“火眼金睛”辨模型 解決“線、角”問(wèn)題靈

文陳 俊

全等三角形判定的關(guān)鍵在于認(rèn)知并熟練掌握全等三角形的幾種判定方法，而難點(diǎn)在于在較復(fù)雜的圖形中，靈活運(yùn)用判定方法找出全等三角形，從而解決“線、角”問(wèn)題。要迅速找出全等三角形，需要我們熟知全等三角形的常見(jiàn)模型。下面，簡(jiǎn)要說(shuō)明與等腰三角形有關(guān)的兩種模型。

一、“手拉手”模型

1.模型說(shuō)明

如圖1，△ABC、△ADE均為等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE，根據(jù)“SAS”，易證△ABD≌△ACE。若將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2、圖3，則△ABD≌△ACE仍然成立。

圖1

圖2

圖3

該模型是由有公共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成。“手拉手”模型常應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)題型，在旋轉(zhuǎn)變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形。

如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手，把大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，類(lèi)似大手拉著小手，所以這個(gè)模型也被稱為“手拉手”模型。

2.模型應(yīng)用

如圖4，△ABC、△ADE均為等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，連接BE、CD交于點(diǎn)F，BE、AC交于點(diǎn)G。求證：（1）BE=CD；（2）∠BFC=∠BAC；（3）連接AF，AF平分∠BFD。

圖4

圖5

證明：（1）∵∠BAC=∠EAD，

∴∠BAE=∠CAD。

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD。

（2）∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD。

∵在△ABG和△FGC中，∠ABE=∠ACD，∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC。

（3）如圖5，過(guò)點(diǎn)A分別作AH⊥BE、AI⊥CD，垂足分別為點(diǎn)H、I。

∴AH=AI，∴Rt△AHF≌△Rt△AIF。

∴AF平分∠BFD。

小結(jié)：本題證明的結(jié)論均與“線、角”有關(guān)，我們只需挖掘出“手拉手”模型，發(fā)現(xiàn)全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)解題就水到渠成了。

3.模型拓展——從一般到特殊

圖6

圖7

圖8

圖9

如圖6，若△ABC和△DCE均為等邊三角形，則△CAE≌△CBD；

如圖7，若△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，則△ACD≌△ABE；

如圖8，若四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，則△ADG≌△ABE。

二、“半角”模型

1.模型說(shuō)明

如圖9，△ABC中，AB=AC若在△ABC外部作△ABF，且∠4=∠3，AF=AE，則△ABF≌△ACE。

我們習(xí)慣把過(guò)等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半的模型稱為“半角”模型。

2.模型應(yīng)用

如圖10，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DB=DC且∠BDC=120°，∠EDF=60°，DE、DF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F。

求證：EF=BE+CF。

圖10

圖11

思路：如圖11，將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至△CDG，使△BDE≌△CDG。

∵DB=DC且∠BDC=120°，∴易證∠EBD=∠GCD=90°，F(xiàn)、C、G三點(diǎn)共線。

在△EDF和△GDF中，

∵ED=GD，∠EDF=∠GDF=60°，DF=DF，

∴△EDF≌△GDF，∴EF=GF。

∵GF=GC+CF=BE+CF，∴EF=BE+CF。

3.模型拓展——從一般到特殊

如圖12，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°，求證：（1）EF=BE+DF；（2）C△CEF=2AB。

圖12

圖13

思路：（1）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得△ABG（如圖13），則△ADF≌△ABG，易證△AGE≌△AFE，∴GE=EF。

∵GE=GB+BE=DF+BE，∴EF=BE+DF。

（2）由（1）得，EF=BE+DF，

小結(jié)：利用“半角”模型，先將“半角”兩邊的三角形旋轉(zhuǎn)到一邊，合并形成新的三角形，接著證明與“半角”所在的三角形全等，最后通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題。