問(wèn)題引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)探索

摘要：隨著中國(guó)教委會(huì)對(duì)基礎(chǔ)教育課程一次又一次的改革，數(shù)學(xué)問(wèn)題中的情境設(shè)計(jì)逐步邁向了新的臺(tái)階，它既能讓學(xué)生在生動(dòng)有趣的情境中獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，又能使學(xué)生在答疑時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)空間的無(wú)窮魅力。而我們的數(shù)學(xué)課程又是基礎(chǔ)教育課程的重要組成成分，因此在逐次的教學(xué)改革與逐步完善的《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中，數(shù)學(xué)課程提出了很多新理論，有了很多新的變化。本文主要研究了數(shù)學(xué)習(xí)題中問(wèn)題的價(jià)值，并進(jìn)一步探索問(wèn)題背后的知識(shí)海洋。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)習(xí)題;數(shù)學(xué)問(wèn)題;數(shù)學(xué)空間

一、 引言

數(shù)學(xué)新課程提出的很多新理論，有了很多新的變化，這種“新”的變化既呈現(xiàn)出了數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科的自身特性，又在情景導(dǎo)入方面別具一格，顯現(xiàn)出的內(nèi)容更加讓數(shù)學(xué)生活化、多元化。同時(shí)，在習(xí)題的創(chuàng)設(shè)方面也更有針對(duì)性，更能鞏固和提升學(xué)生的思維創(chuàng)新意識(shí)和邏輯推理能力;在問(wèn)題設(shè)計(jì)方面也更具有新穎性和創(chuàng)造性，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題的深思中。這樣一系列的訓(xùn)練不僅能加強(qiáng)學(xué)生自身對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，也能提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深層探索能力。因此我們對(duì)數(shù)學(xué)部分習(xí)題中反映出來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性的研究將具有更深遠(yuǎn)的影響意義。

二、 研究背景

而今，我國(guó)中學(xué)生普遍注重解題，輕視體驗(yàn)，缺乏循序漸進(jìn)，腳踏實(shí)地的探索精神，對(duì)習(xí)題的設(shè)置意圖和問(wèn)題的提問(wèn)角度持冷落態(tài)度。然而，學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的我們都知道，習(xí)題是認(rèn)識(shí)、理解、掌握和鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)的鑰匙，而“問(wèn)題更是數(shù)學(xué)的心臟”，因此習(xí)題中的問(wèn)題就像心臟中的脈搏一樣，它扮演著舉足輕重的角色，起著至關(guān)重要的作用。畢竟，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決可以讓人體驗(yàn)?zāi)欠N從沉思、迷惘、猶豫、猜想、探索和研究到柳暗花明，豁然開(kāi)朗后成功的喜悅和快感，真是痛并快樂(lè)著，喜在眉頭，甜在心頭，別具一番滋味，而此也正是大多數(shù)人喜愛(ài)數(shù)學(xué)，專研數(shù)學(xué)進(jìn)而癡迷于數(shù)學(xué)的主因。

三、 研究過(guò)程演練

曾幾何時(shí)，有如下幾道題目困擾我很久，同時(shí)我也相信有許多和我有著相同疑惑的同學(xué)及同事：

【例1】如方程（x-1）2+（y+2）2=|2x+y|所表示的軌跡是什么？

當(dāng)我看到這道題目時(shí)，我欣喜如狂，因?yàn)槲蚁嘈挪?jiān)信可以不費(fèi)吹灰之力攻破它，因?yàn)槲抑溃▁-1）2+（y+2）2表示的就是點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（1，-2）的距離，而|2x+y|=5|2x+y|5，其中|2x+y|5表示的是點(diǎn)P（x，y）到直線2x+y=0的距離，那么由上我們很容易地得到：（x-1）2+（y+2）2=5|2x+y|5，也就是（x-1）2+（y+2）2|2x+y|5=5，很明顯它的幾何意義表示的就是動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，-2）的距離與動(dòng)點(diǎn) P（x，y）到定直線2x+y=0的距離之比為5>1，這不就是圓錐曲線中橢圓的第二定義嘛！于是我很不屑地給出我的答案：此方程的軌跡就是橢圓?？墒俏覀兌贾溃寒?dāng)辦一件事情及其順利或解一道看似不尋常的題時(shí)及其簡(jiǎn)單，反而我們顯得更加緊張和擔(dān)憂，經(jīng)常會(huì)多問(wèn)自己幾個(gè)“為什么？”“真的是這樣嗎？”。此題目過(guò)后，我內(nèi)心同樣的緊張和擔(dān)憂，帶著先前的疑問(wèn)去和老師一起探討，原來(lái)如此：我的解題過(guò)程中竟然沒(méi)有考慮到此定點(diǎn)F（1，-2）竟然在直線2x+y=0上，這與定義要求“定點(diǎn)不能在定直線上”相矛盾，于是我的答案就被否定了，其實(shí)我們可以繼續(xù)研究：它的軌跡其實(shí)是兩條相交直線。

