自主體驗(yàn)：促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的有效路徑①
——以“向量的加法運(yùn)算及其幾何意義”教學(xué)為例

許興震

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)教育局教研室 225009)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)指出：全面落實(shí)立德樹人的要求，深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過程．在教學(xué)實(shí)踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，不僅重視如何教，更要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，要努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促使更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)．可見，要讓核心素養(yǎng)培養(yǎng)落地，就要改革現(xiàn)有的教與學(xué)的方式．筆者近期從課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，不少教師對(duì)引導(dǎo)學(xué)生如何會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)重視不夠，影響了核心素養(yǎng)落地的效果．如何引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)？《課標(biāo)》又給出了具體的教學(xué)建議：教師要把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)上，積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式，不僅限于講授與練習(xí)，也包括引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等．教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，厘清知識(shí)的來龍去脈，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)．如何在教學(xué)中落實(shí)上述要求，筆者以執(zhí)教人教A版·數(shù)學(xué)4(必修)2.2.1“向量的加法運(yùn)算及其幾何意義”為例，談一談我們的做法與思考.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：上節(jié)課，我們以幾何、物理對(duì)象為原型，抽象出向量的概念，也學(xué)習(xí)了向量的幾何表示、相等向量和共線向量，請(qǐng)大家回憶我們的研究方法是什么？

生：把向量與實(shí)數(shù)進(jìn)行類比.

師：順著這個(gè)思路，請(qǐng)同學(xué)們回想研究實(shí)數(shù)的順序和內(nèi)容分別是什么？你能設(shè)計(jì)出研究向量的方案嗎？

生：我們先后研究實(shí)數(shù)的概念、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、實(shí)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)用舉例等.上節(jié)課我們研究了向量的概念，接下來我們應(yīng)該分別研究向量的運(yùn)算、向量的運(yùn)算律、向量的運(yùn)算應(yīng)用舉例.

意圖類比是基本數(shù)學(xué)思想方法之一.在其指引下，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自主地制定學(xué)習(xí)方案,并激發(fā)學(xué)生自主體驗(yàn)的欲望.

問題1如何定義向量的加法？

師：請(qǐng)大家回答下面兩個(gè)實(shí)際問題．

背景1：過去春節(jié)期間，由于大陸和臺(tái)灣沒有直航，乘飛機(jī)要從上海(用A表示)到香港(用B點(diǎn)表示)，再?gòu)南愀鄣脚_(tái)北(用C點(diǎn)表示)，這兩次位移合成的結(jié)果是什么？如何用等式來表示這三個(gè)位移之間的關(guān)系？

背景2：一根彈簧在兩個(gè)力F1、F2的作用下，向下伸長(zhǎng)了5cm；撤去這兩個(gè)力，用一個(gè)力F作用在這個(gè)彈簧上，使彈簧向下伸長(zhǎng)了5cm，改變F1、F2的大小與方向，重復(fù)以上的實(shí)驗(yàn)，你能發(fā)現(xiàn)F與F1、F2之間的關(guān)系嗎？如何用等式來刻畫這三個(gè)力之間的關(guān)系？

追問1：你所說的“和”是什么意思？“+”是什么意思？

追問2：上述兩個(gè)問題，有什么共同點(diǎn)？

生：位移、力都是向量；都涉及到三個(gè)向量，其中兩個(gè)向量的和等于第三向量；兩個(gè)向量的和仍然是向量．

意圖以學(xué)生熟悉的位移、力等物理量為情境，便于學(xué)生找到物理量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其共性，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)抽象數(shù)學(xué)概念的一般方法．

2.2 意義建構(gòu)，解決問題

問題2你能從上述兩個(gè)背景中，給出兩個(gè)向量和的定義嗎？

生：把位移、力抽象為向量，把合位移、合力抽象為向量的和，把求合位移、合力抽象為向量的加法運(yùn)算．在此基礎(chǔ)上，我們給出兩個(gè)向量的和的定義.

圖1

師：請(qǐng)大家思考兩個(gè)問題：

1．兩個(gè)向量a、b的起點(diǎn)與終點(diǎn)有什么關(guān)系？向量a+b的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是什么？

圖2

2．如圖2所示的三個(gè)向量，你能給出三個(gè)向量滿足的等式嗎？

師：上面給出的定義，是不是就可以看成是兩個(gè)向量和的定義？

問題3對(duì)于給定的兩個(gè)非零向量(圖3)，如何定義它們的和呢？

圖3

學(xué)生活動(dòng)已知非零向量a、b，作出a+b．

教師選擇一名學(xué)生的作品投影，與學(xué)生作如下互動(dòng)交流.

追問1：是否可以平移？平移的目的是什么？

追問2：你能借助幾何直觀，用自然簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言給出兩個(gè)非零向量a、b和的定義嗎？

師：這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.位移的合成可以看成是向量加法三角形法則的物理模型.

追問3：用三角形法則求向量和的過程中關(guān)鍵步驟是什么？

生：平移兩個(gè)向量使他們首尾順次相連.

