循序漸進 由簡到繁
——關于較復雜的全等題型的感悟

文南京師范大學第二附屬初級中學八（6 6）班 李晨玥 劉昕

“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！比魏问挛锏陌l(fā)展都遵循著由簡到繁、由淺入深的規(guī)律，數(shù)學中的“全等”也不例外，通過嚴密審題后的步步推論，由已知到未知，從未知中獲取相關結論。下面，結合兩道題目談談解決復雜全等問題的思路和方法，與大家分享。

例1如圖1，已知：BE=CD，∠BDO=∠CEB。求證：△BDO≌△CEO。

圖1

【分析】在△BDO與△CEO中，目前只有∠BDO=∠CEB、∠BOD=∠COE，很顯然，缺少一組相等的邊，無法直接證明全等。據(jù)此，我們認為本題中應存在比較容易證明的全等。在△BDO與△CEO中，∵∠BDO=∠CEB，∠BOD=∠COE，∴∠B=∠C；又∵∠A=∠A，BE=CD，顯而易見，可以用“AAS”證明△ABE≌△ACD，從而得到 AD=AE、AB=AC，則 DB=EC。接下來只需利用“AAS”證明△BDO≌△CEO即可。

【感悟】解答此類較為復雜的全等問題，當題中所給的條件不能直接證明時，我們要仔細分析邊與邊、角與角之間的等量關系，尋找容易證明的全等，這樣，復雜的問題就迎刃而解了。其實我們經(jīng)歷了下面一個思維過程：

例2如圖2，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C?，F(xiàn)給出下列判斷：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=BD。其中正確的有___________ 。

圖2

【分析】通覽四個結論，③中的兩個三角形看起來形狀相同、大小相等，我們可以先大膽猜想它們是全等的，但根據(jù)已知條件不能直接解決，那我們應該從最簡易的全等入手。

根據(jù)已知條件，我們不難得出△AEB≌△AFC（AAS），可得∠EAB=∠FAC ，所以∠FAN=∠EAM，故①正確。

對于②，只需考慮EM和FN所在的三角形是否全等，即證明△AEM是否全等于△AFN。由結論①不難得到△AEM≌△AFN，從而可知EM=FN，故②正確。

對于③，現(xiàn)已知∠CAN=∠BAM，∠C=∠B，缺少“邊”相等，而由②△AEM≌△AFN，易得AN=AM，從而可得△ACN≌△ABM（AAS），故③正確；

對于④，和②的思路一樣，只需考慮CD、BD所在三角形是否全等，即證明△CDM是否全等于△BDN。由②△AEM≌△AFN可得AM=AN；又因為AC=AB，所以 CM=BN，則可證得△CDM≌△BDN，所以CD=BD。故④正確。

所以①②③④均正確。

【感悟】我們發(fā)現(xiàn)，四個結論由淺入深，層層遞進。從題目所給的條件，由最簡單的全等三角形入手，用它的結論繼而挖掘出更多的較為復雜的全等三角形是解決本題的策略。整個解題思路，讓我們體會到“數(shù)學鏈”的味道，環(huán)環(huán)相扣，也體現(xiàn)出數(shù)學思維的連貫性、邏輯性和嚴密性。所以做此類多項選擇的題目時，應立足根本，循序漸進。值得注意的是，有時也需要適當變換證明所給結論的順序。

教師點評

解決數(shù)學問題有著和大偵探破案一樣的“味道”，一樣能獲得成就感。這篇文章中，小作者發(fā)現(xiàn)了研究較為復雜的全等三角形的思路：

小作者進而感悟到數(shù)學思維的連貫性、邏輯性和嚴密性。

其實，我們研究其他類型的數(shù)學難題時，若也能由淺入深，循序漸進，將會有“水到渠成”“撥云見日”的效果。