雖然在解此題時(shí)，我給出的結(jié)果是不科學(xué)的，但是帶著疑問(wèn)和困惑，讓我清楚地認(rèn)識(shí)到了此題背后所蘊(yùn)含的內(nèi)涵和學(xué)識(shí)，通過(guò)此題，我相信我對(duì)圓錐曲線的內(nèi)在條件認(rèn)識(shí)的更加到位，這就是思考問(wèn)題所帶來(lái)的喜悅和收獲！

【例2】已知：1x+x=1，則x2+1x2的值為多少？

當(dāng)我們解這道題目時(shí)，每位同學(xué)都比較容易上手，因?yàn)槲覀兌紝W(xué)習(xí)過(guò)：（a+b）2=a2+2ab+b2，依樣畫(huà)葫蘆便可得：1x+x2=x2+2x·1x+1x2=x2+2+1x2，于是很快有：x2+1x2=-1，可是我們不禁要問(wèn)：“x≠0時(shí)，x2+1x2>0，可為什么會(huì)有x2+1x2=-1呢？”于是我們陷入了沉思，百思不得其解。當(dāng)我們帶著這些疑問(wèn)去研究這道題時(shí)，我們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)將會(huì)發(fā)生質(zhì)的飛躍。這時(shí)我們不妨回頭看1x+x=1這個(gè)方程，很容易發(fā)現(xiàn)此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。為了解決此問(wèn)題，就自然地引出另外一種數(shù)域——復(fù)數(shù)域。由此可知：這樣的結(jié)果也就在情理之中了！

對(duì)于這道題而言，它的設(shè)置意圖就是制造懸念，進(jìn)而引起思考和疑問(wèn)，并進(jìn)一步去獲取新知——復(fù)數(shù)，這就是多思多疑后的成果。

【例3】我們知道：①對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1），如果：x=y，那么：ax=ay;②如果：a=b，x=y，那么：ax=by。

同樣我們也知道：26=13，按照常理我們也有：（-8）26=（-8）13，可是我們應(yīng)該仔細(xì)琢磨一下：（-8）26=？（-8）13=？，當(dāng)我們仔細(xì)考慮這些問(wèn)題時(shí)，我們必然會(huì)有意想不到的收獲。

【例4】同樣我們感覺(jué)整數(shù)分為偶數(shù)和奇數(shù)，我們就會(huì)認(rèn)為整數(shù)個(gè)數(shù)多于偶數(shù)個(gè)數(shù)，這種思想看是平常，其實(shí)不然。因?yàn)槲覀冎喇?dāng)給它們建立一個(gè)雙射f：k→2k（k是整數(shù)）時(shí)，就可得出：只要有一個(gè)整數(shù)，就會(huì)得到一個(gè)和它對(duì)應(yīng)的偶數(shù)，因此從廣義上講它們的個(gè)數(shù)是一樣的，這些問(wèn)題都應(yīng)該引起我們的思考和探索甚至是共鳴。因?yàn)樗鼈儽貙⒛荛_(kāi)闊我們的視野，增長(zhǎng)我們的見(jiàn)識(shí)，增強(qiáng)我們的求知欲！

四、 研究的目的和意義

多思考習(xí)題中的問(wèn)題對(duì)于學(xué)生而言作用頗多，首先，它能讓其感知教學(xué)中的知識(shí)導(dǎo)向、能力導(dǎo)向以及未知領(lǐng)域中的進(jìn)軍方向，從而做到對(duì)已學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固、綜合應(yīng)用及拓廣探索。這樣既培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的能力，又讓學(xué)生體驗(yàn)習(xí)題中滲透的數(shù)學(xué)思想，何樂(lè)而不為！其次，它能讓其對(duì)所學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)在腦海里進(jìn)行浮現(xiàn)，對(duì)所涉及的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行預(yù)想，對(duì)問(wèn)題的解決方案進(jìn)行初步診斷。這樣既是知識(shí)的積累，又是能力的培養(yǎng)。最后，它也能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使他們的思維更加具有靈活性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生在疑問(wèn)中體會(huì)動(dòng)與靜，變與不變間的種種思想，進(jìn)而增強(qiáng)思維的變通性。

五、 總結(jié)

綜上，對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題所設(shè)問(wèn)題的思考在整個(gè)學(xué)習(xí)生涯中起著不可取代的作用，它是我們邁上更高臺(tái)階的最佳樓梯，我們必須思考數(shù)學(xué)問(wèn)題背后蘊(yùn)含的思想內(nèi)涵和銜接知識(shí)，還數(shù)學(xué)知識(shí)“有趣，益智，交叉，互融”的本來(lái)面目，使數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)深入大眾，通過(guò)分析和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，感知和體會(huì)這些問(wèn)題所帶來(lái)的驚喜和奧秘。

我們知道一切創(chuàng)新知識(shí)和創(chuàng)新活動(dòng)都是從疑問(wèn)中誕生的，因此我們?cè)谝院髮W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上，就應(yīng)該帶著疑問(wèn)與思考一起前行，齊頭并進(jìn)，一起去探索那未知的世界，去體會(huì)數(shù)學(xué)空間的無(wú)窮魅力。久而久之，我們必將會(huì)打造出一條屬于自己的成功之道，大可盡情地去享受成功路上的喜悅與收獲。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

張富冬，浙江省溫州市，溫州第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)。