例析中考中的“全等三角形”試題

文肖學(xué)軍

在歷年的中考試題中，考查全等三角形應(yīng)用的試題比比皆是，擬以近年來(lái)部分省市的中考試題為例加以說(shuō)明，給同學(xué)們熱身練筆。

一、直接考查三角形是否全等

例1（2018·四川成都）如圖1，已知∠ABC=∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）。

A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBC

C.AC=DBD.AB=DC

【解析】本題已知∠ABC=∠DCB，圖中有一條公共邊BC=CB可以使用，一般不能用來(lái)判斷三角形全等的條件只有“邊邊角”即“SSA”，于是容易知道選項(xiàng)C是正確的。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判斷方法。用“邊邊角”判定三角形全等是一些同學(xué)常犯的錯(cuò)誤之一，要引起重視。在證明三角形全等時(shí)，特別要注意利用題設(shè)或挖掘圖形中隱藏的條件，如公共邊、公共角、部分線段相等等。

圖2

二、證明兩角或者兩邊相等

例2 （2018·四川瀘州）如圖2，EF=BC，DF=AC，DA=EB。求證：∠F=∠C。

【解析】要證明∠F=∠C，只需證明△ABC≌△DEF即可。由于題設(shè)條件中已經(jīng)具備兩組對(duì)應(yīng)邊相等這一條件，只要將DA=BE轉(zhuǎn)化為DE=AB，即可利用“邊邊邊”定理加以證明。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用，題設(shè)條件DA=BE不可以直接使用，必須要轉(zhuǎn)化為兩邊相等的條件。

例3（2019·陜西）如圖3，點(diǎn)A、E、F、B在直線l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD。求證：CF=DE。

圖3

圖4

【解析】要證明CF=DE，只要證明△ACF≌△BDE即可。由條件AC∥BD，可得∠CAF=∠DBE；又由AE=BF得到AF=BE，而AC=BD，利用“邊角邊”定理可得△ACF≌△BDE。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)。證明線段和角相等常常需要先證明有關(guān)的三角形全等。

三、探求兩邊之間的關(guān)系

例4（2018·山東菏澤改編）如圖4，AB∥CD，AB=CD，CE=BF。請(qǐng)寫出DF與AE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

【解析】DF與AE之間的關(guān)系為平行且相等。由題設(shè)條件，用“邊角邊”容易證明△CDF≌△BAE，從而有DF=AE和∠CFD=∠BEA；根據(jù)“等角的補(bǔ)角相等”，得到∠DFE=∠AEF，于是有DF∥AE。結(jié)論成立。

【點(diǎn)評(píng)】?jī)蛇呏g的關(guān)系分為位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩種。位置關(guān)系一般為平行或垂直，數(shù)量關(guān)系為相等或者倍數(shù)。

【變式】本題若連接DE、AF，則圖中還存在哪些全等三角形？你能夠證明嗎？請(qǐng)大家試一試。遇到較為復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，常需要證明兩組或者多組三角形全等，本題變式便是一例。

四、計(jì)算邊長(zhǎng)和角度

例5（2018·江蘇南京）如圖5，AB⊥CD，且AB=CD。E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD。若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長(zhǎng)為（ ）。

A.a+cB.b+c

C.a-b+cD.a+b-c

圖5

圖6

【解析】在Rt△ABF和Rt△CDE中，因?yàn)锳B⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，所以∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，于是有∠A=∠C。又因?yàn)锳B=CD，從而△ABF≌△CDE。又因?yàn)锽F=DE=b，EF=c，故有AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c。因此答案選D。

例6（2019·湖北宜昌）如圖6，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC邊于點(diǎn)E，連接DE。

（1）求證：△ABE≌△DBE；（2）若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度數(shù)。

【解析】（1）由角平分線定義得出∠ABE=∠DBE，由“邊角邊”定理證明△ABE≌△DBE即可；（2）由三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC=30°，由角平分線定義得出15°，在△ABE中，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案。

【點(diǎn)評(píng)】例5和例6都考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，例6還考查了角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理。熟練掌握相關(guān)概念、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵。

五、考查全等三角形的綜合應(yīng)用

例7 （2019·北京）如圖7，已知銳角∠AOB，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧PQ，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C、D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交弧PQ于點(diǎn)M、N；（3）連接OM、MN。根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）。

A.∠COM=∠COD

B.若OM=MN，則∠AOB=20°

C.MN∥CDD.MN=3CD

圖7

【解析】連接ON，由作圖可知△COM≌△COD?？傻谩螩OM=∠COD，故A正確。若OM=MN，則△OMN為等邊三角形，由全等可知，∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B正確。由題意知，OC=OD，∴∠OCD=設(shè)OC、OD與MN分別交于R、S，易證△MOR≌△NOS，則OR=OS，∴∠ORS=∴∠OCD=∠ORS，∴MN∥CD，故C正確。又由題意，易證MC=CD=DN，∴MC+CD+DN=3CD。∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴MN＜MC+CD+DN=3CD，故答案選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題以常見的銳角為背景，通過(guò)畫弧構(gòu)建圖形，著重考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定、兩點(diǎn)之間線段最短公理等眾多數(shù)學(xué)概念和定理，將許多看似沒(méi)有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)巧妙地連接在一起，立意較好，不失為一道匠心獨(dú)運(yùn)的好題！