例談伸縮變換在高中數(shù)學教學中的應用

張偉志

(山東省鄒城市第二中學 273500)

伸縮變換是高等幾何的重要組成部分，了解伸縮變換的性質(zhì)會使一些高中數(shù)學中較難問題變得更為直觀快捷.下面先來看一個例子.

解法研究

分析和略解:

令A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ)，

則C(-a(cosα+cosβ),-b(sinα+sinβ)).

由點C在橢圓上, 代入得

(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=1

另一方面

其實，我們可以通過圖形的伸縮變換快速得出結(jié)論.

對橢圓進行下面的伸縮變換

本質(zhì)揭示

(1)理論依據(jù)

根據(jù)初等幾何的知識，我們不難得出平面圖形伸縮變換的以下性質(zhì)：

①點經(jīng)過變換后仍然是點，直線經(jīng)過變換后仍然是直線，若一個點在直線上，變換后的對應點也在對應直線上；

②兩條平行直線經(jīng)變換后仍然平行，兩條相交直線經(jīng)變換后仍然相交，共點的直線經(jīng)變換后仍為共點直線；

③兩條平行直線段長度之比在伸縮前后不變，我們不妨稱為伸縮不變量；

④兩封閉圖形的面積比是伸縮不變量.

由上述的不變量經(jīng)過“組合”，可導出許多伸縮不變量，如線段的中點、三角形的中線和重心、平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)等，特別要注意的是，角度不是伸縮不變量.

(2)引例剖析

引申和推廣

(1)伸縮變換在面積問題中的應用

雖然角度不是伸縮不變量，在單位圓中的直角三角形經(jīng)伸縮變換后不一定為直角三角形，但是我們可以依據(jù)伸縮變換的性質(zhì)，得出變換前后的圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)伸縮變換在點線關(guān)系中的應用

下面我們運用伸縮變換的思想對上述命題加以驗證，首先我們來驗證該命題在⊙O：x2+y2=a2(a>0)中為真命題.

證明：連接A′O并延長，延長線交⊙O于點C,連接AC與A′P，設直線A′B與x軸的交點為G，并設R為⊙O與x軸的一個交點，如圖所示.

則AC與x軸平行，所以∠CAB=∠OPA,

由點A與點A′關(guān)于x軸對稱,

得∠OPA=∠OPA′,又由∠OA′G=∠CAB,

可得∠OA′G=∠OPA′,

所以△OPA′∽△OA′G,

圓是平面圖形中最優(yōu)美的圖形，當橢圓通過伸縮變換為相對應的圓時，橢圓中許多較為復雜的點線關(guān)系問題便會迎刃而解了.

(3)伸縮變換在最值問題中的應用

(1)求橢圓E的方程；

(2)設過點A的動直線l與橢圓E相交于P、Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程.

可得x′2+y′2=4，變換后的圖象如下圖所示.

可見，利用伸縮變換將橢圓轉(zhuǎn)化成圓，再通過討論直線與圓的位置關(guān)系，可使問題得以簡化，這種變換在圓錐曲線最值問題中應用較為廣泛.

分析和略解：

可得x′2+y′2=1，為了方便觀察，我們作了變換后的圖象如下圖所示.

四邊形OPNQ與四邊形ONQP1在變換前后均為平行四邊形，

同理可得

當且僅當m=n時等號成立，

拋物線與雙曲線的變換不及橢圓那么完美，但恰到好處地轉(zhuǎn)化應用仍然可以使問題變得直觀簡潔，在不超越伸縮變換性質(zhì)的范疇內(nèi)，各類特殊的變換均可以作為解題的利器．以上僅是筆者對這類試題的一些膚淺的思考，更多方法還有待于我們在實踐中不斷加以探索與總結(jié)．