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    關(guān)于三角形內(nèi)角一個不等式及其應(yīng)用

    2019-10-22 10:13:18李永利
    數(shù)學(xué)通報 2019年9期
    關(guān)鍵詞:銳角同理余弦

    李永利

    (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 467001)

    近日,筆者發(fā)現(xiàn)一個關(guān)于三角形內(nèi)角的分式不等式,經(jīng)查閱有關(guān)資料未見刊載. 本文給出該不等式的證明,并給出幾個應(yīng)用的例子,其中之一為《數(shù)學(xué)通報》2012年2月號問題2045的加強與拓廣.

    以下設(shè)△ABC三內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,三角形的半周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為p,R,r.∑表示循環(huán)和,∏表示循環(huán)積.

    定理在△ABC中,有

    (1)

    當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時,式中等號成立.

    證明由莫爾外德(Mollweid)公式[1]、正切的半角公式

    可得

    同理可得

    由以上三式可得

    再由恒等式[2][3]

    ∑a=2p,

    ∑a2=2(p2-4Rr-r2),

    ∑a3=2p(p2-6Rr-3r2),

    ∑a4=2(p2-4Rr-r2)2-8p2r2,

    ∑bc=p2+4Rr+r2,

    ∏(b+c)=2p(p2+2Rr+r2),

    可得

    2(p2-4Rr-r2)2+8p2r2+(2p2-2p2+8Rr+2r2)(p2+4Rr+r2)]

    [-2(4Rr+r2)2+2(4Rr+r2)2]}

    于是(1)式等價于

    (2)

    ?4p2(6R+4r)2≥27(p2+2Rr+r2)2

    ?4p2(36R2+48Rr+16r2)

    ≥27p4+54p2(2Rr+r2)+27(2Rr+r2)2.

    由上式和Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知,欲證(2)式成立,只需證明

    4p2(36R2+48Rr+16r2)≥27p2(4R2+4Rr

    +3r2)+54p2(2Rr+r2)+27(2Rr+r2)2(3)

    ?p2(144R2+192Rr+64r2)≥p2(108R2+

    216Rr+135r2)+27(2Rr+r2)2

    ?p2(36R2-24Rr-71r2)≥27(2Rr+r2)2.

    由上式和Gerretsen不等式p2≥16Rr-5r2可知,欲證(3)式成立,只需證明

    (16Rr-5r2)(36R2-24Rr-71r2)

    ≥27(2Rr+r2)2

    (4)

    ?(16R-5r)(36R2-24Rr-71r2)

    ≥27r(2R+r)2

    ?576R3-564R2r-1016Rr2+355r3

    ≥108R2r+108Rr2+27r3

    ?576R3-672R2r-1124Rr2+328r3≥0

    ?144R3-168R2r-281Rr2+82r3≥0

    ?(144R2+120Rr-41r2)(R-2r)≥0.

    而由歐拉不等式R≥2r可知144R2+120Rr-41r2>0,R-2r≥0,于是上式顯然成立,從而(4),(3),(2)三式成立,故(1)式成立.

    以上由證明過程可知,當(dāng)且僅當(dāng)R=2r即△ABC為等邊三角形時(1)式中等號成立. 定理得證.

    下面給出不等式(1)幾個應(yīng)用的例子.

    例1在△ABC中,求證:

    (5)

    (6)

    證明由正弦的二倍角公式、余弦和差化積公式和(1)式可得

    故(5)式成立.

    由余弦的二倍角公式、正弦和差化積公式和(1)式可得

    故(6)式成立.

    例2在△ABC中,求證:

    (7)

    (8)

    證明按照文[4]中給出的置換方法,在(5)、(6)兩式中分別作置換

    即可得到不等式(7)、(8).

    例3在△ABC中,有

    (9)

    證明由余弦的二倍角公式和不等式

    及不等式(1)可得

    故(9)式成立.

    例4在△ABC中,設(shè)n為正整數(shù),求證:

    (10)

    證明由不等式xn+yn+zn≥

    例5在△ABC中,求證:

    (11)

    證明

    同理可得

    由以上三式和例3中的不等式(9)可得

    故(11)式成立.

    注1以上各例中得到的不等式均為新的不等式,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時各式中等號成立.

    注2《數(shù)學(xué)通報》2012年2月號問題2045為[5]:在銳角△ABC中,試證明

    (12)

    對于銳角△ABC,易見(11)式是(12)式的加強. (12)式僅是對銳角三角形的一個結(jié)論,而(11)式對于任意三角形均成立,因此本文例5是數(shù)學(xué)問題2045的拓廣.

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