意圖兩個(gè)向量和的定義的形成是順應(yīng)學(xué)生思維過程自然生成的，如果直接提出問題3，因未在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)問題，通過學(xué)生自主體驗(yàn)、建構(gòu)向量和的定義難度較大.學(xué)生先給出了“首尾相接”的兩個(gè)向量和的定義，再通過平移將任意兩個(gè)非零向量情形化歸為“首尾相接”的情形，使得自主建構(gòu)順利推進(jìn).

問題4還可以用什么方法求向量的和呢？

學(xué)生活動(dòng)用力的合成平行四邊形法則作圖.

師：你能用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言總結(jié)出用平行四邊形法則作兩個(gè)向量和的主要步驟嗎？

追問：在物理學(xué)科中學(xué)習(xí)矢量合成時(shí)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形合成法則，在數(shù)學(xué)上有必要學(xué)習(xí)向量加法的平行四邊形法則嗎？

問題5用向量加法兩個(gè)法則求和，結(jié)果是一樣嗎？

意圖通過自主觀察、比較、分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)求向量和的兩個(gè)法則的本質(zhì)是一致的，通過教師的質(zhì)疑，學(xué)生加深了對(duì)概念本質(zhì)的理解，并把新知納入到已有的知識(shí)體系中.

圖4

例1如圖4，已知非零向量a、b，作出a+b．

學(xué)生根據(jù)向量加法的定義，準(zhǔn)確作出結(jié)果．

探究1如果兩個(gè)向量a、b中，向量b是零向量，向量加法的兩個(gè)法則適用嗎？你能得出什么結(jié)論？問題3討論的是作兩個(gè)不共線向量和a+b，那么兩個(gè)向量共線時(shí)，又如何作出a+b呢？

學(xué)生活動(dòng)學(xué)生分別作圖、比較、思考，分小組交流，教師深入學(xué)生中間，了解學(xué)生的想法.學(xué)生總結(jié)，雖然上述問題的條件不滿足三角形法則，但可仿照向量加法的三角形法則，緊緊抓住首尾相接的特征，作出和向量，說明了三角形法則有著廣泛的適用性.通過自主體驗(yàn)，學(xué)生感悟到教材中規(guī)定(a+0=0+a=a)的合理性．

探究2對(duì)任意兩個(gè)向量a、b，|a+b|、|a| 、|b|的大小關(guān)系是什么？

學(xué)生活動(dòng)在學(xué)生自主作圖、分析、思考的基礎(chǔ)上，開展小組討論、全班交流展示，通過對(duì)自己和同伴結(jié)論的反思、質(zhì)疑，在師生合作中共同得出結(jié)論:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|．

師：通過探究2，我們知道了向量的加法與實(shí)數(shù)加法的區(qū)別和聯(lián)系，這些知識(shí)如果不通過數(shù)形結(jié)合來解決就比較難以理解.

意圖指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，要將合適的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成具有探究性的問題，學(xué)生在自主探究、交流合作的過程中解決問題，自主建構(gòu)知識(shí)意義，提高自主體驗(yàn)的能力.

師：請(qǐng)大家回憶實(shí)數(shù)的加法有哪些運(yùn)算性質(zhì)？請(qǐng)大家分組討論，在此基礎(chǔ)上，回答下面的問題.

探究3向量的加法是否也滿足類似的性質(zhì)？如果滿足，具體形式是什么？

學(xué)生活動(dòng)1學(xué)生回憶實(shí)數(shù)加法的交換律、結(jié)合律，把向量與實(shí)數(shù)進(jìn)行類比，猜想出類似的運(yùn)算性質(zhì)：(1)a+b=b+a；(2)(a+b)+c=a+(b+c).

學(xué)生活動(dòng)2學(xué)生各自作圖，小組交流，教師巡視，與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng).學(xué)生通過畫出平行四邊形(如圖5)，驗(yàn)證交換律成立.對(duì)于結(jié)合律的驗(yàn)證，教師在巡視中發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生受交換律的影響，用平行四邊形法則作圖驗(yàn)證，難以畫出有說服力的圖形，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試其它作圖方法，部分學(xué)生作出典型的圖形如圖6.教師選擇多個(gè)學(xué)生的作品進(jìn)行投影，并讓學(xué)生敘說其中的道理.

圖5

圖6

意圖向量加法運(yùn)算律是學(xué)生通過類比、猜想、作圖驗(yàn)證得到的，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的“發(fā)現(xiàn)”過程，讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)研究”的樂趣，享受到解決問題的喜悅，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.3 操練拓展，反饋矯正

例2長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸．一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度(保留兩個(gè)有效數(shù)字)；

(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向．(用與江水速度之間的夾角表示，精確到度)

師：通過這個(gè)例子，請(qǐng)大家總結(jié)一下應(yīng)用向量知識(shí)解決實(shí)際生活中問題的一般思路.

生：把一些物理量用向量表示出來；借助于向量之間的運(yùn)算，研究物理量之間的關(guān)系；最后把運(yùn)算結(jié)果翻譯成物理量.

