例談數(shù)列通項(xiàng)公式求解的基本方法

劉婭麗

(江蘇省鄭集高級(jí)中學(xué) 221100)

數(shù)列通項(xiàng)公式求解是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)生務(wù)必掌握的知識(shí)，筆者在教學(xué)中，對(duì)課本內(nèi)容中的這些基本方法進(jìn)行了綜合分析，并結(jié)合高考題型進(jìn)行了歸納總結(jié)，得出了以下三種基本方法.只要同學(xué)們掌握了以下三種基本方法，以不變應(yīng)萬變，通過一定的聯(lián)想轉(zhuǎn)化就可以解決大部分的題目.希望能夠?qū)V大師生有一定的幫助與啟發(fā).

一、公式法，嘗試轉(zhuǎn)化

如何求解一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中往往有這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，就是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的，再用學(xué)過的方法去解決.在求數(shù)列通項(xiàng)公式中也可以這樣做，仔細(xì)觀察，將原式簡(jiǎn)單變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的等差等比的數(shù)列公式，就可以輕松解決.

在用公式法求解數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，最需要關(guān)鍵的就是如何轉(zhuǎn)化，以及為什么那樣去轉(zhuǎn)化，怎么才能想到轉(zhuǎn)化的思路呢，這一點(diǎn)困擾了很多同學(xué).在我看來只要經(jīng)過大量的練習(xí)與細(xì)心觀察，加上勤于動(dòng)手，多加嘗試，就可以突破這個(gè)難關(guān).

二、累加法，科學(xué)遞推

在必修五12.2中，等差通項(xiàng)公式的推導(dǎo)采用的便是累加法.當(dāng)遞推公式給出的是an+1與an差的關(guān)系，累加法就是通過遞推關(guān)系，列出所有n的取值，所有等式累加，將中間項(xiàng)全部抵消，得出了an+1與a1，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.

在已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n+1，a1=1的條件下，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.與等差數(shù)列an+1和an的差是個(gè)定值不同，在這里差是個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，很多同學(xué)往往因此不敢下手去做這道題，實(shí)際上它仍然用的是教材中累加的思想，我們將原式an+1=an+2n+1變形得出an+1-an=2n+1，接著將n取值一一列出，a2-a1=2+1，a3-a2=4+1，a4-a3=6+1，…，an+1-an=2n+1，共有n個(gè)等式，所有等式相加，左式為(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1，等式右邊則是等差數(shù)列2n+1求前n項(xiàng)和的形式，所以累加得出an+1-a1=n2+2n，an+1=(n+1)2，而這個(gè)是n+1的通項(xiàng)，最終將n+1變?yōu)閚，求得an=n2.從這個(gè)例題中我們看出累加法一般分為4個(gè)步驟，第一步將一般的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)變?yōu)槔奂臃ǖ男问讲⒃敿?xì)列出，第二步觀察得出累加項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，第三步累加后整理好等式右端并用合適的方式求和，第四步就是化簡(jiǎn)得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.通過這樣對(duì)解題步驟的梳理，學(xué)生的思路會(huì)非常清晰.

在用累加法求通項(xiàng)公式的時(shí)候，雖然大多數(shù)題目不會(huì)很難，但是有一點(diǎn)很容易出錯(cuò)，就是累加式子的個(gè)數(shù)，這個(gè)個(gè)數(shù)關(guān)系著等式右邊是前n項(xiàng)和還是n+1項(xiàng)之和.因此，同學(xué)們千萬不能眼高手低，一定要認(rèn)真將過程寫好.

三、換元法，整體代入

換元法在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用甚廣，對(duì)于求數(shù)列通項(xiàng)公式來說也是一個(gè)很好用的技巧.通常面對(duì)一些帶有根式，無理式，通過換元就可以將其轉(zhuǎn)化為整式與有理式，使隱含的條件顯露出來，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.通過換元法，學(xué)生可以解決很多異形的數(shù)列.

用換元法解數(shù)列問題需要扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)以及靈活的解題能力，同時(shí)換元法步驟比較多，n的范圍會(huì)發(fā)生變化，需要特別注意一下.希望同學(xué)們首先掌握好等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與公式.遇到這類題目時(shí)，不要有所畏懼，在讀清楚讀懂題目的基礎(chǔ)上，耐心回想所學(xué)的思想、方法與技巧.

學(xué)習(xí)完這幾種解數(shù)列問題的基本方法，我們都可以得出一些結(jié)論.數(shù)列問題雖然復(fù)雜多變，但都是有跡可循的.因此，同學(xué)們首先一定要仔細(xì)審題，觀察其形式，然后才能根據(jù)我總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行方法的選取.當(dāng)然，任何方法都是基于理解數(shù)列知識(shí)上的.希望大家可以腳踏實(shí)地，打好基礎(chǔ).