí)的趣味性

有研究者指出，兒童在面對乏味的內(nèi)容時可能產(chǎn)生疲勞，特別是連續(xù)地進(jìn)行單調(diào)的計算任務(wù)時，可能發(fā)生漏寫、錯寫等計算錯誤。根據(jù)學(xué)生的心理特點，挖掘出學(xué)生感興趣的活動、話題作為教學(xué)情境的主線，如學(xué)校的科技節(jié)活動、童話節(jié)活動中涉及的問題等，體會計算在生活實際中的運(yùn)用。訓(xùn)練形式也可以多種多樣，比如小數(shù)乘法的豎式計算的練習(xí)，可以是純粹的豎式計算，也可以是選擇題題型，考核學(xué)生對每一步算法的理解，還可以是豎式填空，推算出完整的豎式。形式不同、程度不同，給學(xué)生帶來的挑戰(zhàn)性也不同，學(xué)生較容易感受到計算的趣味性。

（2）提升兒童感知的準(zhǔn)確性

首先，學(xué)生對問題特征無法準(zhǔn)確把握時，就需要教師反復(fù)重復(fù)、重點強(qiáng)調(diào)、對比分析，提升兒童的感知能力，特別是相近性、相似性問題。其次，改編易錯題，定期開展計算比賽，讓學(xué)生在較穩(wěn)定的環(huán)境下測試。每次測試的題量、難度都有所遞增，結(jié)合多種評價標(biāo)準(zhǔn)，如正確率、測試時間、一次性做對的題數(shù)變化、錯題的題數(shù)變化等方面，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算信心，同時提高學(xué)生注意力的穩(wěn)定性和分配能力。

（3）提高運(yùn)算能力的靈活性

運(yùn)算能力的培養(yǎng)最終也是對思維能力的提升，在教學(xué)時要適時地根據(jù)題型、問題背景指導(dǎo)學(xué)生選擇合適的方法解決問題。比如面臨實際問題時，首先考慮是近似答案還是精確答案，是選擇估算還是選擇準(zhǔn)確計算。其次，將合理選擇算法貫徹到筆算中，如2.4×1.2，這道題的計算除了可以列豎式外，還可以運(yùn)用運(yùn)算律對1.2進(jìn)行拆分，即用乘法拆成2.4×2×0.6，或者用加法拆成2.4×1+2.4×0.2，突顯運(yùn)算思維的推理成分，靠理解算理和靈活運(yùn)用算法來保證運(yùn)算正確，同時有利于提升學(xué)生的運(yùn)算策略水平。

總之，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中面臨的各種差錯，都應(yīng)在教師預(yù)料之中、情理之中，教師應(yīng)站立在知識的角度和兒童的立場去理解錯誤的發(fā)生、智慧地理答，有效實施理錯教學(xué)，幫助兒童從差錯中獲得知識、掌握技能、善反思、善總結(jié)、提高思維水平。