意圖一個(gè)完整的自主體驗(yàn)過程，還要求學(xué)生把所學(xué)知識(shí)運(yùn)用于新的情境，檢驗(yàn)結(jié)論的合理性，幫助學(xué)生理解和把握向量加法的本質(zhì)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問題的一般步驟．

2.4 歸納反思，總結(jié)提升

師：請(qǐng)大家總結(jié)一下本課研究向量加法定義的方法．

生：先從物理模型抽象出向量這個(gè)數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，我們初步研究了向量模型，最后應(yīng)用到生活實(shí)踐中去．這說明數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活．

物理模型?數(shù)學(xué)模型?研究模型?應(yīng)用模型

意圖在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生自主提煉解決實(shí)際問題的一般思路，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成歸納、反思、提煉的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

3 教學(xué)思考

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)自主體驗(yàn)欲望

本節(jié)課中，教師首先調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，回顧學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的順序和內(nèi)容，讓學(xué)生自主編制研究向量的方案，這個(gè)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)激發(fā)了學(xué)生自主體驗(yàn)的興趣，使其進(jìn)入一種躍躍欲試的狀態(tài)，也為學(xué)生自主提出核心問題“如何定義向量的加法運(yùn)算”奠定了基礎(chǔ)．由于學(xué)生在物理學(xué)科中學(xué)過位移的合成和力的合成等矢量的加法，教師以此為背景創(chuàng)設(shè)問題情境，激活學(xué)生思維，引發(fā)師生互動(dòng).通過啟發(fā)思考，學(xué)生舍去了具體情境中的物理屬性，提煉出向量加法的本質(zhì)屬性，進(jìn)而抽象出向量加法的定義.在此過程中，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象過程，體會(huì)具體和抽象之間的差異，積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

3.2 巧設(shè)問題，搭建自主體驗(yàn)平臺(tái)

本節(jié)課，教師將教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了分解，設(shè)計(jì)了兩個(gè)核心問題：(1)如何定義向量的加法？(2)向量的加法是否也滿足這樣的性質(zhì)？如果滿足，具體形式是什么？這兩個(gè)核心問題，把知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的思維過程有機(jī)地聯(lián)系起來，將知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．其次要設(shè)計(jì)好派生問題，教師在設(shè)計(jì)派生問題時(shí)，要以層層遞進(jìn)的問題串形式，讓學(xué)生在分析問題、解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)．本節(jié)課，在提出核心問題“如何定義向量的和”之后，教師提出了以下四個(gè)派生問題，形成問題串：(1)你能從上述兩個(gè)背景中，給出兩個(gè)向量和的定義嗎？(2)對(duì)于給定的兩個(gè)非零向量，如何定義它們的和呢？(3)還可以用什么方法求向量的和？(4)用這兩個(gè)方法求和結(jié)果是一樣嗎？這四個(gè)派生問題，逐步引領(lǐng)學(xué)生走向向量和的定義的“核心地帶”，學(xué)生也逐步學(xué)會(huì)了研究數(shù)學(xué)概念的一般方法．

3.3 合作探究，提升自主體驗(yàn)?zāi)芰?/h3>

本課中，共設(shè)計(jì)了三個(gè)合作探究活動(dòng)：探究1，讓學(xué)生通過作圖，親身感受三角形法則的應(yīng)用更具一般性，使學(xué)生更深刻地理解教材中規(guī)定的合理性．探究2，在自主體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過交流展示，完善了問題的解決方案，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)了用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的方法．探究3，讓學(xué)生類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，提出猜想，引導(dǎo)大家通過自己作圖、小組交流、大組展示來進(jìn)行驗(yàn)證．在這個(gè)過程中，學(xué)生領(lǐng)悟到類比思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法對(duì)解決向量問題的重要價(jià)值，親身感受到解決問題的具體方法需要嘗試和選擇．通過合作探究活動(dòng)的開展，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，提升了學(xué)生自主體驗(yàn)的能力.

3.4 反思質(zhì)疑，積累自主體驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)

本課中，教師在新舊知識(shí)的節(jié)點(diǎn)處提出質(zhì)疑，在物理中學(xué)習(xí)矢量合成時(shí)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形合成法則，在數(shù)學(xué)上有必要學(xué)習(xí)向量加法的平行四邊形法則嗎？這樣的質(zhì)疑，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解矢量和向量的區(qū)別和聯(lián)系，把新知識(shí)納入到學(xué)生已有的知識(shí)體系中，實(shí)現(xiàn)概念的同化．在解題過程中對(duì)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥ㄌ岢鲑|(zhì)疑，探究2的實(shí)施過程中，不少學(xué)生的解題過程不夠嚴(yán)密，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些問題解法提出質(zhì)疑，并讓學(xué)生自己闡述思維過程，從源頭上查清楚錯(cuò)誤的原因，有利于師生精準(zhǔn)糾錯(cuò)．在課堂小結(jié)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行反思回顧，引導(dǎo)學(xué)生自覺地把新知納入到已有的知識(shí)體系中，歸納知識(shí)要點(diǎn)，反思學(xué)習(xí)態(tài)度，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．